Когда возраст расширяющейся Вселенной достиг 380 тысяч лет, протонно-электронная плазма охладилась до 3000 градусов Кельвина и превратилась в нейтральный водород. В среде из водорода и темной материи возникла гравитационная неустойчивость Джинса (Зельдович и Новиков, 1975; Вайнберг, 1975), которая характеризуется следующим дисперсионным уравнением (Поляченко и Фридман, 1972; Горькавый и Фридман, 1994):

, (63)

где  — объемная плотность среды; c_s — скорость звука; волновой вектор k  2/, где  — длина волны возмущения;   2/T — частота колебаний с периодом T. Неустойчивость Джинса наступает при отрицательном квадрате частоты колебания (то есть при мнимых частотах колебаний):

. (64)

Это условие выполняется для возмущений плотности с длиной волны больше критической:

 100 световых лет, (65)

где принята типичная оценка плотности гравитирующей материи   3 × 10^–21 г/см³ и c_s  10⁶ см/с (Зельдович и Новиков, 1975; Вайнберг, 1975). Массу образующегося скопления можно оценить так (Зельдович, Новиков, 1975; Вайнберг, 1975; Peebles, 1993):

 10⁵ M_/. (66)

Характерное время развития джинсовской неустойчивости без учета расширения Вселенной:

 4 млн лет. (67)

Построим, следуя статье Gorkavyi (2022b), простую аналитическую модель для аккреции облаков Джинса на сверхмассивную дыру (SMBH). Пусть SMBH движется сквозь среду, состоящую из облаков нейтрального водорода, с относительной скоростью V_rel. В зависимости от величины прицельного параметра p (расстояния между траекторией центра масс облака и черной дырой) угловой момент образующейся системы ~pM_jV_rel может быть большим или малым (для малых p). Во втором случае диск будет компактнее и плотнее.

Рассмотрим процесс взаимодействия газового облака с радиусом r и плотностью  с уже существующим вокруг сверхмассивной черной дыры затравочным диском с плотностью ₀. Захват облаков Джинса в аккреционный диск зависит от направления движения налетающего облака: прямым мы будем называть облет облака, совпадающий с направлением вращения диска; обратным соударением будем называть встречу диска и облака, которое движется в направлении, противоположном вращению аккреционного диска. Результат такого взаимодействия зависит от угла , под которым облако пересекает диск. Массу диска, участвующую во взаимодействии с облаком с массой m, которое пролетает диск под углом , можно оценить следующим образом:

(68)

Запишем закон сохранения импульса по осям Z и X, предполагая, что после взаимодействия весь начальный импульс газовых масс m и m₀, столкнувшихся абсолютно неупруго, сохраняется в облаке с суммарной массой m + m₀:

, (69)

(70)

Знак «плюс» соответствует движению диска в том же направлении, что и пролетающее облако, а знак «минус» — вращению диска в противоположном направлении. Для упрощения расчетов мы предполагаем, что взаимодействие между облаком на гиперболической траектории и круговым диском происходит только в точке минимального расстояния между облаком и SMBH. Для скорости облака в этой точке запишем следующее выражение:

, (71)

где числовой параметр  > 2 (величина 2 соответствует параболической скорости). Введем параметр следующим образом:

, (72)

где  характеризует поверхностную плотность диска относительно плотности налетающего облака, умноженную на радиус облака:

(73)

Условие захвата облака, образовавшегося при соударении, запишем в виде неравенства, согласно которому итоговая скорость нового облака должна быть меньше параболической скорости:

(74)

Возведем (69) и (70) в квадрат и суммируем получившиеся выражения:

(75)

С учетом (74) и выражения (71), которое при   1 дает формулу для круговой скорости V₀, получим условие захвата вещества облака в аккреционный диск вокруг черной дыры:

(76)

С учетом введенного параметра (71) выражение (74) перепишем в виде:

(77)

Отсюда получим:

(78)

Условие захвата облака, который пересекает диск перпендикулярно к его плоскости ( 0):

(79)

Решением (79) будет неравенство:

(80)

С учетом (73), получим условие аккреции (80) в виде:

(81)

