Фуллер всегда искал мотивацию к своим рассуждениям в непосредственных наблюдениях за природой, которые явно указывают нам на повсеместную распространенность сферы как формы на самых разных масштабах. Удивительно, но несмотря на колоссальную разность размеров и весов, отдельные атомы, пузырьки, апельсины и планеты по форме приближаются к сферам.
Точно так же как круг — наиболее эффективная форма для окружения захвата пространства в плоскости (два измерения), так и сфера является его эквивалентом в трехмерном пространстве. Она охватывает наибольший объем в пределах любой заданной площади поверхности.
Не стоит забывать, что геометрия Фуллера основана на прямой интерпретации всенаправленного объема 3D, поэтому двумерный плоский круг в своих объяснениях плотной упаковки он использовал исключительно для простоты иллюстрации.
Когда множество сфер находятся рядом в первичной плотной упаковке и непосредственно соприкасаются друг с другом во внешнем пространстве, между ними как бы остаются нерационально используемые зазоры пространства, как это было в примере с кругами (рис. 2.1).
Это надуманная проблема, поскольку энергоэффективная плотная упаковка в природе не тождественна ожидаемой нами максимальной плотности. Иначе говоря, зазоры существуют, потому что их насильное заполнение не является энергоэффективным и максимально стабильным.
Однако, как мы уже знаем, для этой проблемы существует энергоэффективное решение. Повторимся, Фуллер рассматривал соединения между центрами сфер как векторы силы, представляющие собой энергию и направление внутри того, что могло бы стать динамической системой (Fuller, 1975, 223.80).
Чтобы проиллюстрировать это понимание более наглядно, для этой книги мы изготовили модели, в которых металлические шарики соответствуют вершинам многогранников, в то время как цветные магнитные связи показывают вектора сил, которые связывают эти сферы вместе и одновременно удерживают на расстоянии друг от друга. Самый простой пример этого такого взаимодействия — тетраэдр (рис. 2.7).
В классическом понимании тетраэдр — это правильный четырехгранник, все четыре грани которого правильные, то есть равносторонние треугольники.
Обратим внимание на то, что в природе форма тетраэдра естественным самоорганизующимся образом появляется в самых разнообразных ситуациях — в сложенных горкой апельсинах, в молекулах воды и метана (Pauling, 1964), в радиолярии (Haeckel, 1887, с. 63) и в минеральных кристаллах тетраэдрита.
В основаниях своей геометрии Фуллер сделал особый акцент на тетраэдре, поскольку, как и сфера, это тоже предельная объемная форма.
В сравнении со сферой тетраэдр — это другой полюс предельности в соотношениях поверхность-объем. Предельность сферы — это максимум объема внутри данной поверхности. Тетраэдр же имеет наименьший (трехмерный) объем в пределах данной площади поверхности для любой упорядоченной (regular) структуры.
Поэтому для Фуллера сфера первична и элементарна, поскольку это максимально возможный захват пространства и максимальная энергия, переводимая из внешнего пространства во внутреннее, пусть и с более разреженной внутренней упаковкой.
Тетраэдр же — это объемная форма с минимальной энергией, которая создает условия для максимальной плотности внутренней упаковки.
Таким образом, возникает дуальность — первичная сферность как наиболее эффективная для захвата и присвоения пространства в сочетании со следующим шагом формообразования, основанном на тетраэдре. В этом смысле тетраэдр — это геометроэнергоформа, которая может быть как подсистемной — уплотнение упаковки внутри данной сферы, так и надсистемной — уплотнение упаковки между сферами во внешнем относительно них пространстве (геодезические комбинации).
Наиболее очевидный биологический пример такой дуальности/полярности как принципа — комплиментарность яйцеклетки и сперматозоида. Яйцеклетка — воплощение сферичности — самая крупная из клеток человека, максимально наполненная цитоплазмой, но при этом мягкая внутри. Сперматозоид, наоборот, — это сверхмалая клетка, в которой почти нет цитоплазмы и достигнута максимальная плотность клеточного вещества, совместимого с жизнью. Их соединение в зиготу запускает каскад формообразований, в котором реализуется огромный спектр допустимых смешений пропорций сферичности и «тетраэдричности».
Акцент на комплиментарной предельности сфер и тетраэдров определил то, что в геометрии Фуллера формообразование тетраэдра принципиально отличается от стандартной геометрии.
Мы уже говорили о том, что в классическом понимании тетраэдр — это правильный четырехгранник, формообразованный из граней треугольников.
