Греческая древность произвела много великих геометров, славнейшие между которыми: Архимед, Эвклид (Евклид. – Примеч. ред.) и Аполлоний Пергейский. Они являются нам знаменитейшими, потому что мы только о них можем судить на основании дошедшей до нас части их сочинений. Творения других математиков потеряны и невозможно сказать теперь, что ими было сделано для науки, и отличить их собственные труды от заимствованного от предшественников. Можно только утверждать, что они были люди гениальные и что некоторые из их трудов были плодом мощного ума, или высшего метода, который не формулирован в дошедших до нас их сочинениях. Например, Архимед в своем сочинении О спиралях (которые суть кривые высшего порядка) проводит касательные, измеряет поверхности; и Аполлоний в своем сочинении О конических сечениях предлагает и решает вопросы о наибольшем и наименьшем, о развертках и т. д., как будто их теоремы были открыты прежде, при помощи высшего метода, иного против того, какой они употребляют для доказательств.

Таким образом, математические науки у древних достигли высшего, чем обыкновенно полагают, развития. Это особенно ясно станет при чтении жизнеописаний Эвклида, Аполлония Пергейского и Гиппарха.

Много более или менее известных лиц из древних грехов звались Эвклидами. Именно: Эвклид, архонт афинский (V века до Р.Х.); Эвклид, врач (V века до Р.Х.); Эвклид, афинский ваятель (IV века до Р.Х.); Эвклид, философ, ученик Сократа и основатель Мегарской школы (IV века до Р.Х.); Эвклид, спартанский военачальник, брат Клеомена III, царя спартанского (III века до Р.Х.); наконец, Эвклид, писатель Начал арифметики и геометрии.

Последний – самый знаменитый. Его иногда смешивали с основателем Мегарской школы, хотя они не были современниками и различались и складом ума, и способностями, и родом занятий.

Эвклид представляет Птолемею Сотеру свои начала геометрии. Гравюра XIX в.

Положительно известно, что геометр Эвклид жил в третьем веке до Р.Х., ибо древние писатели, говорящие с некоторою подробностью об основании Александрийской школы, называют его между первыми учеными, которых щедрость основателя Птоломея I привлекла в музей этого знаменитого города.

Но насчет времени и места его рождения ничего верного не известно. Прокл[94] на этот счет ограничивается указанием, что Эвклид был современником первого Птоломея, то есть Птоломея Сотера, или Спасителя. А этот государь умер в 283 году до Р.Х.

Арабские историки повествуют, что Эвклид родился в Сирии, в городе Тире, и что его отец Навкрат был грек и переехал в Тир из Дамаска.

В Истории математики Жана Монтукля придает значение этому свидетельству. Арабские историки, как и всякие, правда, часто впадали в ошибки; но следует ли из этого, что они всегда ошибались? Нет ничего невероятного в их известиях о семействе Эвклида. Не желая вдаваться в исследование об эллинской расе, заметим только, что в то время, о котором идет речь, множество греческих семейств жили уже целые столетия в Малой Азии.

Потомок одной из этих греческих фамилий, Эвклид, без сомнения, был в юности послан в Афины для изучения математики. Мы считаем такое предположение основательным потому, что известно, что Эвклид жил в Греции и считался там за искусного математика; и потому, что будучи греческого происхождения, он, кажется, считался там за иностранца. Почему не держаться рассказа арабских историков, если против них нет ни одного факта? Школа Платона образовывала в Афинах первоклассные таланты. Там ревностно занимались математикой. Слава Академии и Лицея была распространена за пределами Греции, повсюду, куда только ездили греки. Поэтому многие иностранцы, конечно, посылали своих детей в Афины для изучения оснований искусств и наук. Отец Эвклида, поселенец Малой Азии, тем более должен был следовать этому примеру, что сам, без сомнения, был греческого происхождения.

Мы предлагаем только догадку, но она основывается на серьезном соображении, то есть на мнении арабских историков, которые, живя ближе ко времени Эвклида, могли лучше нас знать об этом вопросе не только из существовавших еще тогда преданий, но также из древних писателей, которых сочинения до нас не дошли.

В то время в Египте был царь-основатель славной династии – Птоломей Сотер. Мы не станем рассказывать истории царствования этого государя, друга наук, словесности и искусств. Достаточно заметить, что этот просвещенный монарх задумал и привел в исполнение мысль – вывести науки на свет из тайных святилищ египетских храмов. Птоломей Сотер желал учредить у себя ученую и философскую школу, которая стала бы достойной соперницей европейских школ Платона и Пифагора. По его повелению, на противоположном Греции берегу была воздвигнута академия, ставшая бессмертной под именем Александрийской школы.

