Даже после того, как мы решили строить свою теорию на второй норме, у нас по-прежнему остается по крайней мере два варианта: мы можем сделать свои амплитуды действительными числами, а можем — комплексными. Нам известно, какой выбор сделала Природа: амплитуды в квантовой механике являются комплексными числами. Это означает, что вы не можете просто возвести амплитуду в квадрат, чтобы получить вероятность; сначала вы должны взять ее абсолютное значение, и его уже возводить в квадрат. Так почему же?

Много лет назад в Беркли я довольно тесно общался со старшекурсниками-математиками — что называется, попал в дурную компанию — и как-то раз задал им этот самый вопрос. Математики только фыркнули: «Как будто сам не понимаешь — комплексные числа алгебраически замкнуты!»[56] Для них это было очевидно.

Но мне все это по-прежнему кажется немного странным. Я имею в виду, что несколько столетий комплексные числа рассматривались как какие-то непонятные штуки, придуманные человеком только для того, чтобы каждое квадратное уравнение имело решение. (Именно поэтому мы говорим об их «мнимых» частях.) Так почему же Природа на самом что ни на есть фундаментальном своем уровне работает на каких-то вещах, придуманных нами для нашего же удобства?

Ну хорошо, допустим, мы потребовали, чтобы для любого линейного преобразования U, которому мы можем подвергнуть состояние, существовало другое преобразование V, такое, что V² = U. По существу, это требование непрерывности: мы говорим, что если можно применить некую операцию в течение одной секунды, то должно быть можно применить эту же самую операцию к интервалу в полсекунды.

Можно ли добиться этого с исключительно действительными амплитудами? Рассмотрим следующее линейное преобразование:

Это преобразование — всего лишь зеркальное отражение плоскости. Оно берет двумерное существо Флатландии и переворачивает его, как блин, перемещая сердце на другую сторону его двумерного тела. Но как реализовать половину зеркального отражения, не покидая плоскости? Невозможно! И если вы хотите перевернуть блин непрерывным движением, вам нужно выйти в… дум-дум-дум… ТРЕТЬЕ ИЗМЕРЕНИЕ.

В более общем случае, если вы хотите перевернуть N-мерный объект непрерывным движением, вам необходимо выйти в (N + 1) — е измерение.

Упражнение 6 для неленивого читателя. Докажите, что любое сохраняющее норму линейное преобразование в N измерениях может быть реализовано непрерывным движением в N + 1 измерениях.

Но что, если вы хотите, чтобы любое линейное преобразование имело квадратный корень в том же самом числе измерений? В этом случае вам придется разрешить комплексные числа. Это один из аргументов, согласно которым вам на таком фундаментальном уровне физики могут потребоваться комплексные числа.

Ну хорошо, я могу привести еще две причины, по которым амплитуды должны быть комплексными.

Чтобы установить первую из них, зададимся вопросом: сколько в N-мерном смешанном состоянии существует независимых действительных параметров? Оказывается, ровно N², если мы будем считать, для удобства, что состояние не обязано быть нормализованным (то есть что вероятности в сумме могут давать величину меньше единицы). Почему? Ну, N-мерное смешанное состояние математически представляется эрмитовой[57] матрицей N × N с положительными собственными числами. Поскольку мы не нормализуем состояния, на главной диагонали у нас стоит N независимых действительных чисел. Ниже главной диагонали у нас стоит N(N — 1)/2 независимых комплексных чисел, что соответствует N(N — 1) действительных чисел. Поскольку матрица эрмитова, комплексные числа под главной диагональю определяют числа над главной диагональю. Так что полное число независимых действительных параметров составляет N + N(N — 1) = N².

