Говорят, что непреодолимой нековариантностью результатов ОТО природа, на языке анализа, нам все время хочет что-то сказать, но мы никак не можем понять, что именно.

В 1912 году в работе «К теории статического гравитационного поля» Эйнштейн вводит (как он полагает — в соответствии с законом сохранения энергии) положительную плотность энергии гравитационного поля (ССЭ, т. 1, с. 214). Здесь физик Эйнштейн вступает в противоречие с ньютоновским законом сохранения, который предполагает отрицательность гравитационной энергии. Поступок Эйнштейна можно понять, потому что отрицательная энергия является понятием, которое противоречит здравому смыслу.

В 1913 году Эйнштейн вместе с математиком М. Гроссманом публикует обширный, на 40 страниц, «Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения» (ССЭ, т. 1, с. 227), на которую он потом часто ссылается как на теорию тяготения Эйнштейна — Гроссмана. В этой важной статье:

1) гравитационное поле впервые определяется метрическим тензором, который характеризует искривленность пространства;

2) искривленность пространства связывается с тензором энергии-импульса, что приводит к верному принципиальному дизайну уравнений поля тяготения.

Новые уравнения гравитации были тензорным обобщением уравнения Пуассона, лежащего в основе ньютоновской теории гравитации (см. начало раздела 9.1 основного текста).

При введении нового уравнения Эйнштейн, который был автором физической части статьи, строго придерживается закона сохранения энергии, ставшим одной из основ теории. Он выбирает вид тензора, характеризующего искривленность пространства, так, «чтобы выполнялся закон сохранения энергии-импульса». Эйнштейн записывает уравнения гравитационного поля в виде

,

где тензор D_mn(g) составлен из вторых производных метрического тензора g_mn; T_mn — тензор энергии-импульса материи, а t_mn — тензор энергии-импульса гравитационного поля, который Эйнштейн ввел впервые. В статье отмечено: «Эти уравнения удовлетворяют требованию, по нашему мнению, обязательному для релятивистской теории гравитации; именно они показывают, что тензор гравитационного поля... является источником поля наравне с тензором материальных систем... Исключительное положение энергии гравитационного поля по сравнению со всеми другими видами энергии привело бы к недопустимым последствиям». Записав аналог закона сохранения энергии-импульса, Эйнштейн заключает: «Отсюда видно, что соотношения для законов сохранения справедливы для вещества и гравитационного поля вместе взятых».

Итак, важное утверждение о равноправии гравитационной и других видов энергии Эйнштейн сделал впервые в 1913 году, а потом часто повторял его. Но 1913 год — год опубликования данной работы — не стал годом рождения общей теории относительности. Уравнения искривления пространства, найденные Эйнштейном на основе требования выполнения закона сохранения энергии, оказались не общековариантными, то есть зависящими от движений наблюдателя. Это случилось, грустно поясняет Эйнштейн в примечании к статье 1913 года, потому что «постулируется соблюдение законов сохранения... для материального процесса и гравитационного поля вместе взятых. Именно из этого постулата... выведены уравнения гравитационного поля». Эйнштейн пессимистично отмечает, что вследствие необщековариантности законов сохранения, послуживших основой теории, общековариантные уравнения поля «вообще не могут существовать» в данной теории (ССЭ, т. 1, с. 265).

В статье «Физические основы теории тяготения» (1913) Эйнштейн еще раз совершенно четко выражает свою точку зрения на гравитационное воздействие гравитационной энергии: «Из системы уравнений... можно видеть, что наряду с компонентами тензора энергии-натяжений материи <..> в качестве равноценных источников поля выступают также компоненты тензора гравитационного поля; <..> это требование, очевидно, необходимо, поскольку гравитационное воздействие системы не может зависеть от физической природы энергии, служащей источником поля» (ССЭ, т. 1, с. 272).

В докладе в Вене «К современному состоянию проблемы тяготения» (1913) Эйнштейн перечисляет «общие постулаты, которые МОЖНО принять (но НЕОБЯЗАТЕЛЬНО все) в теории гравитации:

1. Выполнение законов сохранения импульса и энергии.

2. Равенство ИНЕРТНОЙ и ТЯЖЕЛОЙ масс замкнутых систем.

3. Справедливость теории относительности, то есть системы уравнений должны быть ковариантны... относительно линейных... подстановок...» (ССЭ, т. 1, с. 275).

Эйнштейн, обсуждая эти постулаты, пишет: «Все теоретики согласны, что постулат 1 должен выполняться». Обсуждая постулат 2, он отмечает: «...гравитационное дальнодействие системы не меняется, даже если часть энергии системы переходит в гравитационную энергию. Тяготеющая масса системы определяется ее полной энергией, включая ее гравитационную энергию» (там же, с. 276).