Птоломей Сотер пригласил Эвклида в Александрию для занятия важного поста; дело шло об образовании высшей академии и общем устройстве преподавания в новой школе.

Вероятно, Эвклид был уже известен некоторыми важными трудами по геометрии, когда был приглашен в образовывавшуюся александрийскую академию. Если бы сохранились архивы александрийского музея, то в них нашлась бы большая часть необходимых для жизнеописания Эвклида сведений. Мы знали бы, откуда был призван он египетским государем, как установилась его известность и скольких лет он оставил Грецию, чтоб отправиться в Александрию.

Мы принимаем вместе с Монтукля[95], единственно на основании догадок, что Эвклид учился в Афинах, у учеников Платона.

Основываясь на обычаях, установившихся при общественном обучении в Афинах, мы предполагаем также, что, окончив свое учение, он давал публично уроки и, поощренный своими первыми успехами и постоянно возраставшим числом учеников, решился вполне предаться преподаванию математики.

Его Начала геометрии доказывают, что Эвклид глубоко обдумал методы изложения.

«В принятый им для геометрии метод, – говорит Монтукля, – он внес ту связность в изложение, которой так удивляются любители геометрической строгости и которая такова, что нет ни одной теоремы, которая не находилась бы в необходимой связи с предыдущей и последующей».

В продолжение своей наставнической деятельности Эвклид, конечно, испытал достоинства этого метода долгим опытом; преподавая, он улучшал его. Чтобы написать хорошую книгу для начального обучения, недостаточно знания фактов и научных теорий; необходимо, чтобы придуманные методы и способы были признаны действительными многолетней учительской практикой, чтобы они были приложены ко многим ученикам, различным по способностям и понятливости. Строгий метод, которому удивляются в книге Эвклида, доказывает, по нашему мнению, что автор долго преподавал науки, о которых написал образцовое сочинение, возбуждавшее удивление древних и новых.

Чем больше мы вдумываемся в метод, которому Эвклид следовал в своих Началах арифметики и геометрии, тем вероятнее кажется нам предположение, что автор преподавал математику или в Афинах, или в каком другом греческом городе, когда ему были сделаны соблазнительные предложения от имени царя Птоломея. Вероятно, он тогда стал склоняться к старости. Его известность, вероятно, росла медленно; он стал известен не столько своими сочинениями, сколько своим преподаванием. Это преподавание было слишком специально, чтоб прославить его. Но в Древней Греции на математику смотрели как на один из основных элементов образования. Она считалась основой философии. Ответ, данный философом Ксенократом молодому человеку, который осмелился прийти слушать его, не зная совершенно геометрии, стал пословицей в школах:

«Удались, – сказал он ему, – ибо тебе недостает точки опоры и средств, необходимых, чтобы возвыситься до философии».

Папп изображает Эвклида человеком мягким, скромным, приветливым, не упускающим случая поощрить хвалой молодых людей, любящих учение, чувствовавшим особую любовь к тем, кого считал способными споспешествовать успехам математики[96].

Папирус из Оксиринха 29 с фрагментом «Начал» Эвклида. III–IV вв. н. э.

Эвклид был самым лестным образом принят при дворе Птоломея и в музее. Уже был обдуман и изготовлен план обширной системы преподавания. Оставалось распределить между учеными и наставниками академии различные части элементарного обучения, которое должно было служить основой. Требовалось также заняться составлением начальных руководств по грамматике, музыке, астрономии, арифметике, геометрии и т. д.

При этом на долю Эвклида пришлось писать арифметику и геометрию. Птоломей просил его в особенности изложить предмет возможно ясно, просто и точно.

Окончив работу, Эвклид представил ее царю. Птоломей, привыкший насколько возможно лично ознакомляться со всем, предполагал прочесть сочинение Эвклида, как произведение чисто литературное. Не зная математики, Птоломей не подозревал, что, для того чтоб понять самый простой геометрический учебник, необходимы предварительное приготовление, не долгое и не трудное, но требующее большого внимания. Во-первых, следует вполне усвоить первичные определения, запомнить точный смысл каждого технического выражения и замечать, как теоремы родятся одна из другой, как они между собою связываются таким образом, что каждая существует и доказывается или на основании предыдущей или на основании первичных определений. Все геометрическое искусство, так сказать, заключается в нескольких страницах. Вот почему следует обращать внимание на начало; остальное есть только развитие, за которым скоро привыкнешь следить без усилий и утомления.

