Теперь, когда у нас есть квантовые состояния, мы всегда можем сделать одну вещь: взять классическую теорию вероятностей и «положить ее сверху». Иными словами, мы всегда можем задаться вопросом: а что, если мы не знаем, какое у нас квантовое состояние? К примеру, что, если мы с вероятностью 1/2 имеем состояние и с вероятностью 1/2 — состояние В результате у нас получается так называемое смешанное состояние — самый общий тип состояния в квантовой механике.

Математически мы представляем смешанное состояние при помощи объекта, известного как матрица плотности. Вот как это работает: скажем, у вас имеется вектор из N амплитуд (α1, …, αN). Затем вы вычисляете внешнее произведение вектора на себя, то есть матрицу N × N, элементом которой под номером (i, j) является αiαj (опять же в случае действительных чисел). Затем, если у вас имеется распределение вероятностей по нескольким таким векторам, вы просто берете линейную комбинацию результирующих матриц. Так, к примеру, если у вас имеется вероятность p для одного вектора и вероятность 1 — p для другого, то вы берете p раз одну матрицу и 1 — p раз другую.

Матрица плотности включает в себя всю информацию, которую в принципе можно получить из некоторого распределения вероятностей по квантовым состояниям: сперва мы применяем к нему унитарную операцию, а затем смотрим на состояние (или, как мы говорим в своей среде, измеряем его).

Упражнение 3 для неленивого читателя. Докажите это.

Из этого следует, что если два распределения порождают одну и ту же матрицу плотности, то эти распределения эмпирически неразличимы или, иными словами, представляют собой одно и то же смешанное состояние. В качестве примера пусть у вас имеется состояние с вероятностью 1/2 и состояние также с вероятностью 1/2. Тогда матрица плотности, описывающая ваши знания о нем, выглядит так:

Следовательно, никакое измерение, которое вы в принципе можете произвести, не сможет отличить эту смесь от |0〉 c вероятностью 1/2 и |1〉 с вероятностью 1/2.