Фракталы могут показаться довольно странными, поскольку они существенно отличаются от привычных для нас из школьного курса геометрии целых размерностей — 1D (линия), 2D (поверхность), 3D (объем).

Размерности (пространственные измерения) фракталов — это не целые числа (1, 2 и 3), а «дробные пространственные измерения» между 1D и 2D или между 2D и 3D! Эта непривычность часто приводит к тому, что этот термин неправильно истолковывается и используется применительно к биологическому контексту (Jelinek et al., 2006; Bejan, 2016).

На рис. 10.9 показан принцип фрактала. На первой итерации все кажется вполне привычным — кратчайший путь (1D геодезическая) между двумя противоположными углами квадрата является диагональной линией, а самый длинный путь проходит по двум его сторонам (2D). Однако если разделить каждую из этих сторон на более мелкие квадраты и последовательно следовать за растущим числом меньших зигзагообразных линий между этими точками 1 и 2, то будет видно, что самое длинное расстояние остается неизменным на каждом этапе, но зигзагообразные линии теперь настолько малы, что они неотличимы от диагонали! Перед нами очевидный парадокс, поскольку длины диагонали и маленьких зигзагов теперь как будто бы совпадают друг с другом! Но на самом деле этот парадокс только кажущийся, поскольку мы имеем дело с эффектом склейки больших и меньших масштабов. Если мы задействуем микроскоп для того, чтобы передвинуться на более мелкий масштаб, то различия в их длине путей по диагонали и по сторонам квадрата вновь проявятся, поскольку этот самоподобный математический паттерн продолжается бесконечно (Lord et al., 2006).

Рис. 10.9. (A) Репрезентация самоподобной фрактальной организации, в которой кратчайшее расстояние между точками 1 и 2 (1D) становится неотличимым от более длинного зигзагообразного маршрута (2D) в макромасштабе, но остается достаточно отчетливым при просмотре в масштабе меньшего размера. (Redrawn from Fuller, 1975, p. 266). (B) Самоподобная фрактальная организация цветной капусты сорта романеско

Эта иллюстрация (рис. 10.9) является репрезентацией истинного фрактала с размерностью, явно превышающей 1D (диагональ → зигзаг), но явно меньшей, чем 2D (зигзаг → диагональ). Суть этого принципа имеет фундаментальную простоту, которая хорошо проиллюстрирована в рисунках Эшера (Ernst, 1985) и с пользой применяется к многомасштабной природе живых организмов (Dinicola et al., 2011; Kiely, 2017).

Важно отметить, что, говоря математически строго, только истинные фракталы бесконечны, в то время как конечная пространственная организация биологических структур может лишь приблизиться к их эффективности заполнения пространства фракталами, и поэтому является лишь фракталоподобной, как бы фракталом.

Однако с практической точки зрения можно и биологические фракталы считать квазибесконечными (иначе говоря, они никогда не кончаются и при переходе от большего масштаба к все меньшему по-прежнему за фракталом открывается фрактал). Именно фрактальность обеспечивает удивительную активную емкость вложенных рабочих поверхностей живых организмов, когда в очень небольшую внешнюю поверхность упаковывается огромная внутренняя. (Напомним, уже упоминавшийся факт, что суммарная площадь одних только коллагеновых рабочих поверхностей на масштабе нанометров внутри нас составляет почти 1 000 000 м²!)

Именно это свойство внутренней квазибесконечности, или огромности, внутренних рабочих, то есть динамически активных, поверхностей вносит принципиальную разницу в структурный анализ биологических организмов.

В отличие от неглубоких инженерных систем/механизмов, в которых разница между внешними и внутренними рабочими поверхностями очень невелика, биологические организмы механически «бездонны» как бесконечные оригами.

Поэтому стандартная инженерно-расчетная схема структурного анализа, успешно применяемая в промышленности и строительстве неглубоких механических систем, приводит к грубейшим ошибкам интерпретации при попытке ее прямого переноса в биомеханику очень глубоких механических систем.

Такое самоподобие (фракталоподобность) — эмерджентное биологическое свойство в 1D, 2D и 3D, которое характеризует гетерархии промежуточных филаментов в цитоскелете (Qin et al., 2009), спектрине (рис. 6.4), коллагене (рис. 6.5), росте ткани (рис. 3.9), миофасциях (рис. 6.11), черепных швах (рис. 8.3A), легком млекопитающего (Weibel, 2009) и в ветвлении артерий (Zamir, 2001). Развивающиеся из фракталов паттерны и геометроформы никогда не повторяются в точности: они иррегулярны и уникальны каждый сам по себе, но при этом общность их основной геометрии достаточно очевидна (Ball, 2016).

Это также соответствует рассуждениям Levin (2006) об анатомии как гетерархическом комплексе модульных структур, вложенных друг в друга, и подчеркивает объединяющую ценность концепции многомасштабной биотенсегрити (рис. 3.7).

Соединительные связи

Если мы вернемся к сферическим вирусам, то обнаружим еще две представляющие интерес формы, которые напрямую связаны с множественными симметриями икосаэдра: икосидодекаэдр с его 20 треугольниками и 12 пятиугольными гранями и его двойник, ромбический триаконтаэдр с его 30 ромбическими гранями, оба из которых относятся непосредственно к золотому сечению (рис. 10.10А и В). Поскольку икосаэдр и пятиугольный додекаэдр имеют шесть пятикратных, 10 трехкратных и 15 двукратных осей вращательной симметрии, компоненты на их поверхностях можно упорядочивать различными способами, и, наряду с золотым сечением, мозаикой Пенроуза и принципами квазиэквивалентности, все это позволяет поместить все ранее неклассифицированные вирусы в единую геометрическую систему, которая теперь включает в себя все «сферические» вирусы (Twarock, 2006; Konevtsova et al., 2015) (рис. 10.1 °C). Тогда капсидные белки, которые самопроизвольно организуются в эти механизмы, — лучший компромисс между эффективностью заполнения пространства в плотной упаковке и минимизацией энергии свободной поверхности (Iacovella et al., 2011), при этом золотое сечение и икосаэдр связывают эти вирусы в совершенно новые классы структур.

Рис. 10.10. Симметрии икосидодекаэдра (A) и его двойника, ромбического триаконтаэдра (B) лежат в основе квазиэквивалентной мозаики воздушных змеев и ромбов, которые вместе представляют собой наиболее эффективное расположение капсидных белков, перекрывающих икосаэдрическую матрицу полиомавируса (С). (После Twarock, 2006)