Самыми мощными известными источниками гравитационного излучения являются сливающиеся черные дыры. В 2015 году детектор LIGO обнаружил гравитационные волны с частотой f_LIGO  10² Гц, вызванные слиянием черных дыр звездных масс (Abbot et al., 2016). В конце 2020 года консорциум NANOGrav объявил об открытии изотропного стохастического фона гравитационных волн (GWB) с низкой частотой f_GWB  2,5 × 10^–9 — 1,2 × 10^–8 Гц (или 2,5–12 нГц) и амплитудой h  10^–15 (Arzoumanian et al., 2020). Предполагается, что такие волны длиной около светового года генерируются современными двойными сверхмассивными черными дырами (Сажин, 1978; Detweiler, 1979; Jaffe & Baker, 2003). Были выдвинуты и другие гипотезы происхождения GWB — от коллапсирующих флуктуаций на ранних стадиях Большого взрыва (Nguyen et al., 2020; Luca et al., 2021) до разрыва космических струн (Buchmuller et al., 2021).

Рассмотрим, следуя статье Gorkavyi (2022a), формирование GWB в циклической Вселенной с большим количеством черных дыр (см. рис. 8 в основном тексте). Очевидно, что при коллапсе Вселенной значительная часть массы сливающихся черных дыр превращается в гравитационные волны. Эпоха множественного слияния черных дыр начинается, когда Вселенная сжимается от современного состояния в 10¹⁰ раз — до нескольких световых лет — и ее объем становится сопоставим с общим объемом существующих ЧД. Мы предполагаем, что длинноволновое гравитационное излучение, зарегистрированное NANOGrav (Arzoumanian et al., 2020), является реликтовым гравитационным излучением от множественного слияния черных дыр во время Большого сжатия. Это излучение уменьшило частоту (или увеличило длину волны) на 10 порядков в ходе космологического расширения: f_GWB  f_LIGO × 10^–10.

Оценим современные частоты и амплитуды гравитационных волн, образовавшихся во время Большого сжатия. Уравнение для амплитуды гравитационного излучения двойной системы черных дыр одинаковой массы M, расположенной на расстоянии D от наблюдателя, можно записать как (Jaffe & Baker, 2003):

, (51)

где T — период собственного вращения двойной системы. Формула (51) и последующие уравнения получены в случае асимптотически плоского пространства-времени. В случае замкнутой Вселенной формулы для длины и массы включают множитель , где R_U — радиус кривизны Вселенной (см., например, Peebles, 1993). Мы будем использовать формулу (51) и другие уравнения этого раздела, предполагая, что обсуждаемые расстояния меньше радиуса кривизны Вселенной (D/R_U)² ≪ 1. Характерное время гравитационного излучения такой системы можно получить из уравнения (Jaffe & Baker, 2003):

(52)

Амплитуда и частота гравитационной волны достигают своего максимального значения, а период — минимального значения непосредственно перед слиянием черных дыр. В этом случае (51) и (52) упрощаются. Максимальная частота гравитационного излучения при слиянии двух одинаковых черных дыр записывается в виде (см., например, Wen et al., 2009):

, (53)

где M_s — масса черной дыры в массах Солнца (M_/  2 × 10³³ г), f измеряется в герцах. Выражение (1 + z) в знаменателе (53) описывает уменьшение частоты из-за космологического красного смещения, а коэффициент 2 в числителе появляется из-за квадрупольной природы гравитационного излучения (Arzoumanian et al., 2020). Из (53) получаем, что слияние черных дыр с массой 10 солнечных масс дает собственную частоту генерируемых гравитационных волн Гц, что типично для наблюдений LIGO (Abbot et al., 2016). Учитывая (53) и z  1,6 × 10¹⁰, получаем наблюдаемую частоту гравитационного стохастического излучения f  1,4 × 10^–8 Гц, которая совпадает с частотой волн, обнаруженных NANOGrav. Из (53) получаем минимальное значение периода:

(54)

и подставляем (54) в (51). Учитывая уравнение для радиуса черной дыры , получим:

(55)

Для объединения двух ЧД с R  10⁷ см, расположенных от нас на расстоянии D  10⁹ световых лет, мы получаем типичную амплитуду GW, зарегистрированную LIGO: h  10^–21 (Abbot et al., 2016). Уравнение (52) также упрощается для случая максимальной частоты (54):

(56)

Чтобы оценить полную энергию гравитационного излучения сливающихся черных дыр, возведем в квадрат амплитуду (55) и запишем:

, (57)

где t₀ — время свободного пробега ЧД, движущейся со скоростью V, до столкновения и слияния с другой ЧД (Новиков и Фролов, 1986):

, (58)

где — концентрация черных дыр, расположенных в сфере радиуса a. Отношение характеризует долю времени, в течение которой дыра излучает, сливаясь с другой дырой. Из уравнения (57) с учетом (56), (58) получаем для средней амплитуды фоновых гравитационных волн, генерируемых SBH во время Большого сжатия:

, (59)

где для оценки было взято N  10²² (Горькавый, Тюльбашев, 2021); R  10⁷ см; D  10¹⁰ световых лет; a  3 световых года; V  c (предполагая, что относительные скорости черных дыр в максимально сжатой Вселенной сравнимы со скоростью света). Предположение о накоплении черных дыр и GWB от цикла к циклу Вселенной (Горькавый и Тюльбашев, 2021) изменяет смысл параметров в уравнении (59) — например, N будет означать сумму источников GWB за определенное количество циклов. Сравним амплитуды фоновых гравитационных волн от слияния SBH при Большом сжатии z  10¹⁰ и от слияния SMBH в более позднее время (z порядка единицы):

. (60)

Здесь приняты следующие оценки:

. (61)

Последний множитель в (60) несущественен, потому что он достаточно близок к 1:

. (62)

Мы можем получить оценки фоновых волн, генерируемых черными дырами на разных этапах эволюции Вселенной (см. табл. III в основном тексте, где масса SMBH в 10⁶ раз больше SBH). Из (60) и табл. П1 следует, что амплитуда стохастических гравитационных волн, вызванных слиянием SBH на стадии Большого сжатия, значительно превышает амплитуду волн, генерируемых современными слияниями SMBH в центрах галактик. Слияние во время Большого сжатия SMBH с массой 10^7–10 M_/ будет генерировать излучение с частотой f₀ 10^–4 — 10^–7. Принимая во внимание z  10¹⁰, получаем, что в современную эпоху должны быть очень длинные гравитационные волны с частотой f₀ 10^–14 — 10^–17 Гц. Такие волны имеют длину, равную 10^–1 — 10^–4 от размера Вселенной. Из уравнения для амплитуды (59) следует, что слияние сверхмассивных черных дыр в момент Большого сжатия будет генерировать GWB со значительной амплитудой. Например, для частоты f  10^–14 Гц амплитуда GW будет в 10⁴ раз больше, чем амплитуда GW, обнаруженная NANOGrav (Arzoumanian et al., 2020) (см. табл. П1). Обнаружение таких длин волн возможно с использованием данных астрометрического спутника Gaia (Gwinn et al., 2019; Book, Flanagan, 2011; Moore et al., 2017).