Фуллер расставлял акценты совершенно по-другому. Его тетраэдр — это в первую очередь самозамыкание векторных отношений между элементарными сферами, поэтому его построение ведется опосредованно через сферы, а не напрямую через ребра и грани.
Для данной книги мы подготовили несколько моделей, позволяющих наглядно понять формообразование тетраэдров в энергогеометрии Фуллера.
Самый простой алгоритм иллюстрируется шариками для пинг-понга (рис. 2.7 С).
Начнем с трех сфер, плотно упакованных друг с другом таким образом, что в линию, проведенную между центрами их масс, вписывается векторный треугольник (рис. 2.1). После этого, разместив поверх них еще одной одну сферу, мы создаем создаем четвертую вершину, образуя тетраэдр.
Однако даже этот, казалось бы, очевидный шаг ставит нетривиальные вопросы. На рис. 2.7С голубые линии иллюстрируют тетраэдр, описанный вокруг сфер, — это линии, проведенные по касательным к поверхностям (оболочкам) сфер. А рис. 2.7А показывает тетраэдр, вписанный в сферы, — это векториальные треугольники, образованные линиями, проведенными между их центрами.
Какой из них первичен в геометрии Фуллера? Вписанный тетраэдр.
На рис. 2.7А собственно сферы, как оболочки не видны, но представлены силовыми векторами, соединяющими центры масс.
Для Фуллера тетраэдр — это простейшая интегративная геометроэнергоформа (основа геодезических комбинаций), определяющая систему векториальных отношений, которая имеет внутреннюю и внешнюю части, то есть имеет объем (Fuller, 1975, 638.10; Edmondson, 2007, с. 32).
Рис. 2.7. (А) Тетраэдр 1-й частоты формируется из плотной упаковки четырех сфер. (В) Добавление большего количества сфер для формирования тетраэдра 2-й частоты (см. сноску). (C) Тетраэдр занимает наименьший объем пространства в пределах наибольшей заданной площади поверхности. (© Рори Джеймс)
В этом определении важны все три аспекта.
«Простейшая» геометроэнергоформа — у Фуллера элементарной геометроэнергоформой является сфера, но она единична. В случае тетраэдра разговор идет о нескольких элементах, а не об одном. Поэтому тетраэдр — это простейшее, минимальное объединение элементов в пространстве, то есть простейшая интегративная геометроэнергоформа (геодезическая комбинация — первый из строительных интегралов).
Система векториальных отношений указывает на скрытую силовую энергоструктуру пространства, которая не наблюдается непосредственно, но определяет поведение находящихся в нем материальных элементов; имеет внутреннюю и внешнюю части, то есть имеет объем. Таким образом, Фуллер подчеркивает, что объем связан не с формальным трехмерным измерением, и не с формой контуров, а с фазовым состоянием — разграничением между внутренним и внешним пространствами (границей/оболочкой и глубиной/содержанием).
Тетраэдр занимает наименьший объем в пределах данной площади поверхности любой симметричной структуры, что делает его формой с минимальной энергией.
На первой итерации мы плотно упаковали четыре элементарные сферы и получили тетраэдр как простейшую интегративную геометроэнергоформу/структуру. Такой простейший тетраэдр Фуллер называл тетраэдром первой частоты и обозначал 1F (F от английского frequency).
Перейдем к следующему шагу интеграции и посмотрим, что происходит при добавлении большего количества сфер. Удивительным образом ситуация начинает ветвиться и получаются два различных алгоритма формообразования, развивающихся от простейшего тетраэдра первой частоты!
Во-первых, оказывается, что их сферы также можно соединить подобным образом (под углами 60°), чтобы создать больший тетраэдр второй частоты (2F). Это и есть наглядные примеры геодезических комбинаций Фуллера.
Напомним, что у Фуллера понятие частоты заменяет понятие величины (размера). Его интересует только внутренняя архитектура, а не размер в единицах измерения длины. (Fuller, 1975, 413.00; Edmondson, 2007, с. 125)! Это иллюстрирует рис. 2.7B.
Обратите внимание, как только мы научились представлению сфер через их внутренние векторы сил (рис. 2.7А), то, рассматривая добавление последующих элементов, перестали ставить друг на друга непосредственно объемные сферы (как шарики в рис. 2.7С), а перешли исключительно к их векторному представлению.
Но это не единственный вариант интегрирования добавочных сфер.
Во-вторых, кроме «большего» тетраэдра второй частоты может начать формироваться другая структура, а именно цепочка тетраэдров первой частоты, которая скручивается в так называемую тетраспираль (Fuller, 1975, 930.00) (рис. 2.8).
