Чтобы понять физические законы, вы должны усвоить себе раз и навсегда, что все они — в какой-то степени приближения.
В разделе 4.2 была рассмотрена сферическая система из двойных черных дыр неравных масс, которая разлетается в разные стороны под воздействием антигравитирующего потенциала, возникающего после слияния черных дыр (см. рис. 1). Можно ли получить подобный потенциал для коллапсирующей системы, чтобы обеспечить ее остановку и последующее расширение? В короткой заметке, опубликованной мной в мае 2003 года в Бюллетене Американского астрономического общества, показано, что если масса системы, расположенной в воронке гравитационного потенциала, уменьшается, то в центре воронки вырастает пик гравитационного потенциала, на склоне которого будет отталкивание, а не притяжение. Если учесть, что этот пик расширяется со скоростью света, то получится, что вокруг системы с уменьшающейся массой будут существовать удаленные зоны притяжения и более близкие зоны, где наблюдается отталкивание. В заметке отмечалось, что интенсивная генерация гравитационного излучения может вызвать нужное уменьшение массы системы.
Хотя в основном тексте этой книги мы избегаем формул, сделаем исключение из этого правила для нескольких простых, но очень важных уравнений. В теории Ньютона гравитационное ускорение g, вызванное телом с массой M на расстоянии r, можно записать через потенциал φ:
, (1)
где G 6,67 × 10–8 дин × см2/г2 — фундаментальная гравитационная постоянная. Предположим, что масса M зависит от времени. Конечность скорости распространения гравитационного поля порождает дополнительную зависимость и от пространства, ведь об изменении массы гравитирующего тела удаленный наблюдатель будет узнавать позже близкого наблюдателя. Примем для изменения массы экспоненциальную функцию, которая, в зависимости от знака показателя α, может описывать как уменьшение, так и увеличение массы (Gorkavyi, 2003):
. (2)
После дифференцирования потенциала φ с переменной массой (2) получим для гравитационного ускорения:
. (3)
Физический смысл запаздывания t — r/c состоит в следующем: если в точке r 0 происходит изменение массы, то наблюдатель, расположенный в той же точке, почувствует это изменение немедленно, и для него изменение массы будет описываться простой функцией M(t). Если наблюдатель расположен на расстоянии r от изменяющейся массы, то волна этого изменения достигнет наблюдателя через промежуток времени, равный r/c. Это означает, что для удаленного наблюдателя масса системы будет изменяться с запаздыванием во времени, которое будет тем сильнее, чем больше расстояние r, то есть переменность массы будет зависеть не только от времени, но и от расстояния до наблюдателя: M(t — r/c).
При α > 0 (уменьшение массы) новый член гравитационного ускорения из формулы (3) описывает антигравитацию, а при α < 0 (увеличение массы) — гипергравитацию. Отметим, что новый член гравитационного ускорения, в отличие от классического ньютоновского члена притяжения имеет релятивистский характер и в классическом пределе (при устремлении скорости света c к бесконечности) исчезает. Так как новый член падает с радиусом медленнее ньютоновского притяжения — как r –1, а не r –2, то он должен доминировать на больших расстояниях и в космологических масштабах. Для α > 0 условие доминирования отталкивания над притяжением запишем из (3) в виде:
, (4)
где M* — общая масса системы, включая ее компоненты, которые не меняют свою массу, а M — переменная масса системы, которая уменьшает свою массу с характерным временем td и может быть гораздо меньше M*.
Проясним возникновение описанного гравитационного отталкивания (или антигравитации) с помощью классической аналогии, когда искривленное пространство моделируется резиновой пленкой, натянутой на большой обруч. Если в середину этой пленки поместить тяжелый металлический шар, то он растянет пленку и образует воронку, которая искривляет траектории двигающихся по пленке легких шариков — так же, как искривленное пространство вокруг планеты изгибает траектории пролетающих возле планеты тел. Пусть тяжелый шар приклеен к пленке. Быстро поднимем шар на уровень обруча или неискривленной пленки. Пленка, которая устремится за шаром, вытянется в конусообразную возвышенность в середине существующей большой воронки. Вдали от этого острого конуса пленка все еще имеет форму воронки: хотя шар уже поднят, дальние части пленки об этом еще «не знают» из-за конечности скорости распространения изгиба пленки. Центральная возвышенность на пленке будет быстро расширяться от центра к краям со скоростью движения изгибной волны. Расположим несколько легких шариков на поверхности пленки. При быстром поднятии центрального тела поведение этих шариков будет отмечать две области вокруг центра — далекие области, где пленка еще не узнала о подъеме центрального шара и где по-прежнему царит притяжение, и близкие области, где пленка образовала центральную возвышенность, с которой шарики скатываются к периферии. Здесь возникла зона антигравитации — зона, где гравитационный потенциал (прогиб пленки) имеет наклон наружу. Чем быстрее будет подниматься тяжелый шар, то есть исчезать гравитационная масса рассматриваемой системы, тем острее будет центральный пик и сильнее антигравитация. Таким образом, если притяжение аналогично движению шариков по наклонной поверхности внутрь воронки, то антигравитация соответствует разбеганию шариков со склонов центрального пика.