Все это простые и общеизвестные истины. Но египетский государь даже не подозревал этого. Поэтому он сильно удивился, что не мог понять сразу и при быстром чтении сочинение Эвклида.

«Нет ли какого менее тернистого пути, чтоб изучить геометрию?» – спросил он Эвклида.

«Нет, государь, – отвечал Эвклид, – в математике нет особых путей для царей».

Эвклидовы Начала были приняты в александрийском музее; по ним преподавалась математика. Но вероятно, что Эвклид не ограничивался при устном преподавании предметами, заключающимися в этом сочинении. В самом деле, оно назначено для того только, чтобы ознакомить учеников с началами, на коих тогда основывались философия и теория искусств. Она написана для начинающих. Различные содержащиеся в нем теоремы были известны с незапамятных времен. Быть может, автору принадлежит только метод связного изложения. Математические сведения были тогда обширнее изложенных в Началах Эвклида.

Эвклид написал другое математическое сочинение, под заглавием Данные. Вероятно, преподавая в музее, он излагал содержание своих Данных, которые, по Монтукля, составляют продолжение Начал и первый шаг к высшей геометрии.

Эвклид, вероятно, читал также о Конических сечениях. Известно, что существовало его сочинение об этом предмете в четырех книгах, составленное по Аристею, геометру, жившему за век до него. Эти четыре книги, может быть, были изложением уроков, которые преподавал Эвклид в Александрии.

Три книги de Porismatibus, которые Монтукля считает за глубочайшее из сочинений Эвклида, также составляли часть курса математики в музее. Ниже мы увидим, что современный ученый геометр, Шаль, член института, восстановил это сочинение, основываясь на Леммах Паппа.

Вероятно, при устном изложении Эвклид на примерах показывал различные приложения чистой математики и что затем эти примеры, распределенные по отдельным специальностям, послужили предметом различных сочинений. Так книга De Divisionibus, на которую ссылается Прокл, заключала геодезию; книга De Phoenomenis заключала геометрические доказательства относительно восхода и заката звезд; книга под заглавием Іsagoge, seu Introductio musica содержала все математические начала музыкальной теории; книга, озаглавленная Specularia et perspectiva, содержала начала оптики и перспективы, о которых, по Проклу и Феону, Эвклид писал. Ошибки и неточности этой книги, по Монтукля, доказывают, что это не сочинение самого Эвклида, а только, может быть, записки незнающего ученика, дурно понявшего своего наставника.

Мы не знаем, расширил ли Эвклид каким-нибудь открытием область математических наук. Для этого необходимо бы иметь все существовавшие до него сочинения, а от них едва остались отрывки, приводимые позднейшими писателями.

В различных сочинениях, заглавия которых приведены нами, Эвклиду принадлежат метод, точность, математическая строгость. Зная, какое огромное влияние оказывает на развитие человеческих знаний употребление хорошего метода, мы поймем, что с этой точки зрения достоинство Эвклида огромно.

Как бы любопытно было точно знать все, что делалось в знаменитой Александрийской школе. Желательно было бы знать ее внутреннее устройство, устав музея, сколько часов в неделю или месяц каждый наставник обязан был учить; были ли курсы открыты для всех, или, чтоб быть принятым в число учеников, следовало подвергнуться испытанию и т. д. Древние писатели ничего не говорят об этом.

Не осталось ни статуи, ни медали с изображением Эвклида. Мы не знаем также, когда, где и скольких лет умер этот ученый. Все древние писатели, говорящие о Эвклиде, умалчивают о его личности.

Огромное число, свойство и обширность его сочинений заставляют полагать, что он долго жил и работал даже стариком. Мы полагаем, что он умер в Александрии, которая стала для него вторым отечеством. Невероятно, чтобы он возвратился на родину, где у него остались только дальние родственники.

Сочинения, в которых находились подробности относительно Эвклида, Аполлония и других знаменитостей Александрийской школы, пропали или во время вторжений арабов в Египет, или во время Крестовых походов. Крестоносцы, надо сказать правду, были менее образованны, чем тогдашние восточные народы. Они, овладевая городами, разрушили несколько библиотек. Лейбниц доказал, что самое мрачное для словесности и наук время, когда уничтожено наибольшее количество книг, – двенадцатый и тринадцатый века, то есть блестящий период Крестовых походов.

