Маленькие созданьица, на которых мы смотрим так свысока, подчас обнаруживают способности, которым позавидовал бы не один представитель рода Homo sapiens. В мире насекомых нам, например, приходится сталкиваться со случаями решения далеко не легких геометрических задач. Пчелы задолго до появления человека на земном шаре решили ряд математических задач, которые заставят призадуматься заправского математика. Попробуем, в самом деле, разобраться в них.

«Пчелиная задача» относится к архитектуре сот и распадается, собственно говоря, на три отдельные задачи. Все они в конце концов преследуют одну цель: возможно экономнее использовать место в тесном улье и возможно менее затратить при этом строительного материала, т.е. воска. И вот перед пчелой-архитектором прежде всего встает вопрос: какую форму избрать для ячейки?

Пчелы, как известно, строят свои соты в форме шестигранников, и это, конечно, неспроста; легко доказать, что при этом тесное пространство улья используется самым экономным образом. В переводе на языке геометрии эта часть задачи формулируется таким образом: требуется сплошь, без просветов, заполнить плоскость правильными многоугольниками; о скольких сторонах должен быть такой многоугольник? Изучавшие геометрию знают, что сумма углов всякого многоугольника = 2d(n– 2), т.е. двум прямым углам, умноженным на число сторон без двух. Каждый угол правильного многоугольника будет вn раз меньше, т.е.

Если равные правильные многоугольники сплошь заполняют плоскость, то около каждой вершины должно быть расположено целое число таких углов. Обозначим это число через к. Так как, с другой стороны, сумма углов, расположенных вокруг общей вершины, всегда равна 4d, то мы вправе связать эти величины следующим уравнением:

В этом уравнении две неизвестные величины — киn; мы знаем только, что ик, иn суть числа непременно целые и положительные (потому что не может же быть дробного или отрицательного числа многоугольников или сторон). Другими словами, нам предстоит решить неопределенное уравнение второй степени.

Рис. 1. Треугольники, заполняющие площадь без просветов

Рис. 2. Квадраты, заполняющие площадь без просветов

Рис. 3. Шестиугольники, заполняющие площадь без просветов

Приемы решения таких уравнений не проходятся даже в наших средних учебных заведениях, — но пчелы все же решили эту задачу! Не вдаваясь в подробности, скажем лишь, что вышеприведенное уравнение имеет только три решения: n = 3, или 4, или 6, к= 6, или 4, или 3. Это значит, что для заполнения сплошь плоскости годятся лишь треугольники, квадраты и шестиугольники. Но почему же пчелы остановили свой выбор именно на последнем решении? Ведь казалось бы, проще возводить квадратные призмы, чем шестиугольные…

Тут мы подходим ко второй задаче, блестяще разрешенной пчелами. Вспомним, что подоплека всех этих расчетов — строгая экономия в материале: ни один комочек воску не должен пропадать даром. Правда, и треугольники, и квадраты, и шестиугольники плотно прилегают друг к другу, так что между ними не остается ни клочка бесполезного места. Но какой из этих многоугольников при одной и той же площади внутри имеет наименьший контур?

Эта задача решается строго математически: любители математики решат ее без большого труда и придут к выводу, что при равных площадях периметры треугольника, квадрата и шестиугольника относятся друг к другу как 1: 0,905: 0,816.

Наименьший контур оказывается именно у шестиугольника, т.е. у той фигуры, которую и выбрали пчелы! Но на этом еще не кончаются математические подвиги пчел. Самая трудная пчелиная задача еще впереди, и ее-то, собственно, и разумеют математики под именем «задачи о пчелиных ячейках».

Дело в том, что донья тех призмочек, из которых состоят соты, отнюдь не плоские, а заострены в виде трехгранной пирамидки; каждая сота, как известно, состоит из двух слоев ячеек, причем острые донья каждого слоя, как зубья, входят во впадины другого без просветов. Вопрос состоит в том, какую форму экономнее всего придать этим пирамидальным окончаниям призматических ячеек. Иначе говоря: под каким углом надо скосить плоскости призм, чтобы при наименьшей поверхности (т.е. при наименьшей трате воска) ячейки заключали бы в себе наибольший объем?

Это задача на так называемые maximum иminimum, и притом задача далеко не из легких. Разбирать ход ее решения мы здесь не станем — выкладки заняли бы столбца два — а сообщим лишь окончательный результат. Он гласит: угол между гранью пирамидки и ребром призмы должен равняться 24° 44′'. Именно такой наклон и наблюдается в пчелиных сотах!

Рис. 4. Березовый слоник (увелич.)

Таким образом, пчелы инстинктивно разрешили ряд задач, с которыми даже мы справляемся не без труда. Но наше изумление еще более возрастет, когда мы узнаем, что другое насекомое — жучок березовый слоник — решил на практике сложную задачу из курса высшей математики. Мы нисколько не шутим, и читатель сейчас в этом убедится. Местом для откладывания яичек березовый слоник выбирает листья березы, ольхи или бука, причем предварительно свертывает их в трубочку. Здесь-то, в манере свертывания, и проявляет жучок свои математические способности. Предварительно он прогрызает близ основания листа две кривые линии, идущие от средней жилки к краям; свернув затем в трубку одну половину листа, он обвертывает ее другой; внутри этой листовой сигары, висящей на черешке, и запрятаны яички жучка.

Чтобы процесс заворачивания листа совершался легко и удобно, жучок выбирает форму своих надрезов в строгом соответствии с требованиями геометрии. Вырежьте из бумаги фигуру листа и попробуйте свертывать ее половинки в трубку, прорезав предварительно бумажку близ основания — как это делает наш жучок (рис. 5). Вы заметите, что если прорез сделан по прямой od или по дугам obd иoed, то свертывание совершается не так удобно, как в том случае, когда надрез имеет форму S-образной кривой.

Всего удобнее совершается свертывание, когда эта S-образная кривая построена по определенному правилу в зависимости от формы краевой линии листа. Задачей этой много занимались математики XVIII века, пока Маклорен не дал ее полного решения.

Рис. 5

Рис. 6. Эволюта и эвольвента

Взгляните на прилагаемую фигуру, изображающую окружность и некоторую кривую ABCDE (рис. 6). Зависимость между ними та, что каждая касательная к окружности встречает внешнюю кривую непременно под прямым углом. Если две кривые находятся между собой в таком отношении, то говорят, что одна (окружность) служит эволютой другой, а эту другую (ABCDE) называют эвольвентой (рис. 6). Наш жучок именно и строит эволюту к краевой линии листа: особенно отчетливо выступает это на той половине листа, которая заворачивается первой. Если вы на бумажном листе начертите эволюту краевой линии и затем смочите бумагу, то она сама собой свернется, образуя трубку.

Жучок, правда, не смачивает лист, но зато он делает свои надрезы рано поутру, когда лист еще мокр от росы. Теперь мы видим, что березовый слоник, практически разрешающий задачу по аналитической геометрии, смело может быть назван жуком-математиком. Как достиг жучок этой изумительной способности — сказать трудно. Математический инстинкт пчел и березового слоника лишь с большой натяжкой может быть объяснен теорией Дарвина (что, кажется, сознавал и сам великий натуралист).

С другой стороны, возможно, что эти два созданьица — не единственные математики в животном мире: быть может, со временем их откроется еще немало, — но пока насекомые-геометры стоят перед ученым живой загадкой природы, и дело науки будущего — разрешить эту загадку.