Поскольку каждый состоящий из сфер тетраэдр первой частоты является предельным минимумом, занимающим наименьшую долю пространства (Lord et al., 2006), то и тетраспиральная цепь, образующаяся при дальнейшем добавлении большего количества сферных элементов, расположенных подобным образом, образует цепь, которая тоже стремится к этому минимуму занимаемого пространственного объема (плотной упаковке).
Это свойство тетраэдров и образованных их объединением интегративных геометроэнергоформ мы в дальнейшем будем называть структурной эффективностью, стоящей за геодезическими комбинациями.
Плотная упаковка тетраэдров намного ближе к нашему интуитивному восприятию «сплошности» в заполнении пространства, чем плотная упаковка сфер, но мы должны помнить, что это уже суперплотность упаковки, поскольку тетраэдры — это уже интегративные, а не базовые геометроэнергоформы в отличие от сфер.
На этом интересные свойства тетраспиралей не заканчиваются.
Помимо структурной эффективности, их следующей ключевой характеристикой является так называемая хиральность, а именно закрученность, спиральная ориентированность (рис. 2.9). В зависимости от того, к какой грани исходного тетраэдра первой частоты подсоединяются добавляющиеся сферы, — спираль может быть либо левозакрученной (Left, левосторонней) либо правозакрученной (Right, правосторонней). В таком случае их называют L-спираль и R-спираль. (Некоторые авторы описывают хиральность через часовую стрелку — закрученность по часовой стрелке и против часовой стрелки), а также понятие «ход»: левый ход и правый ход.
Как всегда, мы считаем необходимым подкрепить введение новых математических конструкций, таких как тетраспираль, отсылками к природным примерам самоорганизации, которые их явно иллюстрируют.
Благодаря своей структурной эффективности, а также наличию и внедрению лево— и правосторонних вариаций хиральности, тетраспираль — особенно подходящая модель для молекулярной упаковки. (Chouaieb et al., 2006) (рис. 2.9). А также, как мы увидим позже, образует геометрическую основу для значительного числа белковых структур (Sadoc & Rivier, 2000; Lord, 2002), трубчатых стенок кровеносных сосудов (Holzapfel, 2006) и мышц (Scarr, 2016a); даже кости при движении следуют по сложным лево— и правосторонним спиральным траекториям!
Рис. 2.8. Цепочка тетраэдров, образующая тетраспираль с правосторонним скручиванием
Рис. 2.9. Лево— и правосторонние тетраспирали, происходящие из тетраэдра. (© Рори Джеймс)
Тетраспираль — это неканоническая геометроэнергоформа, поскольку не входит в канонический список из пяти платоновых тел (рис. 2.5), но при этом она рассматривается Фуллером как исключительно важный шаг в его геодезической синергогеометрии и, по сути, тоже может считаться фундаментальным архетипом геодезических комбинаций. В этом смысле тетраспираль — это фуллерово тело (синергоформа), не имеющее платонова аналога.
Дело в том, что именно тетраспираль означает возникновение объективных фундаментальных геодезических направлений, обозначаемых как лево— и правосторонние.
Именно в этом состоит неоспоримое преимущество геометрии Фуллера в сравнении со стандартной геометрией Евклида/Декарта, в которой левая и правая стороны — это не более чем предмет договоренностей, связанных с виртуальным, произвольным заданием системы координат внешним наблюдателем, и выбором в ней нуля как точки отсчета, относительно которой и определяются право и лево. Однако при этом сами направления неотличимы друг от друга, не имеют объективной природной представленности и являются расчетными.
Лево— и правосторонние геодезические тетраспирали Фуллера, напротив, являются объективными геометроэнергоформами, их различие не зависит от наименования и их нельзя перепутать или превратить друг в друга — они имманентны пространству, являются его свойством. Наглядный пример этой разницы в хиральности — левая рука и правая рука (и ноги, естественно, тоже).
Кроме того, мы видим, что в геометрии Фуллера направления как таковые не могут быть введены сразу, поскольку это не просто результат внешней договоренности о том, что называть «лево» или «право», как в обычной геометрии. У Фуллера направления эмерджентны, они именно самоорганизационно возникают через несколько шагов при последовательной интеграции базовых, пространственно предельных геометроэнергоформ (синергоформ) сначала первичного объема всенаправленной сферы, а затем тетраэдра первой частоты.
