Перед тем как перейти к четвертой платоновой/фуллеровой энергоформе, с нашей точки зрения, наиболее информативной именно в применении к биологии позвоночных, икосаэдру, необходимо дать два важных пояснения.
Во-первых, краткое объяснение ИВМ с энергетической и силовой точки зрения.
Во-вторых, введение очень важного понятия векторного равновесия (точнее, векториального взаимоуравновешивания).
В этих понятиях мы сможем пронаблюдать скрытую неоднородность пространства, проявляющуюся в одновременном сочетании его плотной беззазорной заполненности с выявлением различий в паттернах его заполнения векторными многогранниками.
Дело в том, что ИВМ, будучи наиболее плотной упаковкой из сфер одинаковых размеров, позволяет обнаружить внутри себя еще одну важную скрытую фуллеровскую геометроформу — кубоктаэдр, состоящую из 12 сфер, окружающих центральное ядро. Как и тетраспираль, это неканоническая форма, не входящая в платоновы архетипы, но в геометрии Фуллера кубоктаэдр играет исключительно важную роль (рис. 2.14).
Рассматривая кубоктаэдр с энергетической точки зрения, Фуллер описал каждую сферу как центральное ядро динамической энергетической системы, в которой векторы силы, расходящиеся от этого ядра наружу, уравновешиваются встречным действием векторов окружающих его сил, и назвал это векторным равновесием (ВР), а если точнее, векториальным уравновешиванием. (Fuller, 1975). 430,00; Эдмондсон, 2007, с. 90, 103).
Уникальность кубоктаэдра в том, что это единственный многогранник, в котором расстояние от центра до каждой из вершин равно длине его граней. Радиусы соединяют все 12 вершин с центром, образуя 24 равносторонних треугольника. Поэтому все углы между всеми его узловыми точками тоже равны. (Эдмондсон, 2007, с. 91). Поскольку вектора определяются как величиной, так и направлением, то это и есть максимально внутренне уравновешенная структура.
Рис. 2.14. Сферная модель кубоктаэдра из шариков для пинг-понга, полученная из изотропной векториальной матрицы (в данном примере — из тетраэдра 4-й частоты), представляет собой наиболее плотную упаковку из двенадцати сфер, окружающих центральное ядро, где соединения, расходящиеся от центральной сферы (красные), уравновешиваются окружающими его периферийными окружностями (круговыми периметрами) (желтый). (© Рори Джеймс). Кубоктаэдр моделирует динамическую энергетическую систему, известную как векториальное равновесие (ВР)
ВР также представляет собой всесторонне-симметричную модель сбалансированных векторов сил, одинаково распространяющихся во всех направлениях, и первичную систему координат, генерирующую все другие формы. Эта способность наиболее эффективно заполнять пространство является важной темой, но прежде чем мы продолжим, следует кратко рассмотреть две оставшиеся платоновы формы, обе из которых находятся в другом структурном классе по сравнению с остальными, поскольку они не имеют центрального сферного ядра.
В геометрии Фуллера икосаэдр формируется 12 сферами, окружающими пустое центральное пространство (без поддержки опорной сферой ядра) в отличие от кубоктаэдра, имеющего те же 12 сфер, но вокруг центральной опорной сферы — ядра. Это его внутренняя энергоструктура. В своей внешней геометрии он идентифицируется через 12 вершин и 20 треугольных граней.
По своей природе икосаэдр очень близок к сфере в смысле энергоэффективности захвата пространства. Икосаэдр — это предельная форма для многогранников, то есть максимум захвата пространства для вписанного многогранника с только одним типом граней.
В этом и состоит ответ на часто задаваемый вопрос: «Как же так, почему икосаэдр принимается за предельную геометроэнергоформу, в то время как его объем меньше (92,55 процента), чем объем кубоктаэдра (рис. 2.15). Разве это не делает его менее эффективным для захвата пространства, чем кубоктаэдр?»
Однако в синергогеометрии Фуллера важнее не измеренный объем (поскольку в ней нет измерений), а самостабильность. Именно в этом плане икосаэдр, грани которого — это только равносторонние треугольники — наиболее эффективен, а потому и является предельной геометроэнергоформой.
Высокочастотный икосаэдр близок к соответствию предельной эффективности заполнения пространства, присущей сфере (рис. 1.7), и очень самостабилен (Fuller, 1975, 610.20); Edmondson, 2007, с. 264).
Рис. 1.7. — повторить с другой подписью — с акцентом на высокочастотность??.
Рис. 2.15. Двенадцать сфер плотно упакованы вокруг промежуточного (интерстициального) центрального пространства (без центральной сферы), образуя икосаэдр. (© Рори Джеймс)
Геометроэнергетические сферы Фуллера — это структуры с минимальной энергией, которые автоматически приобретают свою форму благодаря тому, что действующие на их поверхности давления одинаковы во всех направлениях (всенаправленны) и сбалансированы; однако в реальном мире не существует истинных сфер, поскольку их гладкие непрерывные поверхности являются всего лишь математическими идеализациями реальных процессов взаимодействия. Поэтому отход от идеализации при переходе к природной реальности более чем ожидаем (Фуллер, 1975, 515.01).
Напомним, что Фуллер рассматривал свою геометрию как способ записи диаграмм реально взаимодействующих сил.
