Почему мы возводим амплитуды в квадрат, вместо того чтобы возводить их в куб, в четвертую степень или еще куда? Разумеется, это согласуется с данными экспериментов. Но по-настоящему хотелось бы знать вот что: если бы законы природы придумывали вы, какие причины могли бы заставить вас выбрать именно такой вариант, а не какой-то другой? Почему бы, к примеру, не использовать просто абсолютные значения амплитуд или кубы абсолютных значений?

Ну хорошо, я могу подкинуть вам пару аргументов в пользу возведения амплитуд в квадрат.

В качестве первого аргумента не послужит знаменитая теорема Глисона из 1950-х гг. Теорема Глисона позволяет нам, приняв за аксиому часть квантовой механики, получить все остальное! Говоря конкретнее, пусть мы имеем некоторую процедуру, которая принимает в качестве входа единичный вектор с действительными координатами, а на выход выдает вероятность какого-то события. Формально мы имеем функцию f, которая преобразует единичный вектор v ∈ R^N в единичный интервал [0, 1]. Предположим, что N = 3 (на самом деле теорема работает в пространстве любой размерности, равной или большей трех, но, что интересно, не работает в двух измерениях). Далее, наше ключевое требование состоит в том, что всякий раз, когда три вектора v₁, v₂, v₃ взаимно ортогональны, выполняется

f ( v ₁) + f ( v ₂) + f ( v ₃) = 1.

Интуитивно понятно, что если эти три вектора представляют «ортогональные способы» измерения квантового состояния, то они должны соответствовать взаимно исключающим событиям. Что очень важно, нам не нужно помимо этого никаких других предположений — ни непрерывности, ни дифференцируемости, вообще ничего.

Вот наша стартовая точка. Поразительный вывод теоремы состоит в том, что для любой такой f существует смешанное состояние, такое, что f возникает при измерении этого состояния согласно стандартному правилу измерения в квантовой механике. Я не смог бы привести здесь доказательство этой теоремы, оно довольно сложное. Но это единственный способ «вывести» правило возведения в квадрат, не постулируя его с самого начала.

Упражнение 4 для неленивого читателя. Почему теорема Глисона не работает в двух измерениях?

Если хотите, я могу привести намного более простое рассуждение. Я включил его в одну из своих статей[55], хотя многие из вас, я уверен, знали его и раньше.

Пусть мы хотим придумать теорию, которая не была бы основана ни на первой норме, как классическая теория вероятностей, ни на второй, как квантовая механика, а опиралась бы на p-ю норму для некоторого p ∉ {1, 2}. Назовем (v₁, …, v_N) единичным вектором в p-й норме, если

| v 1 | p + … + | vN | p = 1.

Затем нам потребуется некоторый «симпатичный» комплект линейных преобразований, превращающих любой единичный вектор в p-норме в другой единичный вектор в p-норме.

Ясно, что для любого p, которое мы выберем, найдутся какие-то линейные преобразования, сохраняющие p-норму. Какие именно? Ну, мы можем переставлять основные элементы местами, тасовать их; p-норма при этом сохранится. И знак минус мы тоже можем вставить, если захотим; p-норма при этом сохранится тоже. Но вот небольшое наблюдение: если существуют какие бы то ни было линейные преобразования, помимо этих, тривиальных, при которых сохраняется p-норма, то p должно быть равно либо 1, либо 2. Если p = 1, мы получаем классическую теорию вероятностей, а если p = 2, то квантовую механику. Так что если вы хотите, чтобы не было скучно, вам придется задать p = 1 или p = 2.

Упражнение 5 для неленивого читателя. Докажите мое небольшое наблюдение.

Ну хорошо, для начала позвольте мне привести кое-какие интуитивные данные о том, почему это наблюдение могло бы быть верным. Примем для простоты, что все числа действительны и что p — положительное четное целое число (хотя наблюдение также работает с комплексными числами и с любым действительным p ≥ 0). Далее, для линейного преобразования A = (a_ij) сохранять p-норму означает, что

всегда, когда

Теперь мы можем спросить: сколько ограничений накладывается на матрицу A требованием того, чтобы это выполнялось для любых v₁, …, v_N? Если разобраться, то окажется, что в случае p = 2 существует ограничений. Но поскольку мы пытаемся взять матрицу N × N, то у нас все же остается N(N — 1)/2 степеней свободы.

С другой стороны, если, скажем, p = 4, то число ограничений растет как что больше, чем N² (число переменных в матрице). Это позволяет предположить, что найти нетривиальное линейное преобразование, которое сохраняло бы 4-норму, будет трудно. Разумеется, это не доказывает, что такого преобразования не существует, — часть доказательств это я оставляю вам.

Кстати говоря, это не единственный случай, в котором мы обнаруживаем, что 1-норма и 2-норма отличаются от остальных p-норм и представляют собой особый случай. Случалось вам, к примеру, встречать такое уравнение?

xⁿ+yⁿ=zⁿ.

Имеется примечательный фактик, — к несчастью, у меня нет времени, чтобы доказать его в этой книге, — согласно которому приведенное уравнение имеет нетривиальные целые решения при n = 1 или n = 2, но не имеет их при любых целых n бóльших 2. В общем, ясно, что если мы используем первую и вторую нормы чаще остальных векторных норм, то это не блажь — Господь действительно любит их больше других! (И нам даже не нужен эксперимент, чтобы в этом убедиться.)