Итак, мы рассмотрели один остроумный пример теории скрытых параметров. Теперь я хочу показать вам пример, который лично я считаю еще более остроумным. Когда я начал размышлять о теории скрытых параметров, это было первое, что мне пришло в голову предложить. Позже я обнаружил, что Шрёдингер в почти забытой статье 1931 г.[97] предложил ту же идею.

Говоря конкретнее, идея Шрёдингера состояла в том, чтобы определить переходные вероятности в квантовой механике через решение системы связанных нелинейных уравнений. Проблема в том, что Шрёдингер не смог доказать, что его система имеет решение (тем более единственное решение); пришлось дождаться работы Масао Нагасавы[98] в 1980-е гг. К счастью, меня заботили только квантовые системы конечной размерности, где все намного проще и где я мог дать достаточно элементарное доказательство того, что система уравнений имеет решение.

Так в чем же здесь идея? Если вы помните, мы хотим заданную унитарную матрицу U каким-то образом «конвертировать» в стохастическую матрицу S, отображающую начальное распределение на конечное. По существу, это эквивалентно нахождению матрицы переходных вероятностей P, то есть неотрицательной матрицы, i-й столбец которой в сумме дает |α_i|², а j-я строка в сумме дает |β_i|². (Это всего лишь условие, при котором безусловные вероятности примут обычные квантово-механические значения.)

Поскольку мы хотим получить в результате неотрицательную матрицу, разумным первым шагом было бы заменить везде U на ее абсолютное значение:

Что дальше? Ага, мы хотим, чтобы i-й столбец в сумме давал |α_i|². Поэтому давайте продолжим самым грубым ходом, какой только можно придумать, и для любого 1 ≤ i ≤ N просто нормализуем i-й столбец так, чтобы в сумме он давал |α_i|²!

Дальше, мы также хотим, чтобы j-я строка в сумме давала |β_i|². Как мы этого добьемся? Правильно, для любого 1 ≤ j ≤ N мы просто нормализуем j-ю строку так, чтобы в сумме она давала |β_i|².

Конечно, после того как мы нормализуем строки, в общем случае i-й столбец уже не будет в сумме давать |α_i|². Но это не проблема: мы просто нормализуем столбцы еще раз! После этого мы еще раз нормализуем строки (которые пострадали при нормализации столбцов), затем вновь нормализуем столбцы (пострадавшие при нормализации строк) и так далее до бесконечности.

Упражнение (трудное). Докажите, что этот итерационный процесс сходится для любых U и |ψ〉 и что предел этой последовательности — матрица P = (p_ij) переходных вероятностей, то есть неотрицательная матрица, i-й столбец которой дает в сумме |α_i|², а j-я строка дает сумме |β_i|².

Нерешенная задача (если вы ее решите, дайте мне знать). Докажите, что небольшое изменение U или |ψ〉 приводит лишь к небольшому изменению в матрице P = (p_ij) переходных вероятностей.