Так, например, отдельные мыльные пузыри могут выглядеть как сферы, но на самом деле их поверхности состоят из множества молекул неправильной формы, соединенных вместе, и именно самостоятельно самоорганизованное снижение их поверхностного натяжения до энергетического минимума создает в результате такую почти сферическую форму.
Именно этим объясняется особое внимание, которое Фуллер уделял икосаэдру как геометроэнергоформе, обеспечивающей своего рода компромисс между совершенством сферы и многомасштабностью природных взаимодействий.
С одной стороны, универсальное правило поиска геометроэнергоформ с минимальной энергией означает, что в процессе своего формирования податливые органические структуры всегда будут пытаться принять форму сферы (конечную форму минимальной энергии).
Но, с другой стороны, идеальная сфера недостижима в реальном физическом мире.
В результате самой близкой к сфере формой из тех, к симметриям которых могут стремиться реальные природные формообразования, является высокочастотный икосаэдр (Fuller, 1975, с. 58; Edmondson, 2007, с. 263).
Для лучшей образности можно представить его себе как внутреннее заполнение объема сферы, максимально близко вписанное в ее гладкую оболочку и максимально близко описанное вокруг ее проекционного гладкого пустого пространства, в котором нет сферического ядра. В этом смысле икосаэдр как бы недобирает объема по сравнению с возможным максимумом (92,55 % от 100 %), но на самом деле именно он и показывает ограничения того, насколько близко можно подойти к этим виртуальным 100 % объема в реальности.
Рис. 2.16. Природные структуры на основе икосаэдра.
(А) Саповирус. (© Грэм Колм, Википедия); (Б) Радиолярии. (Воспроизведено у Геккеля, 1887, с. 117); (С) Пыльца Ипомеи. (© Дартмутский электронный микроскоп, Википедия)
Среди природных структур, основанных на икосаэдре, можно назвать молекулярный углеродный фуллерен C60 (бакибол Bucky Ball, названный в честь Бакминстера Фуллера) и икоспираль (Kroto, 1988), циклогексан, икосаэдрит (Bindi et al., 2011), радиолярию (Haeckel, 1887, с. 117), «сферические» вирусы (Caspar, 1980; Twarock, 2006) и пыльцу (рис. 2.16).
И как фундаментальный паттерн квазикристаллической структуры металлов и минералов, воды (Johnston et al., 2010), органических молекул (Glotzer & Engel, 2011; Palestini et al., 2011), и мягкой материи (Hirst, 2013), икосаэдр действительно заслуживает более пристального внимания, так что мы рассмотрим его намного подробнее в следующих главах. Перенося принцип максимальной плотности упаковки в природную реальность, Левин (2006) назвал тенсегрити икосаэдр начальным первоэлементом биологической структуры.
Пятая и последняя из платоновских/фуллеровских геометроэнергоформ, которую мы еще не описали, — это додекаэдр (12 граней и 20 вершин), основанный на принципе пятиугольных граней.
Геометрия додекаэдра дуальна к геометрии икосаэдра, в котором, наоборот, 12 вершин и 20 граней, и именно поэтому он был включен в фуллеровский список фундаментальных геометроформ.
Однако в отличие от геометроэнергоформ, рассмотренных ранее, его описание и анализ существенно более сложны в сравнении с другими фуллеровскими геометроэнергоформами, поскольку его нетриангулированные пятиугольные грани неустойчивы (рис. 2.5).
Поэтому в нашей работе мы ограничимся лишь упоминанием о додекаэдре, не вдаваясь в подробности.
Для дальнейшей работы над приложениями биотенсегрити к практическим проблемам нам будет достаточно тех основных представлений об основах синергогеометрии Фуллера, которые мы уже обозначили, пройдя от тетраэдра до икосаэдра, а также познакомившись с тетраспиралью и кубоктаэдром.
Тем не менее, продолжая нашу традицию отсылок к непосредственным наблюдениям за природой, отметим, что форма додекаэдра естественным образом проявляется в кристаллах пирита и квазикристаллах (рис. 2.17), в молекулах воды (Johnston et al., 2010) и в центральном ядре некоторых белков (Izard et al., 1999).
Однако прежде чем пойти дальше, мы должны немного остановиться, чтобы поразмышлять о природе этих двух последних фуллеровских геометроэнергоформ — икосаэдра и додекаэдра.
Традиционно минеральные кристаллы могут иметь симметрию 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка подобно ИВМ (рис. 2.13), но никак не 5-го порядка (Pina & López-Acevedo, 2016). Таким образом, кристаллический вид фигур на рис. 2.17А и В слегка обманчив, но при этом весьма интересен, поскольку они не являются простым отражением внутренней организации их атомов.
Дело в том, что додекаэдрические кристаллы довольно распространены, а вот икосаэдры чрезвычайно редки, и появление визуально наблюдаемых икосаэдров в природе означает, что должно происходить что-то еще, скрытое от глаз (рис. 2.17C), но, чтобы узнать об этом больше, нам придется потерпеть до главы 10.
Итак, теперь, когда мы описали все основные геометроэнергоформы, которые Фуллер рассматривал как фундаментальные для естественных процессов, мы можем подвести некоторый итог тому, почему они так важны для живых организмов.