Запишем уравнение непрерывности для изменения массы популяции черных дыр:

, (42)

где A(n, m) — член, характеризующий рост общего числа n и средней массы m черных дыр, а B(n, m) описывает уменьшение этих величин. Пусть звездная эволюция в каком-то цикле Вселенной породила начальную популяцию черных дыр с численностью n₀ и массами дыр m₀. Рассмотрим простую модель, в которой процессы уменьшения общего числа черных дыр и рост индивидуальной массы дыр независимы. Тогда, перейдя к итерациям в заданный интервал времени, из уравнения (42) можно получить отдельное уравнение для числа черных дыр:

(43)

и отдельную формулу для массы черных дыр:

, (44)

где

(45)

Формула (44) получена с учетом того, что площадь сечения черных дыр пропорциональна квадрату их радиуса, а следовательно, и массы. Выражение (45) предполагает скорость движения среды равной скорости света, но оно может описывать и механизм обычной аккреции Бонди — Хойла, если в (45) скорость света заменить на скорость звука, а также подкорректировать численный коэффициент. Мы рассматриваем C как параметр модели, поэтому конкретное выражение для C несущественно для расчетов.

Формула (43) предполагает, что число черных дыр за каждую итерацию сокращается на постоянную долю D. Формулы (44) — (45) описывают рост отдельной черной дыры при поглощении вещества с плотностью _a за время T_a (Горькавый и Тюльбашев, 2021). Чтобы итерационная формула достаточно точно описывала процесс, параметр D и функция Cm_i должны быть гораздо меньше единицы в рассматриваемом заданном интервале времени:

D ≪ 1 и Cm_i ≪ 1. (46)

Интервал времени обычно можно приравнять к продолжительности одного цикла Вселенной, но если масса дыры в формуле (44) становится достаточно большой, то второе неравенство (46) перестает выполняться. Тогда интервал итерации будем задавать настолько маленьким, чтобы условие (46) выполнялось. Из (43) следует, что численность начальной популяции постоянно уменьшается из цикла в цикл. Согласно (44), индивидуальная масса черных дыр растет медленно, пока в течение цикла выполняется условие (46). В результате масса популяции черных дыр уменьшается с каждой итерацией, пока параметр Cm_i не вырастет. После этого быстрый рост индивидуальных масс дыр приводит к тому, что общая масса популяции данного возраста будет нарастать от цикла к циклу, несмотря на постоянное падение численности популяции (более детально результаты моделирования обсуждаются в разделе 12.1 основного текста).

Время в рассматриваемой итерационной модели и реальное время не имеют прямой связи, потому что модель предполагает постоянную плотность питающей среды, в то время как в реальности она меняется. В обеих моделях масса популяции черных дыр для отдельно взятого цикла переходит от уменьшения к росту при индивидуальных массах дыр: m_cr  D/C  100 масс Солнца. Принятое в Модели 1 значение C соответствует T_a_a  0,6 из формулы (45), где время питания черной дыры дано в годах, а плотность питающей среды — в г/см³. Значение D в Модели 1 означает, что на каждом цикле популяция черных дыр сокращается на 5 %.

Из результатов моделирования можно сделать вывод, что вся темная материя может состоять из черных дыр. Можно ли согласовать это заключение, а также частые слияния черных дыр, наблюдаемые LIGO, с малым количеством событий гравитационного линзирования? Garcia-Bellido & Clesse (2017) показали возможность такого согласования, если предположить существование кластеров черных дыр со средним числом дыр 2000. Оценим частоту слияний черных дыр N_merg для одной галактики. Пусть темное гало с массой M_halo состоит из N_DGC темных шаровых скоплений со средней массой M и радиусом R. Каждое скопление содержит N_BH черных дыр с массой m и радиусом r. Можно записать следующую оценку частоты слияний черных дыр:

, (47)

где t_coll — время свободного пробега дыры в шаровом скоплении со средней концентрацией черных дыр n_BH:

, (48)

где V — скорость движения черной дыры в скоплении. В скобках содержится фактор гравитационной фокусировки (см., например, Горькавый и Фридман, 1994). Оценивая и учитывая, что , , , получим количество слияний черных дыр в темном гало из шаровых скоплений для одной галактики за год:

(49)

Если гало с массой M_halo  10¹² солнечных масс состоит из темных шаровых скоплений со средним количеством черных дыр в N_BH  10⁴ (см. раздел 15.1 основного текста) и с массой дыр в m  5 масс Солнца, то, принимая оценку для радиуса темного шарового скопления в R  10 световых лет, получим число слияний на галактику в год N_merg  10^–6. Если оценить число галактик на гигапарсек в кубе как 10⁹, то это даст частоту соударений около 1000 слияний в год на гигапарсек в кубе. Частота соударений крупных черных дыр с массой 30M_/ может быть на порядок меньше, что соответствует частоте слияний, регистрируемых детекторами LIGO.

Для формирования темного гало с массой в 10¹² M_/ потребуется 10⁷ темных шаровых скоплений с массами в M  5 × 10⁴M_/. Число темных шаровых кластеров внутри тонкого газового диска Галактики может быть 10⁵ штук. Если радиус черного шарового скопления 10 световых лет и они располагаются на расстоянии 10⁵ световых лет, то на небе общая площадь темных шаровых скоплений составит ≲10³ квадратных градуса. Равномерное распределение темных шаровых скоплений по всей небесной сфере площадью в 41 253 квадратных градуса означает малую (2 %) вероятность того, что такое скопление попадет на линию между телескопом и, например, звездами Магеллановых Облаков. Следовательно, LIGO регистрирует слияние реликтовых дыр и нейтронных звезд из темных шаровых скоплений, которые трудно обнаружить в проектах по поиску гравитационного линзирования звезд соседних галактик.