То есть, по сути, тетраспираль — это вторая аналитическая синергетическая производная от элементарной сферы, которая по своей математической структуре является интегралом. То есть под таким углом рассмотрения геометрию Фуллера можно считать интегро-дифференциальной по своей внутренней структуре.
Рис. 2.10. 2-я, 3-я и 4-я частоты тетраэдра (синего цвета), показывающие появляющийся октаэдр (желтый) и его собственную 2-ю 2F частоту. (© Рори Джеймс)
Продолжая нарратив архетипических платоновых тел как отображение повышения уровня интеграции фуллеровых синергоформ, в следующей части мы перейдем к рассмотрению геодезической геометрии октаэдра («правильного восьмигранника»).
Хотя тетраэдр 1-й частоты — структура с минимальной энергией, а тетраэдр второй частоты (2F) способствует появлению на базе этой интегративной конфигурации следующей архетипической геометроэнергоформы — октаэдра (рис. 2.10).
Октаэдр (правильный восьмигранник) формируется путем объединения в пространстве шести элементарных сфер. На рис. 2.11 мы уже традиционно пользуемся фуллеровским геодезическим представлением сфер, через их центры (магнитные металлические шарики) и их векторно-силовые соединения или точек в пространстве (желтые магнитные стержни).
Самыми очевидными примерами октаэдров, наблюдаемых в природе, являются кристаллы минералов (рис. 2.11), а также микроорганизмы, называемые радиолярии (Haeckel, 1887, с. 117).
Кроме того, октаэдр как каноническая геометрическая форма популярен в строительных конструкциях, особенно в сочетании с тетраэдром, когда он образует так называемые октетные стропила, или октетную связку, которые нередко используют инженеры-строители в силу их структурной прочности и стабильности (Fuller, 1975, 422.00; Edmondson 2007, с. 144) (рис. 2.12). Эта структурная прочность и стабильность достигаются за счет того, что хотя три центральных квадрата октаэдра и расположены под углом 90° друг к другу, но самостабилизируются под нагрузкой благодаря окружающим их поперечным распоркам, расположенным под углом 60°.
Рис. 2.11. (A и B) Октаэдры первой и второй частоты (© Рори Джеймс) Октаэдрические кристаллы пирита (C) и алмаза (D). (Воспроизведено из Scarr, 2010; © Elsevier). (E) Шпинель
Рис. 2.12. Октетная стропильная конструкция восьмигранных строительных ферм (октетная связка). (© Рори Джеймс)
Как и геодезический купол, октетные стропила, официально называемые восьмигранными строительными фермами, это приобретшее большую практическую популярность инженерно-архитектурное нововведение Б. Фуллера, которое он изобрел (патент 1961 г.), используя метод своей синергетической геометрии.
Возвращаясь к природным примерам, хорошую аппроксимацию данной стропильной конструкции можно обнаружить в костях птиц, что наверняка объясняется одновременным сочетанием в ней прочности и легкости (Thompson, 1961, с. 236).
Эти иллюстрации дают нам самое первое знакомство с октаэдром как с канонической геометрической структурой, но реальная ценность октаэдра как геодезической геометроэнергоформы проявляется тогда, когда он выступает частью динамической энергетической системы. Вскоре мы к этому подойдем.
Третьей канонической платоновой формой является куб (гексаэдр), правильный шестигранник: шесть граней, восемь вершин.
Именно на этом элементе отличие подхода Фуллера от классической геометрии становится наиболее очевидным даже для читателя, не особо математически эрудированного.
Это связано с тем, что в силу мышления, воспитанного на кубической системе координат, куб для нас является самой привычной, понятной и нормальной геометроформой, даже для тех, кто никогда особенно не интересовался геометрией. В отличие от остальных «-эдров» с кубом все кажется родным, привычным и интуитивно понятным — он выглядит для нас наиболее устойчивым и прочным, мы с детства помним о том, что кубики можно ставить друг на друга.
Именно поэтому, представляя себе внутреннюю структуру куба в плотной упаковке, возникает искушение представить его состоящим всего из восьми сфер, каждая из которых занимает свою вершину, и все грани либо вертикальны, либо горизонтальны. Однако это ловушка ума, с детства воспитанного на рукотворных кубах и прямоугольниках.
Как оказывается, в природной реальности такая форма по своей природе внутренней структуре нестабильна и легко коллапсирует даже при небольших нагрузках, вносящих деформацию сдвига.
В этом смысле куб Фуллера — прекрасная иллюстрация разницы между просто зазорами и зазорами в плотной упаковке.