Изложив жизнеописание Эвклида, рассмотрим вкратце его сочинение и несколько подробнее скажем о тех, которых привели только заглавия. Но предварительно скажем несколько слов о том, в каком состоянии была наука до Эвклида.

Математические науки сделали великие успехи у платоников; известно, что сам Платон был глубокий геометр. Ему приписывают несколько открытий. Говорят, что он первый ввел теорию конических сечений в преподавание математики. Аристей, Евдокс, Менедем, Динострат и некоторые другие из его учеников развили эту новую отрасль геометрии.

Время от времени, по мере новых успехов науки, являлись особенные трактаты, в которых известные уже теореемы располагались и излагались в методическом порядке. До Эвклида существовало, без сомнения, несколько таких сочинений; но Начала геометрии и арифметики заставили позабыть о всех других. В самом деле, ни одно математическое начальное сочинение не имело такого успеха. В продолжение веков Эвклидовы Начала были переводимы и объясняемы на всех языках, по ним учили во всех школах.

«Эвклид прославился, – говорит Монтукля, – особенно своими Началами. Он собрал в этом сочинении, до сих пор лучшем в этом роде, начальные геометрические истины, открытые до него. Он ввел эту связность, столь восхищающую любителей геометрической строгости, и которая такова, что нет ни одной теоремы, которая не находилась бы в необходимой связи с предыдущей или последующей. Тщетно разные геометры, которым не нравился распорядок Эвклида, старались преобразовать его, не уменьшая силы доказательств. Их бесплодные усилия показали, как трудно связному изложению древнего геометра противопоставить столь же твердое и прочное. Таково было мнение славного Лейбница, авторитет которого должен иметь в подобном деле огромный вес»[97].

Это мнение Монтукля о порядке и связности, принятых Эвклидом, разделяется многими даже из первостепенных геометров. Ньютон говорил: «Если бы у меня был сын, которого я желал бы сделать искусным геометром, я начал бы учить его по Эвклидовым Началам». Англичане остались верны этому суждению.

Однако совершенно противоположное мнение о том же предмете образовалось во Франции и других местах. Оно было выражено следующим образом знаменитым геометром Лакруа:

«Конечно, – говорил Лакруа, – основа всех начальных руководств геометрии находится в Эвклиде, и остается тою же, в какой бы форме ее не излагали. Но, почерпая материалы в Эвклиде, новейшие геометры часто изменяли порядок и последовательность теорем. Началам Эвклида поистине недостает того порядка, который, порождая, насколько возможно, одну теорему из другой, делает очевидными связующие их аналогии, облегчает память и приучает ум к отысканию истины»[98].

Правда, много раз старались доказать, что порядок и последователыюсть теорем у Эвклида не из лучших. Но легко опровергнуть эту критику. У древних умы вырабатывались для науки иным путем, чем у нас. Вследствие совокупности обстоятельств, зависевших от учреждений и нравов, их способ чувствовать и понимать не мог быть тождественным с нашим. Те же мысли и те же отношения должны были представляться уму древних в порядке, не тождественным с признаваемым нами за лучший. Различия в этом случае соответствуют различиям языков и объясняются теми же причинами. Ньютон, будучи великим геометром, находил у Архимеда места, казавшиеся ему трудноватыми; между тем Плутарх, бывший простым моралистом-литератором, но получивший образование по методам древних и не бывший поэтому невеждой ни в одном из предметов общественного обучения, находил Архимеда необычайно ясным и удобопонятным.

Весьма естественно, что в математических науках мы свои методы предпочитаем греческим. Но было бы великой ошибкой легкомысленно осуждать труды древних. Большая часть их сочинений должны быть для нас прекрасными образцами, вполне годными для поддержания и возвращения человеческого ума на путь всего прекрасного и истинного, на путь, от коего он беспрерывно стремится уклониться.

Возвратимся к Эвклиду. Вероятно, что при сочинении своих Начал он пересмотрел все геометрические основания. Он мог прибавить несколько новых положений и ввести некоторые еще неизвестные формы доказательств. Но суть науки существовала с незапамятных времен у всех образованных народов. Если Эвклид превзошел и заставил забыть о своих предшественников, то единственно строгостью доказательств, ясностью изложения, словом, превосходством своего метода.

