Модель с переменной гравитационной массой должна решать проблему современного ускорения Вселенной или положительной космологической постоянной. Можно предположить, что сильная антигравитация, возникшая во время коллапса и перехода части массы черных дыр в гравитационные волны, ослабела, но до сих пор ускоряет разлет поля галактик. Правда, это ставит под вопрос цикличность Вселенной — ведь ее замыкание лучше согласуется с ростом массы черных дыр из-за поглощения гравитационного излучения на фазе расширения Вселенной. Такой рост массы приводит к эффекту гипергравитации.

Так как эффекты антигравитации и гипергравитации описываются одной формулой, но разными знаками параметра , то мы можем изучить в общем виде влияние гравитационного поля объекта с переменной массой на процесс расширения Вселенной. Выведем модифицированные уравнения Фридмана для метрики с переменной гравитирующей массой в сопутствующих координатах x_*, y_*, z_*:

, (23)

где

^{— известная функция (см. выражения (2) или (9)), а a(t, r) — неизвестный масштабный фактор. Метрика (23) была исследована, например, Маквитти (1961), Dodelson (2003), Kopeikin (2012). Согласно разделу 16.2 в монографии Крамера и др. (1982), метрика (23) принадлежит к типу сферически симметричных нестационарных метрик, которые допускают введение изотропных сопутствующих координат. Мы будем искать модифицированные уравнения Фридмана в таких координатах. Зависимость функций a(t, r) и b(t, r) от координат означает, что мы рассматриваем слабо неоднородную космологическую модель. Функция b(t, r) в метрике (23) является возмущением классической метрики FLRW (Friedmann — Lemaître — Robertson — Walker), например, от роста БЧД, или Большой Черной Дыры (Big Black Holes ≡ BBH), и приводит к появлению в уравнениях Фридмана дополнительных членов. Аналогичную метрику с возмущением рассматривает, например, Dodelson (2003) — см. его уравнение 5.27 для мелкомасштабных возмущений плотности. В отличие от Dodelson (2003), мы будем рассматривать крупномасштабные возмущения, связанные с переменностью гравитационной массы. В статье Gorkavyi & Vasilkov (2018) было показано, что слабая неоднородность времени 1 — b(t, r) несущественна в рассматриваемом приближении. В итоговое модифицированное уравнение Фридмана входят возмущения b(t, r) только из пространственной части метрики. Поэтому для упрощения расчетов мы опустим эту слабую неоднородность по времени и в конечных выражениях примем, что g₀₀  –1. Запишем нулевую компоненту уравнений Эйнштейна:}

(24)

После громоздких, но стандартных вычислений величин R₀₀ (нулевая компонента тензора Риччи) и R (скалярная кривизна), получим для левой части (24) следующее выражение:

⁽²⁵⁾

Здесь было учтено, что b(t, r) ≪ a(t, r), поэтому членами, нелинейными по b(t, r), пренебрегалось (см. соответствующие оценки членов уравнений в статье Gorkavyi & Vasilkov, 2018). Корректность вывода (25) была также проверена вторым способом, с использованием общих выражений из параграфа 100 книги Толмена (1974). Введем следующее обозначение суммы всех членов со вторыми производными по пространственным координатам:

⁽²⁶⁾

Выражения с производными по времени от a(t, r) приводят к — изотропному квадратичному члену первого уравнения Фридмана. Производная по времени от возмущения b(t, r) дает поправку следующего порядка . Эта поправка является анизотропной, потому что b(t, r) зависит от расстояния до растущей BBH, следовательно, в направлении на BBH этот член будет больше, чем в противоположном. С учетом (25) запишем первое модифицированное уравнение Фридмана для слабого поля:

, (27)

где в функции (t, r) можно оставить только члены с b(t, r), которые для сильнее зависят от пространства, чем a(t, r) (см. соответствующие оценки членов уравнений в Gorkavyi & Vasilkov, 2018):

(28)

Здесь x, y, z — физические координаты, и учтено, что скалярная функция (t, r) не зависит от системы координат. Обратим внимание, что эта функция является симметричной по всем пространственным координатам, тем самым она является локально изотропной. Тем не менее, так как b(t, r) зависит от расстояния до BBH, то глобально эта функция будет неоднородной и анизотропной. В выражение (28) входят только пространственные компоненты метрического тензора, тем самым слабая неоднородность по времени оказалась несущественной для функции (t, r). Из уравнения (28) для | | ≫ c/r получим:

, (29)

где — радиус Шварцшильда, T  4  10¹⁷ с — космологическое время. Сравним (29) с измеренным значением космологической постоянной (Ade et al., 2016a):

(30)

Функция (26), (29), описывающая ускорение Вселенной, совпадает с феноменологической космологической постоянной при следующем значении безразмерной величины:

(31)

Ненулевая космологическая постоянная может также обеспечиваться ростом более мелких дыр, действие которых пропорционально их числу: . Влияние гипергравитации падает с расстоянием как 1/r, а число небольших черных дыр в каком-то интервале расстояний растет как 1/r², поэтому влиять на космологическую постоянную будет вся наблюдаемая популяция растущих дыр. Дыры с массой в 5 масс Солнца могут обеспечить наблюдаемое значение космологической постоянной при численности . Черные дыры звездных масс растут медленно, следовательно, (T)² ≪ 1, и, согласно этим простым оценкам, число N получается слишком большим. Для более уверенных выводов о величине гипергравитации от Большой Черной Дыры и от более мелких дыр требуется более детальное моделирование.