Здесь учтено, что плотность  налетающего облака определяется двумя компонентами: плотностью газа _g (15 %) и плотностью среды черных дыр (или другой темной материи) (85 %). При столкновении облака с диском газ облака участвует в соударении и объединяется с газом диска, но компонента из черных дыр будет продолжать движение с некоторым замедлением из-за динамического трения. Таким образом, в выражении (81) должна стоять не полная плотность облака Джинса, а только плотность его газовой компоненты, то есть _g ≈ 0,15. Темная часть шарового скопления может выйти на вытянутую эллиптическую орбиту и попасть в гало будущей галактики. Так как динамическое трение темной компоненты облака тоже вносит свой вклад в передачу импульса диску, то эффективный коэффициент будет больше 0,15. Из простых небесномеханических расчетов для гиперболических орбит облаков, касательных к точке соударения, можно получить следующее выражение:

(82)

Чем больше , тем сложнее выполняется условие захвата (80). Примем для максимальной оценки, что хаотическая асимптотическая (на бесконечности) скорость V_h облака примерно равна скорости кругового движения диска в точке соударения, то есть  3. Тогда   0,3_gr. Если V_h ≈ 0,5V₀, то   0,08_gr.

Если вокруг SMBH возник диск достаточной плотности, то он будет перехватывать газовые облака, пролетающие под любыми углами к плоскости диска. В результате такой эффективной трехмерной аккреции угловые моменты, который приносят захватываемые облака в диск, оказываются разнонаправленными и взаимоуничтожаются при усреднении и релаксации. Логично предположить, что в результате трехмерной аккреции получаются эллиптические галактики, которые обладают большой плотностью, а часто и большой массой, но малым удельным угловым моментом.

Пусть   3, и численным условием трехмерной аккреции будет неравенство:

0,01 г/см², (83)

где r  50 световых лет, а _g  0,15 10^–21 г/см³. Что происходит, если диск получил при образовании большой угловой момент и оказался, например, в два раза менее плотным, что соответствует   0,12? Такой диск не может захватывать облака, которые пересекают его в перпендикулярном направлении. Как следует из уравнения (78), такой диск сможет захватывать лишь те облака, которые летят близко к плоскости диска и для которых  80(в случае пролета облака в направлении вращения диска).

Если облако пролетает в противоположном направлении и сталкивается на больших скоростях с диском, то условие смягчается: будут захватываться облака даже с  40. Горькавый (2007) численно показал, что аккреционный диск эффективно захватывает даже массивные облака, которые огибают центральное тело в том же направлении, в каком вращается диск. Эти облака захватываются на орбиты с большой полуосью и приносят в периферийные области диска значительный угловой момент, отчего диск начинает расширяться и должен со временем сформировать дисковую компоненту спиральной галактики.

Облако, двигающееся в противоположном направлении, тормозится при дальнейшем взаимодействии с диском и выпадает в центральную часть дисковой галактики, где формируется балдж — область, аналогичная по строению и вращению эллиптическим галактикам. Балдж может быть настолько плотным, что, как и эллиптические галактики, тоже способен захватывать облака, пролетающие через него в разных направлениях. Облако с ретроградных орбит может отнять (обнулить) угловой момент у части диска с примерно такой же массой. Таким образом, обратные захваты приводят к своеобразной аннигиляции момента у облака и соответствующей массы диска, в то время как прямые захваты могут приносить в диск облака с гораздо большей массой и моментом — см. численные расчеты Горькавого (2007). Кроме того, соударения на встречных курсах могут сопровождаться таким разогревом газа, участвующего в столкновении, что он может покинуть галактический диск.

Таким образом, внешние края галактики увеличивают свою массу и удельный угловой момент при захвате прямых облаков с большим моментом, в то время как в центрах галактик накапливается вещество с низким удельным угловым моментом, образующее балдж, похожий на эллиптические галактики. Следовательно, SMBH с плотным начальным аккреционным диском образуют эллиптические галактики, которые обладают малым угловым моментом, а SMBH с более разреженным затравочным диском формируют вокруг себя спиральные галактики в виде плоского диска с большим угловым моментом и с центральным балджем, похожим на эллиптические галактики. Можно предположить, что при прочих равных условиях (например, величине прицельного параметра) масса части газового облака m_disk, захваченной после его взаимодействия с черной дырой с массой M, зависит от площади сечения черной дыры, пропорциональной квадрату ее радиуса или массы: m_disk ∝ M ². Радиус R сферы тяготения черной дыры определяется из гравитационного ускорения на краю сферы (см. (87) и обсуждение ниже), следовательно, радиус этой сферы . Отсюда получим, что поверхностная плотность первичного аккреционного диска вокруг черной дыры будет пропорциональна массе черной дыры:

