Вспомните цель теории скрытых параметров: мы начинаем с унитарной матрицы U и состояния |ψ〉; из них мы хотим получить стохастическую матрицу S, отображающую первоначальное распределение на конечное. В идеале S должна выводиться из U «естественным», «органичным» способом. Так, к примеру, если элемент U с номером (i, j) равен нулю, то (i, j) — й элемент S тоже должен быть равен нулю. Аналогично небольшое изменение U или |ψ〉 должно производить в S тоже лишь небольшое изменение.

Заранее неясно, существует ли хотя бы теория скрытых параметров, удовлетворяющая двум приведенным выше требованиям. Так что первым делом я хочу дать вам простую и элегантную теорию, удовлетворяющую этим требованиям.

Основная идея в том, чтобы рассматривать массу вероятности, протекающую через мультивселенную, в точности как нефть, текущую по трубам! Мы представим, что первоначально у нас есть |α_i|² единиц «нефти» в каждом базисном состоянии |i〉, тогда как к концу мы хотим иметь |β_i|² единиц нефти в каждом базисном состоянии |i〉. Здесь α_i и β_i — начальная и конечная амплитуды |i〉 соответственно. Кроме того, мы будем считать |u_ij| — абсолютную величину (i, j) — го элемента унитарной матрицы — пропускной способностью «нефтяной трубы», ведущей из |i〉 в |j〉.

Первый вопрос таков: для любых U и |ψ〉 можно ли направить 1 единицу нефти целиком из s в t по приведенной сети G (U, |ψ〉), не превысив при этом пропускной способности труб?

Я доказал[96], что ответ: да. В моем доказательстве используется фундаментальный результат из 1960-х гг., известный как теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе. Те из вас, кто завершает обучение по специальности теоретическая информатика, может быть, припомнят что-то такое из материала первых курсов. Остальным, пожалуй, стоит увидеть это хотя бы раз в жизни. (Это полезно не только для интерпретации квантовой механики, но также для таких вещей, как интернет-маршрутизация!)

Итак, что же говорит нам теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе? Предположим, у нас есть сеть нефтяных труб, такая, как показано на рисунке, с «источником», обозначенным s, и «стоком», обозначенным t. Каждая труба имеет известную пропускную способность, которая характеризуется неотрицательным действительным числом, обозначающим, сколько нефти можно прокачать по этой трубе за секунду. Тогда максимальный поток — это всего лишь количество нефти, которую можно прокачать от s к t за одну секунду, если направить потоки по трубам наилучшим способом. А минимальный разрез — это наименьшее действительное число C, такое, что какой-нибудь террорист, взорвав трубы с суммарной пропускной способностью C, может прервать всякую перекачку нефти от s к t.

Для примера вопрос: чему равны максимальный поток и минимальный разрез для приведенной схемы?

Верно: то и другое равно 3.

В качестве тривиального наблюдения я утверждаю, что для любой схемы максимальный поток не может быть больше минимального разреза. Почему?

Верно: потому что минимальный разрез, по определению, равен полной пропускной способности некоторого «критического участка», через который в какой-то момент должна пройти вся нефть! Иными словами, если взрыва труб с суммарной пропускной способностью C достаточно, чтобы снизить поток от s к t до нуля, то возвращение этих труб в строй не может увеличить поток больше чем до C.

Далее, теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе гласит, что обратное тоже верно, а значит, для любой сети максимальный поток и минимальный разрез на самом деле равны.

Упражнение (для тех, кто никогда этого не видел). Докажите теорему о максимальном потоке и минимальном разрезе.

Упражнение (трудное). При помощи теоремы о максимальном потоке и минимальном разрезе докажите, что для любого унитарного U и любого состояния |ψ〉 существует способ передать всю массу вероятности, или вероятностную меру, от s к t в сети G (U, |ψ〉), приведенной выше.

Итак, теперь у нас есть кандидат на роль теории скрытых параметров! Делаем так: при заданных U и |ψ〉 сначала находим «канонический» способ передать всю вероятностную меру от s к t в сети G(U, |ψ〉). Затем определяем стохастическую матрицу S через s_ij:= p_ij/|α_i|2, где pij — количество вероятностной меры, переданной от |i〉 к |j〉. (Для простоты я проигнорирую то, что происходит при α_i = 0.)

По построению такое S отображает вектор |α_i|2 на вектор |β_i|2. Оно обладает также таким замечательным свойством, что для любых i, j если u_ij = 0, то и s_ij = 0.

Почему?

Верно! Потому что если u_ij = 0, то никакая вероятностная мера не может пройти от |i〉 к |j〉.

Упражнение (еще более трудное). Докажите, что можно выбрать «канонические» максимальные потоки таким образом, что небольшое изменение U или |ψ〉 вызывает лишь небольшое изменение в матрице вероятностей перехода (p_ij).