В дискуссии к венскому докладу Ганс Рейснер, который в будущем получит известное решение уравнений Эйнштейна для электрически заряженного тела, задал проницательный вопрос, указывающий на внутреннюю противоречивость понятия энергии гравитационного поля. Смысл этого вопроса заключается в следующем: согласно теории Эйнштейна, гравитационное поле является объектом, который воздействует на любой другой объект, обладающий энергией и инерцией, например на луч света. При этом само гравитационное поле обладает энергией, тяжестью и инерцией. Но тогда поле должно действовать само на себя и «...как получается, что поле остается статическим, хотя полевая энергия пустого пространства подвержена тяжести?» Рейснер отмечает, что полевая энергия пустого пространства представляет собой весьма «особый вид энергии».

В статье «Дополнительный ответ на вопрос Рейснера» (ССЭ, т. 1, с. 299) Эйнштейн соглашается с Рейснером: «...из основных предпосылок теории следовало бы ожидать, что поле тяжести действует на свои собственные „компоненты энергии“ (...) так же, как на соответствующие компоненты энергии материи (...)». Интересно, что Эйнштейн берет в кавычки термин «компоненты энергии» для случая гравитационного поля.

В статье 1914 года «Формальные основы общей теории относительности» Эйнштейн еще раз подчеркивает: «...важен вывод, что тензор энергии гравитационного поля так же, как и тензор энергии материи, сам возбуждает поле» (ССЭ, т. 1, с. 377).

Обсудим второй постулат, который стал известен как принцип эквивалентности. Это фундаментальное положение теории Эйнштейна часто оказывается неправильно интерпретированным. В обширной статье 1913 года, со ссылкой на опыты Этвеша, Эйнштейн пишет: «гипотеза эквивалентности, выражающая физическую равнозначность тяжелой и инертной масс, в высшей степени вероятна» (ССЭ, т. 1, с. 228).

Что измерял Этвеш? Он определял отношение притяжения тела к Земле, которое зависит от гравитационной массы тела, к центробежной силе, которое испытывает это тело из-за суточного вращения Земли, а эта сила пропорциональная его инертной массе. Этвеш сравнивал это соотношение для тел разной плотности и химического состава и всегда получал одинаковое соотношение. Что такое гравитационная масса в опыте Этвеша, знает каждый, кто накладывал яблоки на рычажные рыночные весы. А тот, кто крутил на веревочке какой-нибудь груз, прекрасно осведомлен о том, как этот процесс зависит от инертной массы груза. Результат опыта Этвеша был удивительным: гравитационная и инертная массы соответствовали разным характеристикам тела, почему же они оказались совпадающими?

Учтем, что опыт Этвеша интерпретировался в те времена на ньютоновском языке, потому что язык общей теории относительности еще не был создан. Поэтому притягивающее гравитационное поле Земли было в начале XX века таким же физическим, как и веревочка, которая не дает улететь грузику на ее конце. Что сделал Эйнштейн? Он стал интерпретировать равенство инертной и гравитационной масс как свойство кривого пространства, которому было все равно, что движется по его искривленным поверхностям. Эйнштейн в качестве иллюстрации этого «равнодушия» приводит идею равномерно ускоренного лифта, которым можно заменить гравитацию. Представим, что вы стоите в лифте, который расположен в межзвездном пространстве вдали от Земли, но движется с равномерным ускорением в 9,8 м/с². Если вы прихватили рыночные весы с парой килограммов яблок, то они будут показывать такой же вес, как и на земном рынке. Но ясно, что весы измеряют уже не гравитационную, а инертную массу яблок. Если яблоко скатилось с весов, то оно будет падать на пол с видимым ускорением в 9,8 м/с², но это ускорение никак не зависит от инертных свойств яблока и отражает лишь ускоренное движение лифта.

