Хорошо известно, что полное заполнение (без зазоров) двумерной плоскости с использованием единственного вида правильной геометроформы может быть выполнено только с помощью треугольников, квадратов, ромбоидов и шестиугольников (три, четыре и шесть сторон) (рис. 10.6), и некоторые биологические примеры триангулированных шестиугольников были показаны на рис. 2.4.

В этом случае получившийся паттерн называют периодическим, поскольку каждая из геометроформ (называемых в такой ситуации «плитками») в совершенстве (абсолютно точным образом) повторяет себя в любом заданном направлении, образуя так называемую симметрию передачи.

В 1974 году Роджер Пенроуз открыл иную организацию мозаики, которая использует две или более различные геометроформы для мозаичного заполнения плоскости. При этом она никогда не повторяется ни в каком из направлений, поскольку она апериодична (не является периодической) и не обладает трансляционной симметрией (рис. 10.7A) (Lord, 1991; Lord et al., 2006). Мозаики Пенроуза являются одним из самых новых и ярких открытий в геометрии, поскольку они имеют симметрию 5-го порядка, такую же, как икосаэдр (рис. 10.5), и комбинируют в себе обычные геометроформы, такие как ромбоиды, стрелки, воздушные змеи и т. д.

Рис. 10.6. Мозаичное заполнение плоскости с использованием только одной правильной геометроформы образует периодический узор (паттерн), повторяющийся в любом заданном направлении. Обратите внимание на треугольный шаблон (желтого цвета): он отражает баланс сил в плотно упакованных шестиугольниках (рис. 2.1).

Рис. 10.7. (A) Образцы мозаики Пенроуза апериодичны (непериодичны) и никогда в точности не повторяются ни в каком направлении. Соответствующие линии Аммана белого цвета (B) и синего цвета (C), проведенные поперек мозаики, подтверждают ее апериодичность и показывают основной квазипериодический паттерн в одном измерении: последовательность Фибоначчи и золотое сечение.

Рис. 10.8. Самоподобие мозаики Пенроуза в разных масштабах (стрелы и воздушные змеи) и наложенные ромбоиды из рис. 10.7. (Перерисовано с изменениями из Tovrstra, Wikipedia)

Однако самое интересное в другом. Все эти разнообразные числа, площади и позиции всех этих форм в мозаике Пенроуза связаны друг с другом через золотое сечение!

Чтобы убедиться в том, что мозаика Пенроуза действительно организована апериодически, можно сопоставить ее края с прямыми линиями, проведенными поперек каждой плитки, это поможет выявить еще одну скрытую симметрию (рис. 10.7B и C) (Lord et al., 2006). Эти так называемые стержни Аммана образуют пять наборов параллельных линий, расположенных через длинные и короткие интервалы, которые отражают числа в последовательности Фибоначчи и ориентированы перпендикулярно пяти осям правильного пятиугольника (рис. 10.5). Таким образом, мозаика Пенроуза создает узоры, которые подчиняются золотому сечению и являются квазипериодическими из-за лежащего в их основе дальнего порядка в одном измерении (1D). Однако части этого двумерного узора повторяются в разных масштабах, так что любой конкретный участок мозаики содержится внутри какого-то другого участка (инвариантность масштабов) (рис. 10.8). С математической точки зрения этот гетерархический паттерн продолжается бесконечно (благодаря симметрии между его инфляцией и дефляцией), подобно истинному фракталу (Ramachandrarao et al., 2000), и особенно полезен при изучении биологической сложности (Mandelbrot, 1983).