Плотная упаковка — это не о «сплошности» и не о зазорах. Она о стабильности и энергоэффективности!
На практике для наиболее эффективной и стабильной структурной организации внутренней пространственной упаковки сферы должны быть смещены под 60° по отношению друг к другу, таким же образом, как в тетраэдре и в октаэдре.
В результате правильным решением проблемы максимальной структурной прочности куба при плотной упаковке будет такая геометроформа, где куб образован 14 сферами, а не 8, которые представляет себе стандартное «кубическое» мышление (рис. 2.13).
Для простоты запоминания назовем этот 14-сферный куб фуллеровским, чтобы отличать его от стандартного 8-сферного платоновского куба, который мы все автоматически себе представляем, размышляя о структуре.
Рис. 2.13. (А) Структура куба; обратите внимание на центральный октаэдр (желтый) и два взаимопроникающих тетраэдра 2-й частоты, которые его окружают (синий, зеленый). (© Рори Джеймс). (B) Двойниковые кубические кристаллы пирита с аналогичной базовой структурой атома. (© G. Scarr, любезно предоставлено Доном Эдвардсом). (C, D и E) Удаление последовательных угловых слоев более высокочастотного куба обнаруживает шестиугольник (зеленый). (© Рори Джеймс)
Модель куба, которую вы видите на рис. 2.13, на первый взгляд совсем не похожа на то, что привычно представляет себе воображение при слове «куб». Это связано с тем, что мы привыкли видеть куб извне как перпендикулярные грани квадратов, описанных вокруг скрытого внутреннего объема. На рис. 2.13 вы видите настоящую внутреннюю структуру, необходимую для самостабилизации куба под нагрузкой, это триангулированный куб Фуллера.
Куб Фуллера состоит из центрального октаэдра с образующими углы тетраэдрами на каждой из его граней. Альтернативным образом этот куб также можно рассматривать и как взаимопроникновение друг в друга двух тетраэдров 2-й частоты. Иначе говоря, итоговый результат у этих двух вариантов образования фуллеровского куба выглядит одинаково, однако внутренние процессы совершенно различны.
При любом из этих рассмотрений и вариантов сборки из элементарных сфер такой куб намного более стабилен, поскольку сферы соединены под углом 60° и триангулированы (Фуллер, 1975, с. 7; Эдмондсон, 2007, с. 54). В нем также проявляется другая знакомая форма: шестиугольник, о предельной стабильности которого мы уже говорили раньше.
А где же у этого странного куба квадратные грани, наверняка хочется спросить читателю. Их нет!
В том то и дело, что квадратные плоские ровные грани — это не более чем стандартная геометрическая условность. Абстрактная двумерность, создающая иллюзию «сплошности» и возможности плоской нарезки пространства, изобретенная тысячи лет назад для комфорта восприятия и удобства землемерной практики, но не связанная со структурой природной реальности!
Напомним базовую идею Фуллера: в природе первичен и реален только всенаправленный объем. Наличие объема определяется возможностью различения внутреннего и внешнего, что, в свою очередь, определяет понятие двусторонней поверхности. В геометрии Фуллера нет абстрактных, предварительно договорно заданных низких размерностей в привычном нам геометрическом смысле (0-мерная точка, 1-мерная линия, 2-мерная плоскость и т. д.).
Поэтому у куба Фуллера нет стандартных квадратных граней, привычных нашему восприятию и пониманию, как нет и привычных ребер. Зато в нем есть плотно упакованная, максимально энергетически эффективная и самостабилизирующаяся внутренняя структура.
На примере куба как интегративной геометроформы мы видим наиболее явное различие энергогеометрии Фуллера и впитанной нами с детства классической геометрии, где для нас именно его ребра и квадратные грани определяют, что это именно куб!
Куб Фуллера как геометроэнергоформа является только и исключительно объемным («всенаправленно трехмерным») — у него нет проявленных двумерных квадратных граней. Нет в нем и «одномерных» ребер (отрезков); нет и прямых углов при вершинах — в кубе Фуллера нет ничего привычного! Не говоря уже о том, что у него нет размера!
Именно этот выбор нам и предлагает сделать Фуллер — оставаться оторванными от реальности в комфортной плоской иллюзии или направиться вглубь природы реальности, несмотря на необходимость интеллектуальной работы. Выбрать классический «пустой» куб стандартной геометрии, не имеющий внутренней пространственной структуры, но зато приятно ровный, гладкий, комфортно измеримый, или пойти по пути поиска максимальной энергоэффективности; преемственного сохранения плотности упаковки его элементов и усложнения внутренней пространственной структуры.
