Ну хорошо, попробуем разобраться, что все-таки значит иметь «теорию вероятностей» с отрицательными числами? Ну, вообще-то есть серьезная причина тому, что в прогнозе погоды вы никогда не услышите о вероятности завтрашнего дождя, равной –20 %, — в этом и правда смысла так же мало, как кажется. Но я бы хотел, чтобы вы отбросили всякие сомнения и просто подумали абстрактно о событии с N возможными исходами. Мы можем выразить вероятности этих исходов вектором из N действительных чисел:

( p ₁, …, p_N ).

Математически что мы можем сказать об этом векторе? Ну, лучше все-таки, чтобы вероятности были неотрицательными, а их сумма составляла единицу. Мы можем выразить последний факт, сказав, что первая норма вектора вероятностей должна равняться единице. (Первая норма — это просто сумма абсолютных значений элементов, иногда ее еще называют манхэттенской нормой или расстоянием городских кварталов.)

Но манхэттенская норма — не единственная норма на свете; это не единственный известный нам способ определить «размер» вектора. Существуют и другие способы, и одним из любимых у математиков со времен Пифагора была вторая, или евклидова норма. С формальной точки зрения евклидова норма представляет собой квадратный корень из суммы квадратов элементов. Неформально же она означает, что когда вы опаздываете на занятия, то вместо того чтобы идти по двум взаимно перпендикулярным дорожкам, вы срезаете путь через газон.

Итак, что произойдет, если вы попытаетесь предложить какую-нибудь теорию, похожую на теорию вероятностей, но основанную на второй норме, а не на первой? Я попытаюсь убедить вас, что неизбежный результат подобных занятий — квантовая механика.

Рассмотрим единственный бит. В теории вероятностей мы можем описать этот бит так: вероятность того, что он равняется 0, равна p, а вероятность того, что он равняется 1, равна 1 — p. Но если перейти от первой нормы ко второй, то нам уже не потребуются два числа, в сумме дающие 1; нам потребуются два числа, квадраты которых в сумме дают единицу. (Я считаю, что мы по-прежнему говорим о действительных числах.) Иными словами, мы теперь хотим вектор (α, β), где α² + β² = 1. Разумеется, множество всех таких векторов образует окружность.

Теорию, которую мы сейчас изобретаем, нужно будет каким-то образом согласовать с наблюдениями. Предположим, у нас есть некий бит, описываемый вектором (α, β). Далее, нам потребуется указать, что происходит, если мы смотрим на этот бит. Ну, поскольку это все-таки бит, то увидеть мы должны либо 0, либо 1! Более того, вероятность увидеть 0 и вероятность увидеть 1 в сумме просто обязаны давать единицу. Итак, если начать с вектора (α, β), то как мы можем получить два числа, которые в сумме дадут единицу? Просто: мы можем сказать, что α² — это вероятность результата 0, а β² — вероятность результата 1.

Но в таком случае почему нам не забыть вообще об α и β и не описать наш бит непосредственно через вероятности? Фигушки. Разница в том, как изменяется наш вектор, когда мы применяем к нему какую-нибудь операцию. В обычной теории вероятностей, если у нас есть бит, представленный вектором (p, 1 — p), то мы можем представить любую операцию с этим битом стохастической матрицей, то есть матрицей неотрицательных действительных чисел, где каждый столбец в сумме дает единицу. Так, к примеру, операция побитового инвертирования, которая изменяет вероятность результата 1 с p на 1 — p, может быть представлена следующим образом:

На самом деле стохастическая матрица — это самый общий тип матрицы, которая всегда преобразует один вектор вероятности в другой.

Упражнение 1 для неленивого читателя. Докажите это.

Теперь, когда мы переключились с первой нормы на вторую, мы должны спросить: что представляет собой самый общий тип матрицы, которая всегда преобразует единичный по второй норме вектор в другой единичный по второй норме вектор?

Понятно, что такую матрицу называют унитарной, мало того, это один из способов определить, что такое унитарная матрица! (Ну хорошо, хорошо. До тех пор, пока мы говорим только о действительных числах, такая матрица называется ортогональной. То же самое, вид сбоку.) Иначе определить унитарную матрицу, опять же в случае действительных чисел, можно как матрицу, у которой обратная и транспонированная матрицы равны.

Упражнение 2 для неленивого читателя. Докажите, что эти два определения эквивалентны.

«Бит, характеризуемый второй нормой», который мы только что определили, имеет собственное название, которое вы, может быть, встречали: это кубит. Физики любят представлять кубиты в так называемой кет-нотации Дирака, в которой наш вектор (α, β) превращается в α|0〉 + β|1〉. Здесь α есть амплитуда исхода |0〉, а β — амплитуда исхода |1〉.

В первый раз при виде этой нотации компьютерщики, как правило, лезут на стену, — особенно сильное впечатление производят на них несимметричные скобки! Но если проявить некоторую настойчивость, можно убедиться, что на самом деле она не так уж плоха. К примеру, вместо того чтобы записать вектор (0, 0, 3/5, 0, 0, 0, 4/5, 0), можно просто написать опуская все нулевые компоненты.

Таким образом, имея кубит, мы можем преобразовать его посредством любой унитарной матрицы размером два на два, и у нас сразу же возникает знаменитый эффект квантовой интерференции. Рассмотрим, к примеру, унитарную матрицу

которая берет вектор на плоскости и поворачивает его на 45 градусов против часовой стрелки. А теперь рассмотрим состояние |0〉. Если мы применим U к этому состоянию один раз, то получим  — это как взять монетку и подбросить ее. Но затем, если мы применим ту же операцию U второй раз, мы получим |1〉:

То есть, иными словами, применение «рандомизирующей» операции к «случайному» состоянию дает детерминистский результат! Интуитивно понятно, что, хотя к исходу |0〉 ведут два пути, один из этих путей имеет положительную амплитуду, а другой — отрицательную. В результате эти два пути деструктивно интерферируют и исключают друг друга. Напротив, оба пути, которые ведут к исходу |1〉, имеют положительную амплитуду и потому интерферируют конструктивно.

Причина, по которой вы никогда не наблюдаете подобной интерференции в классическом мире, состоит в том, что вероятности не могут быть отрицательными. Таким образом, взаимное гашение положительных и отрицательных амплитуд можно рассматривать как источник всех «квантовых странностей» — как единственный фактор, отличающий квантовую механику от классической теории вероятностей. Как жаль, что никто не сказал мне об этом в свое время, когда я впервые услышал слово «квантовый»!