Если рассмотреть ситуацию в терминах гравитационного потенциала, отрицательная пространственная производная от которого является гравитационным ускорением, то никакой принципиальной разницы между гравитацией и антигравитацией нет — в обоих случаях ускорение возникает при «скатывании» частицы вниз по склону потенциала (рис. 3). Отличие лишь в том, что притяжение (ускорение, направленное к центру системы) вызвано стационарным
Рис. 3. Поведение пробных тел (черные шарики) в гравитационном потенциале. Внешняя стационарная воронка ньютоновского потенциала имеет положительный градиент, поэтому и все тела падают к ее центру. Внутренний нестационарный пик, возникший вокруг тела с уменьшающейся массой, имеет отрицательный градиент потенциала, который заставляет пробные тела двигаться наружу. Сам пик расширяется со скоростью света (направления расширения указаны штрихованными стрелками)
гравитационным полем, а отталкивание (ускорение от центра системы) вызвано изменяющимся полем — волной потенциала, которая распространяется от тела, уменьшившего свою гравитационную массу. Именно поэтому притяжение описывается классической (нерелятивистской) формулой, а антигравитация является релятивистским феноменом, зависящим от скорости света.
Формулы (2) и (3) получены в рамках квазиньютоновского подхода: в ньютоновской формуле (1) была учтена переменность массы и конечность скорости гравитации. Это нестрогий прием, поэтому аналогичные формулы для гравитационного ускорения требуется получить в рамках ОТО.
Общие выражения ОТО для нестационарной сферическо-симметричной метрики были выведены Ж. Леметром в 1931 году, а также Р. Толменом и Б. Подольским — см. параграф 98 в книге Толмена (1934). Но нестационарная сферическо-симметричная метрика не была изучена детально, потому что для такого анализа требуется знать переменность гравитационной массы. Переменность массы не получается из уравнений ОТО для интегральной метрики, она должна быть найдена из других расчетов — так же, как задается уравнение состояния вещества при получении пространственно-временной метрики для системы с учетом давления. Если рассматривать убыль гравитационной массы из-за излучения гравитационных волн, то можно вычислить это изменение в рамках ОТО для определенного начального распределения масс, а потом подставить полученные выражения в интегральную метрику. Принципиальное рассмотрение физики системы можно начать с введения параметрической функции изменения массы, как это сделано в формуле (2).
Профессор Ягеллонского университета Марек Кутчера из Кракова опубликовал в сентябре 2003 года в журнале Королевского астрономического общества (MNRAS) статью «Монопольные гравитационные волны от релятивистских файрболов, вызывающих гамма-всплески», где рассмотрел расширение раскаленных облаков газа с переменностью активной гравитационной массы, вызванной изменением давления в файрболе.
Кутчера сделал заключение: «гравитационная масса огненного шара, составленная в равной степени из плотности энергии и давления, не является постоянной величиной. Это имеет серьезные последствия, поскольку подразумевает излучение монопольных гравитационных волн». Кутчера изучил два вида монопольных гравитационных волн: первый связан с прохождением мимо наблюдателя тонкого слоя гамма-квантов, вызванных вспышкой, после чего гравитационное притяжение падает до нуля (если первоначальный огненный шар состоял только из гамма-квантов), а второй вид монопольных волн вызван изменением давления в файрболе, из-за чего уменьшается его активная гравитационная масса (которую Кутчера назвал массой Уиттекера).
В приближении слабого поля Кутчера вычислил пространственно-временную метрику для такого облака, задав переменность его массы в виде параметрической функции. Он рассматривал новую метрику как шварцшильдовскую метрику с возмущением из-за переменности массы. Метрика Кутчеры совпадала с метрикой Шварцшильда для случая слабого поля с тем отличием, что постоянная масса в метрике Шварцшильда заменилась на переменную гравитационную массу. Возможность антигравитации в такой метрике Кутчерой не рассматривалась. Космология с переменной гравитационной массой, о необходимости которой говорил Ф. Андерсон, тоже не строилась.
Кутчера рассматривал оба вида гравитационных монопольных волн как равноправные, но мы полагаем, что они принципиально различны. Назовем для определенности первый вид монопольных волн, связанный с прохождением сферического слоя излучения, вызванного какой-то вспышкой, виртуальной монопольной волной или вспышечной монопольной волной. Второй вид волн назовем реальной монопольной гравитационной волной или волной Уиттекера — она будет связана с уменьшением удаленной гравитационной массы без какого-либо прохождения квантов или другой материи возле наблюдателя. Только реальные монопольные волны второго вида могут вызывать антигравитацию или гипергравитацию — именно они описываются новым (вторым) членом в формуле гравитационного ускорения (3), а виртуальные волны первого рода описываются первым членом в правой части (3). Очевидно, что, даже при уменьшении массы до нуля, этот член описывает только притяжение. Разницу между двумя видами монопольных волн легко понять по следующему признаку. Реальные монопольные волны не привязаны к какому-либо веществу и распространяются всегда со скоростью света. Виртуальные волны всегда сопутствуют движению вещества или негравитационного излучения. Обратим внимание, что процесс уменьшения гравитационного притяжения до нуля происходит не только при прохождении возле наблюдателя оболочки из квантов излучения, двигающихся со скоростью света, но и при медленном движении оболочки из обычного вещества, например газа. При этом изменение массы внутри сферы, на поверхности которой находится наблюдатель, зависит от скорости прохождения оболочки и происходит без какого-либо запаздывания, так как наблюдатель находится в точке формального изменения массы, следовательно, изменение массы для него будет описываться более простой функцией M(t), куда скорость света не входит. Тем самым виртуальная монопольная волна не является релятивистской и вообще волной — она привязана к материи (или излучению), которая ее порождает, и движется вместе с ней. Антигравитации здесь не будет, как и при уменьшении притяжения до нуля при падении наблюдателя к центру Земли.
В остальной части книги под монопольными гравитационными волнами мы будем подразумевать только реальные волны, или волны Уитеккера.