(84)

где k — коэффициент пропорциональности. Если поверхностная плотность первичного аккреционного диска вокруг черной дыры будет пропорциональна массе черной дыры, то выражение (80) можно записать в виде:

(85)

Следовательно, эллиптические галактики должны иметь в центре более массивные черные дыры, чем дыры в центрах спиральных галактик. Также можно выдвинуть гипотезу, что яркие шаровые скопления образуются лишь из тех темных шаровых скоплений, которые имеют в своем составе достаточно крупную дыру (IMBH), обеспечивающую накопление газа и возникновение звезд в шаровом скоплении. Если же в темном скоплении были лишь дыры SBH, то оно так и остается скоплением-«призраком». Введем «фактор центральной черной дыры» (FBH) как отношение площади центральной дыры к суммарной площади остальных черных дыр:

 1–100, (86)

где отношение радиусов (или масс) IMBH и SBH взято как 10^2–3, а число дыр в скоплении N_SBH  10⁴. Из (86) следует, что центральная черная дыра, масса которой составляет всего несколько процентов от массы скопления, имеет площадь сечения, превосходящую суммарную площадь сечения многих тысяч остальных черных дыр. Если подсчитать FBH для галактик (заменив IMBH на SMBH), то для Млечного Пути получим FBH  10, а для Туманности Андромеды FBH  10³. Очевидно, что существование массивной черной дыры является важным условием для захвата окружающего газа и создания аккреционного диска. Количество SMBH совпадает с числом галактик, а вот количество IMBH гораздо меньше числа шаровых скоплений (Горькавый и Тюльбашев, 2021). Следовательно, звездно-газовой составляющей обладают практически все галактики, но лишь немногие шаровые скопления, поэтому подавляющая часть скоплений из черных дыр звездных масс остаются темными и невидимыми.

В разделе 15.3 были кратко рассмотрены законы Талли — Фишера и Фабера — Джексона. Эти наблюдательные соотношения лучше всего выполняются для барионной массы галактик M_b, в то время как основная масса современных галактик содержится в виде массы темной материи M_DM в галактическом гало. Перепишем соотношение (8) из 15.3 в обобщенном виде для суммы барионной массы и массы темной материи (Gorkavyi, 2022b):

(87)

Обобщенную формулу (5) из раздела 15.3 запишем в виде:

(88)

Из (87) и (88) получим:

(89)

Если добавление темной материи в галактику растет вместе с ее барионной массой: , то будет выполняться обобщенный закон Талли — Фишера в виде:

(90)

Рассмотрим детальнее, следуя Gorkavyi (2022b), М-сигма-соотношение, установленное в работах Ferrarese & Merritt (2000), Gebhardt et al. (2000) — см. раздел 15.3 основного текста. В случае переменной плотности среды (t) для аккреционного роста галактики можно записать уравнение:

, (91)

где плотность Вселенной (t) зависит от ее размера a:

(92)

Здесь ₀ и a₀ — плотность и радиус Вселенной в эпоху рекомбинации t₀.

C учетом (91), (92) и выражения (6) из основного текста получаем:

(93)

где

(94)

Уравнение (93) приводит к экспоненциальному закону роста галактики:

, (95)

где для оценок были приняты следующие значения: постоянная плотность аккрецирующей среды ₀  3 × 10^–21 г/см³; относительная скорость V_rel  300–400 км/c; f  2 × 10^–8 см/c² и t₀, равное 0,38 миллиона лет (и t ≫ t₀). Если интерпретировать M₀ в (95) как массу затравочной сверхмассивной черной дыры и учитывать зависимость Талли — Фишера (см. (7) из раздела 15.3), то из (95) получим M-сигма-соотношение:

(96)

где

г (с/см)³. (97)

Из наблюдений следует, что S = 4 × 10¹² г(с/см)³ (Merritt, 1999). Это значение получится из (97), если . Отсюда и из (95) следует, что масса балджа достигнет значения всего за несколько миллионов лет.

Следовательно, соотношение M-сигма можно считать прямым следствием и доказательством аккреционной теории образования галактик, которые прошли через период экспоненциального роста в течение 10⁷ лет после Большого взрыва.