Теперь следует обратить внимание на один аспект квантовой механики, который я до сих пор не упоминал. Если нам известны состояния двух квантовых систем по отдельности, как записать их связанное состояние? Ну, мы просто формируем их так называемое тензорное произведение. Так, к примеру, тензорное произведение двух кубитов, α|0〉 + β|1〉 и γ|0〉 + δ|1〉, задается выражением

(α|0〉 + β|1〉) ⊗ (γ|0〉 + δ|1〉) = αγ |00〉 + αδ |01〉 + βγ |10〉 + βδ |11〉.

Здесь я использовал обозначение |00〉 как сокращенный вариант записи |0〉 ⊗ |0〉, |01〉 означает |0〉 ⊗ |1〉 и т. п. (Иногда я использую также обозначения |0〉|0〉 и |0〉|1〉. Смысл тот же: один кубит в первом состоянии «тензорно умножается» на другой кубит во втором состоянии, а для простоты можно сказать: соседствует с ним.) Важный момент о тензорном произведении: оно не подчиняется перестановочному закону: состояние |0〉 ⊗ |1〉 отличается о состояния |1〉 ⊗ |0〉! Это потому, что первое соответствует двоичной строке 01 (первый бит равен нулю, второй единице), тогда как второе соответствует двоичной строке 10 (первый бит равен единице, второй нулю).

Опять же можно спросить: действительно ли нам необходимо было использовать тензорное произведение? Может быть, Бог мог бы выбрать какой-то другой способ объединения квантовых состояний в более крупные? Ну, собственно говоря, другие способы объединения квантовых систем существуют (самые известные из них — так называемые симметричное и антисимметричное произведение) и реально используются в физике для описания поведения идентичных бозонов и идентичных фермионов соответственно. Впрочем, для меня сказать, что мы берем тензорное произведение, означает почти точно то же самое, что сказать, что мы соединяем две системы, способные существовать независимо (на что, я бы отметил, идентичные бозоны и идентичные фермионы не способны).

Как вы, вероятно, знаете, существуют двухкубитные состояния, которые невозможно записать как тензорное произведение однокубитных состояний. Самый известный пример — это ЭПР-пара (от названия парадокса Эйнштейна — Подольского — Розена):

Пусть задано смешанное состояние ρ двух подсистем A и B. Если ρ может быть записано как распределение вероятностей на тензорном произведении состояний |ψA〉 ⊗ |ψB〉, то мы говорим, что состояние ρ разделимо. В противном случае мы говорим, что ρ запутанно, или сцеплено.

А теперь вернемся к вопросу о том, сколько действительных параметров нужно для описания смешанного состояния. Предположим, у нас имеется (скорее всего запутанная) составная система AB. Тогда интуитивно представляется, что число параметров, нужных для описания AB — я буду называть это число dAB — должно равняться произведению числа параметров, нужных для описания A, и числа параметров, нужных для описания B:

d AB = d A d B.

Если амплитуды являются комплексными числами, то это предположение — вот удача! — верно. Обозначив NA и NB число измерений A и B соответственно, мы имеем

Но что, если амплитуды — действительные числа? В этом случае в матрице плотности N × N мы бы имели только N(N + 1)/2 независимых действительных параметров. И это не тот случай, когда при N = NANB имеем

Можно ли при помощи этого же аргумента исключить и кватернионы? Да, можно! Если с действительными числами левая сторона слишком велика, то с кватернионами она слишком мала. Только с комплексными числами она имеет в то-о-о-о-очности нужный размер!

На самом деле существует еще одно явление с тем же оттенком «точного попадания», на которое обратил внимание Билл Вуттерс, — и это приводит нас к третьей причине, по которой амплитуды должны быть комплексными числами. Предположим, мы выбрали некое квантовое состояние

равномерно и случайно (если вы математик, то по мере Хаара). А затем мы измеряем его, получая исход |i〉 с вероятностью |αi|². Вопрос в том, будет ли результирующий вектор вероятности также распределяться равномерно случайно в симплексе вероятности? Оказывается, если амплитуды представляют собой комплексные числа, то ответ — «да». Но если амплитуды представляют собой действительные числа или кватернионы, то ответ — «нет»!