Таблица П1. Оценки амплитуды и частоты GWB от разных источников

В своих оценках мы предполагали, что все черные дыры имеют одинаковую массу. Реальная популяция реликтовых черных дыр образуется из астрофизических черных дыр разной массы, которые накапливаются в повторяющихся циклах Вселенной (Горькавый, Тюльбашев, 2021). Наблюдаемая популяция дыр состоит в основном из SBH от 4 до 100M_/ (Горькавый и Тюльбашев, 2021; Abbot et al., 2020) и сверхмассивных ЧД с 10⁵–10¹⁰M_/, расположенных в центрах галактик (Черепащук, 2014). Предположим, что распределение по массам SBH, участвующих в слияниях во время Большого сжатия, близко к современному распределению черных дыр. Следует учитывать, что в формулу (59) входит массовое распределение черных дыр N (m). На рис. 9 в основном тексте показан спектр массы черных дыр как функция частоты h (f) в предположении, что сливающиеся черные дыры генерируют гравитационное излучение одной длины волны (с максимальной частотой и амплитудой).

Рисунок 9 показывает, что зарегистрированные гравитационные волны расположены вблизи максимальной амплитуды гравитационных волн, которые следуют из нашей модели. Также из рис. 9 следует, что из-за влияния спектра масс черных дыр частотная зависимость амплитуды может значительно меняться. Для f  (2,5–6,3) × 10^–9 Гц (или 2.5–6.3 нГц) наша модель дает h ∝ f^{—(0,5–0,6)}, что близко к наблюдению NANOGrav (см. рис. 9). Спектр гравитационного излучения малых (4–20M_/) SBH зависит от наблюдательной селекции, поэтому трудно сделать какие-либо определенные выводы для f  6,3 × 10^–9 Гц (или f > 6,3 нГц). Самым надежным наблюдательным фактом является отсутствие черных дыр массой менее 4M_/ и f  3,2 × 10^–8 Гц (или f > 32 нГц), которые должны отражаться в спектре гравитационных волн. Барьер f  lg (3,2 × 10^–8)  –7,5 (отмечен вертикальной линией) соответствует периоду гравитационных волн в один год.

Согласно наблюдениям, нет черных дыр, масса которых меньше чем 4M_/, или их очень мало (см. илл. 13). Это должно вызвать сильный дефицит GWB с частотами f  3,2 × 10^–8 Гц (см. рис. 9). Действительно, нет «каких-либо обнаруживаемых вкладов от GWB» на частотах f  1,2 × 10^–8 Гц (или 12 нГц) (Arzoumanian et al., 2020). Мы считаем этот факт очень важным. Дефицит (за пределами ожидаемых степенных зависимостей) GWB на частотах f  3,2 × 10^–8 Гц (или f > 32 нГц) подтвердит нашу модель.

Стохастические гравитационные волны должны сопровождаться квадрупольной пространственной корреляцией согласно кривой Хеллингса — Даунса (Hellings & Downs, 1983). Как показывают результаты NANOGrav, фон стохастических гравитационных волн не имеет признаков монопольных и дипольных волн. В то же время GWB имеет некоторые признаки квадрупольной пространственной корреляции, но с низким уровнем статистической достоверности (Arzoumanian et al., 2020).

В 2021 году была опубликована статья (Goncharov et al., 2021) с результатами анализа данных радиотелескопа Parkes Pulsar Timing Array (PPTA). Исходя из предположений анализа NANOGrav, команда PPTA с высокой степенью достоверности обнаружила по 26-миллисекундным пульсарам PPTA-DR2 коррелированный по времени сигнал с общим спектром во времени: h  2,2 × 10^–15 на частоте 1 (1/год) (Goncharov et al., 2021). Данные PPTA также показали статистически слабые признаки квадрупольной пространственной корреляции, но для этой слабости существуют убедительные объяснения (Romano et al., 2021). Мы полагаем, что слабая квадрупольная корреляция, обнаруженная в обеих работах (рис. 7, Arzoumanian et al., 2020 и рис. 3, Goncharov et al., 2021), будет расти с увеличением количества используемых данных. Обсуждения вокруг GWB (Arzoumanian et al., 2020; Goncharov et al., 2021; Romano et al., 2021) показывают, что статистические методы, используемые при анализе сигналов пульсаров, содержат важные допущения, которые необходимо изучить, чтобы окончательно доказать обоснованность открытия GWB.