Эйнштейн сменил парадигму восприятия гравитационного поля: оно перестало быть физическим полем, которое можно было представить набором веревочек. Ускорение, которое придавала телам Земля, стало неускоренным движением тела по геодезической линии в искривленном пространстве. Тем самым Эйнштейн уничтожил понятие гравитационной и инертной массы в опытах Этвеша, как и физическую значимость их равенства. Да, Эйнштейн положил опыт Этвеша и принцип эквивалентности в основу своей теории, но этот удивительный ньютоновский факт превратился в тривиальное следствие движения в эйнштейновском пространстве. Бабочка Эйнштейна выбралась из кокона Ньютона, оставив лишь сухую скорлупу формального равенства масс. Уничтоженные Эйнштейном массы стали называть «пассивными». «Пассивная гравитационная масса» входит в закон Ньютона в качестве массы пробного тела, «пассивная инертная масса» обеспечивает третий закон Ньютона при гравитационном ускорении тела. Так как никакого гравитационного поля и гравитационной ускорения в теории Эйнштейна нет, то не нужен и баланс ускорений для геодезического движения тела в искривленном пространстве. Естественно, «активные» гравитационная и инертная массы остались: первая входит в закон Ньютона как масса Земли. Это масса, которая не пассивно реагирует на гравитационное поле, а активно порождает его. Активная инертная масса уравновешивает в третьем законе Ньютона любые негравитационные ускорения, возникающие хотя бы вследствие кручения груза на веревочке. Активная гравитационная масса обобщается в теории Эйнштейна в тензор энергии-импульса материи, который стоит в правой части уравнений и служит источником искривленного пространства, которое описывается тензором Эйнштейна в левой части уравнений. Активная инертная масса входит в знаменитый закон E  mc² и подчиняется закону сохранения энергии. Но разве она тоже не обобщается в тензор энергии-импульса? На первый взгляд мы снова должны прийти к равенству инертной и гравитационной масс. На самом деле между ними существует значительная разница, связанная с гравитационными волнами, которую мы обсудим отдельно. Сейчас важно запомнить, что опыты Этвеша не имеют никакого отношения к возможному равенству активной инертной и активной гравитационной массы. Это служит частым источником недоразумений: как только возникает вопрос о соотношении активной инертной и гравитационной масс, даже специалисты начинают утверждать, что это равенство доказано Этвешем и положено Эйнштейном в основу его теории.

Бертран Рассел пишет об этом в своей популярной книге: «Таким образом, когда мы упоминаем „гравитационную массу“ в смысле... способности тела реагировать на гравитацию, мы находим, что „равенство инертной и гравитационной масс“, звучащее весьма содержательно, сводится к следующему: в данном гравитационном поле все тела ведут себя совершенно одинаково. <..> Что же касается гравитационной массы в смысле... интенсивности силы, вызываемой телом, здесь больше нет точной пропорциональности его инертной массе» («The ABC of Relativity», 1962, p. 89–90). Рассел рекомендует читателю более углубленное изложение в книге А. Эддингтона «Математическая теория относительности». Мы присоединяемся к этой рекомендации мудрого Бертрана Рассела!

1915 год был переломным для развития эйнштейновской теории гравитации. В статье «К общей теории относительности» (ССЭ, т. 1, с. 425) Эйнштейн пишет слова, ставшие широко известными: «Я полностью потерял доверие к полученным мной уравнениям поля и... вернулся к требованию более общей ковариантности уравнений поля, от которой я отказался с тяжелым сердцем, когда работал вместе с моим другом Гроссманом». Далее Эйнштейн всегда будет придерживаться этого принципа и довольно быстро установит верный вид уравнений поля (см. «Уравнения гравитационного поля», ССЭ, т. 1, с. 448, опубликовано 2 декабря 1915 года). Сила новых уравнений проявилась в объяснении величины аномального движения перигелия Меркурия (см. «Объяснение движения перигелия Меркурия в общей теории относительности», 1915, ССЭ, т. 1, с. 439), в то время как старые уравнения Эйнштейна не давали такого результата.

В это время Эйнштейн по-прежнему придерживается закона сохранения энергии, но уже не кладет его в основу вывода уравнений поля, а лишь после записи основных уравнений проверяет, чтобы выполнялся закон сохранения, который теперь оказывается следствием уравнений гравитационного поля. При этом он по-прежнему считает, что энергия гравитационного поля сама порождает дополнительное гравитационное поле: «Выше мы исходили из требования, что энергия гравитационного поля должна действовать в смысле тяготения точно так же, как всякая энергия другого рода». Эта цитата взята из фундаментальной работы «Основы общей теории относительности», 1916 (ССЭ, т. 1, с. 490), объемом свыше 50 страниц, которая была отправлена в печать 20 марта 1916 года и явилась наиболее полным изложением общей теории относительности (ОТО). Позже она публиковалась как отдельная брошюра. Благодаря этой работе 1916 год нередко считается годом рождения ОТО. Более того, именно здесь многие историки и физики ставят точку в истории создания общей теории относительности, а некоторые даже считают этот год концом научной карьеры Эйнштейна. На самом деле к 1916 году были получены лишь основные математические уравнения общей теории относительности, после чего она вступила в сложный и длительный период физической интерпретации полученных уравнений.