Но несмотря на свою кажущуюся необычность и «некубичность», на самом деле куб Фуллера имеет прекрасную родословную.
Во-первых, именно такой куб часто встречается в природе. Например, в кристаллических структурах минералов пирита, флюорита и галита (поваренной соли), а также в качестве основного рисунка в ядрах белковых молекул (Izard et al., 1999), в клеточных мембранах (Almsherqi et al., 2012), в чешуйках крыла бабочки (Hyde & Schröder-Turk, 2013) и у радиолярии (Haeckel, 1887, с. 94).
С другой стороны, и сама геометрия куба Фуллера может быть прослежена в истории на много веков назад. В нем также проявляется другая знакомая форма — шестиугольник. Леонардо да Винчи (1452–1519) назвал этот куб star tetrahedron звездным тетраэдром (Fuller, 1975, 637.00), Йоханнес Кеплер (1571–1630) назвал его stella octagula, звездчатый октаэдр (Motro, 2003, с. 99), а сам Бакминстер Фуллер назвал этот куб дуотетом (Fuller, 1975, 1006.32).
Куб Фуллера встречается в природе в кристаллических структурах минералов пирита, флюорита и галита (поваренной соли), а также в качестве основного рисунка в ядрах белковых молекул (Izard et al., 1999), в клеточных мембранах (Almsherqi et al., 2012), в чешуйках крыла бабочки (Hyde & Schröder-Turk, 2013) и у радиолярии (Haeckel, 1887, с. 94).
Но в истории математики до Фуллера дуотет-кубоктаэдр всегда был не более чем красивым артефактом, и только Фуллер в полной мере осознал приоритет важности плотно упакованного внутреннего объема над внешней квадратностью и неровностью виртуальных граней.
Мы делаем такой акцент на геометрии фуллеровского куба, поскольку именно куб является основой нашего нормального восприятия действительности — как бытовой повседневной, так и научной. На этом примере легче всего понять всю глубину различий между фуллеровской и стандартной картинами мира.
Фуллеровский куб иллюстрирует еще одно ключевое свойство синергогеометрии — процессность и эмерджентность. Его невозможно сделать за один раз — просто нарисовать или единомоментно обозначить формулой как целый объект: он возникает в процессе приращения и интеграции элементарных сфер, последовательно стыкующихся к разным граням исходной. Каждый шаг возникновения является потенциальной развилкой, где стыковки новых сфер могут пойти по другому пути, например тетраспирали или тетраэдра более высокой частоты. А значит, в энергогеометрии Фуллера по определению заложено собственное время, отображающее уникальный процессный путь, который проходит именно эта структура в своем формировании.
В отличие от «безвременно́й» и «беспамятной» стандартной геометрии, в фуллеровской синергогеометрии сразу, по умолчанию, заложена память, заложена тактовая частота (скорость добавления новых элементов или реконфигурации), заложена мета-синхронизация между разными собственными временами объединяющихся или растущих структур.
Поэтому именно фуллеровская геометрия выглядит наиболее подходящей для понимания развития и формирования природных структур, включая и развитие организма человека.
Рис 2.13 ©, (D), (E), иллюстрируют подпространственные срезы фуллеровского куба, которые дают нам возможность увидеть его внутреннюю структуру.
Таким образом, к текущему моменту уже должно быть очевидно, что треугольник, квадрат, шестиугольник, фуллеровские тетраэдр, октаэдр и куб вложены друг в друга, а их пересекающиеся точки (сферы) расположены через равные промежутки.
Все вместе они образуют общую, решетчатую структуру, которая, будучи оптимизирована под самостабилизацию плотной упаковки, а не под однородную «сплошность», заполняет весь объем пространства без пропусков и промежутков.
При этом наблюдаемые плоские грани — такие как треугольники и шестиугольники — это границы между возникающими объемами, а не истинно плоские грани геометрических фигур. Фуллеровские грани эмерджентны, они возникают только в пространстве взаимодействия объемов.
Поэтому фуллеровские грани — это 3D+3D=6D, они по своей процессной сути шестимерны (при их «пересчете» в понятия стандартной геометрии), а не двухмерны. Эта решетчатая структура в процессе своего роста распространяется во всех направлениях.
Фуллер назвал такую структуру изотропной векторной матрицей (ИВМ) (IVM) (Fuller, 1975, 420.00; Edmondson, 2007, с. 143).