Существует принципиальная разница между ростом массы черной дыры за счет аккреции обычного вещества и за счет притока гравитационного излучения. Только в последнем случае можно говорить о росте гравитационной массы системы, потому что аккреция обычного вещества на черную дыру представляет собой лишь перераспределение гравитационной массы по пространству, сопровождающееся гравитационным излучением, то есть в этом случае гравитационная масса системы будет даже уменьшаться. В статье Gorkavyi et al. (2018) была определена плотность среды гравитационных волн _GW, при поглощении которых гравитационная масса BBH растет со скоростью, достаточной для наблюдаемого значения космологической постоянной:

(32)

Это выражение несущественно отличается от соответствующей формулы в Gorkavyi et al. (2018) из-за уточнения выражения для площади черной дыры (Новиков и Фролов, 1986). Из (32) и выражения для радиуса Шварцшильда получим:

, (33)

где | | T  10 и масса M  6 × 10⁵⁴ г. Эта масса BBH может быть вычислена из условия r₀/r  0,02. Если положить | | T 100, то r₀/r  2 × 10^–4 и масса M  6 × 10⁵² г, а _GW  10^–25 г/см³. Если учесть, что возмущение гравитационного поля от BBH, которое сейчас наблюдается в виде ускоренного разбегания галактик, возникло 10 млрд лет назад, то за это время плотность фона гравитационного излучения (33) может значительно уменьшиться.

Попробуем оценить фон гравитационных волн другим способом. Логично предположить, что когда радиус Большой Черной Дыры будет сопоставим с радиусом Вселенной, то радиус этой дыры из-за поглощения фонового гравитационного излучения будет увеличиваться со скоростью, близкой к скорости света. Из (22) можно записать условие такого роста (приняв для площади поглощения BBH самую простую оценку 4R²):

, (34)

откуда получим:

, (35)

где радиус BBH световых лет. Примечательна близость оценок (33) и (35), полученных совершенно различными способами. К значению (35) близка также критическая плотность, приводящая к замкнутости Вселенной: . Это еще одно многозначительное совпадение, которое говорит о высокой согласованности различных параметров Вселенной.

Второе модифицированное уравнение Фридмана получаем обычным способом, дифференцируя первое уравнение Фридмана (27):

(36)

Отметим, что в обоих уравнениях Фридмана, (27) и (36),  означает среднюю плотность Вселенной. Функции (t, r), и зависят от переменной гравитационной массы, расположенной вдали, на краю наблюдаемой Вселенной. Используя уравнение (29), для экспоненциального изменения массы BBH получим , после чего (36) можно переписать в виде:

(37)

Рассмотрим случай, когда член с космологической функцией доминирует над членом со средней плотностью. С учетом (13) получаем . Тогда уравнение (37) может быть переписано в простом виде:

(38)

Первое уравнение Фридмана (27) для пренебрежимо малой плотности среды запишем в виде:

, (39)

где — параметр Хаббла. Второе уравнение Фридмана (36) примет вид:

(40)

Записывая приближенные равенства в (40), мы предположили сначала, что членом можно пренебречь по сравнению с H ², а потом учли, что | | ≫ c/r или | | ≫ H.

Неожиданный результат: из уравнения (40) следует, что ускорение наблюдаемой части Вселенной определяется эффектом гипергравитации при   —H, вызванным увеличением гравитационной массы ВВН. Гипергравитация от растущей BBH растягивает наблюдаемый набор галактик так, что с точки зрения сопутствующего локального наблюдателя галактики удаляются друг от друга с ускорением. Отметим, что схожая идея, связывающая современное ускорение Вселенной не с темной энергией, а с глобальной волной пространства-времени, рассматривается в работе Temple & Smoller (2009).

Полученный результат изящно совмещает решение проблемы положительной космологической постоянной с решением проблемы замкнутости Вселенной ввиду роста ее массы. Кроме того, в рассматриваемой модели космологическая постоянная (t, r) является функцией массы BBH и плотности фоновых гравитационных волн _GW, тем самым она зависит от времени, что может объяснить меньшее значение постоянной Хаббла H в прошлом (Riess, 2020).

Оценим относительную величину нового анизотропного члена в уравнении Фридмана (40) с учетом (29) и (31) и разных возможных значений r₀/r, обсуждавшихся после (33):

(41)

С учетом HT  1 оценка анизотропии (41) в максимальном варианте хорошо соответствует анизотропии постоянной Хаббла, полученной по скоплениям галактик (Migkas et al., 2020). Тем самым вопрос анизотропии естественно решается в новой модели.

Вышеприведенные формулы относятся к модели Фридмана, предполагающей изотропию и однородность Вселенной, или к модификации этой модели для слабой неоднородности и анизотропии. Если учесть, что Вселенная квазиоднородна только локально (в пределах области, доступной нам в наблюдениях), а в глобальном смысле она неоднородна, то космология реальной Вселенной будет гораздо богаче. Циклическая модель Вселенной сочетает в себе внешнюю стационарную Мегадыру с пульсирующей внутренней частью, которая приблизительно совпадает с наблюдаемой частью Вселенной. Мегадыра может иметь радиус  0,1–1 триллион световых лет. Критическая плотность для такой дыры на несколько порядков меньше оценок (35). Эта плотность может определяться практически полностью гравитационными волнами. Внутренняя, осциллирующая часть Вселенной может иметь гораздо более высокую плотность — как барионной, так и других компонент. Глобальная неоднородность Вселенной может приводить к тому, что ее внутренняя, сравнительно компактная часть с радиусом около 50 миллиардов световых лет будет описываться уравнениями Фридмана (27) и (36), в то время как вся Вселенная, включая ее внешнюю разреженную часть, будет точнее описываться уравнением Фридмана, включающим кривизну пространства: , где k  1 для замкнутой Вселенной с положительной кривизной. Дальнейшие исследования и наблюдения должны уточнить степень глобальной неоднородности Вселенной.