«Некоторые геометры, – говорит Пейрар, – ученый издатель Эвклида, думали, что часть начал, относящихся к кругу и круглым телам, неполна; это ошибка. Все, не находящееся у Эвклида, не может быть доказано иначе как при помощи трех начал, положенных Архимедом и которых Эвклид не принимал»[99].

Начала Эвклида относятся к арифметике и геометрии. Они состоят из тринадцати книг, к которым впоследствии Ипсиклес, геометр Александрийской школы, прибавил еще две. Четыре первые и шестая излагают геометрию на плоскости, пятая – теорию пропорций, седьмая, восьмая и девятая – арифметику, десятая – несоизмеримые величины, одиннадцатая и двенадцатая – стереометрию, тринадцатая, четырнадцатая и пятнадцатая – правильные тела.

«Правильные тела, – говорит Прокл, – составляли главную часть Начал Эвклида. Их изучали с великим прилежанием в пифагорейских школах, и весьма вероятно, что они находились в связи с каким-нибудь существенным основанием тайного учения».

Новейшие с чрезвычайным легкомыслием судили о пифагорейской науке. Однако не невозможно, что в пифагорейском учении отношения, пропорции, числовые комбинации и начала геометрии прилагались, как у нас со времен Кеплера, Декарта и Ньютона, к точному определению общих законов, управляющих физическим миром. Геометрическое изучение правильных тел, например то, на котором так настаивал Эвклид, могло прилагаться к кристаллизации. В теперешней химии кристаллические формы считаются одним из главных отличительных свойств, служащих для различения тел между собою. Таким образом, изучение геометрических форм, считавшееся столь важным в древних школах, прилагалось, может быть, к различным формам, которые принимают в частичной группировке тела, естественным образом переходящие из жидкого состояния в твердое.

«Между книгами Эвклида, – говорит Монтукля, – изучение восьми положительно необходимо, а именно первых шести, десятой и одиннадцатой; они то же относительно остальной геометрии, что знание азбуки – относительно чтения и письма. Другие книги считаются менее полезными, с тех пор как арифметика изменилась, и теории несоизмеримых и правильных тел не возбуждают уже внимания геометров».

В Началах Эвклида седьмая, восьмая и девятая книги излагают арифметику, не арифметику в обычном смысле, но науку, разъясняющую относительные свойства чисел, свойства, которые необходимо знать во множестве исследований.

В десятой книге находится весьма глубокая теория неизмеримых количеств. Две однородные величины называются несоизмеримыми, когда нет единицы, которую можно бы принять за их общую меру, и когда, следовательно, невозможно выразить точным образом их отношение в числах. Например, диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, ибо, если сторону разделить на равные части, то каждая из этих частей, заключаясь точное число раз в стороне, может служить для ее измерения; но ни одна из точных частей стороны не содержится точным образом в диагонали, и обратно, так что совершенно невозможно найти два числа, которых отношение было бы совершенно то же, как отношение стороны четырехугольника к диагонали. Так точно в круге отношение диаметра к окружности, развернутой в прямую линию, не может быть строго выражено в числах. По причине этой-то несоразмерности нельзя получить истинной квадратуры круга, то есть квадрата, который был бы строго равен поверхности круга; это, впрочем, неважно на практике, ибо всегда можно получить желаемое приближение.

Эвклид в ста десяти теоремах рассматривает различные виды и порядки несоизмеримости. Поэтому можно предположить, что уже огромные работы этого рода были сделаны раньше его. Его доказательство несоизмеримости стороны квадрата с диагональю считается весьма остроумным. Эвклид доказывает, что в квадрате число, выражающее точное отношение стороны к диагонали, должно бы быть одновременно четным и нечетным, – вещь очевидно невозможная.

Ничто не способно дать такое точное понятие о разности, существующей между нашим и древним способом рассуждения, как математика. Любопытно и поучительно видеть, до какой степени могут различаться пути, ведущие к тем же истинам.

Теория правильных тел в тринадцатой книге – простой набросок. Но в четырнадцатой и пятнадцатой, приписываемых Ипсиклесу Александрийскому, она развита полнее.

Известнейшее после Начал сочинение Эвклида – Данные. Под этим именем разумеются количества известные, которые, находясь с другими в неизвестных, но определенных отношениях, могут привести при помощи аналитических рассуждений к отысканию количеств неизвестных. Пример: дан радиус круга, вычислить приблизительно окружность этого круга, его поверхность, а равно поверхность и объем шара, описываемого кругом при вращении его вокруг диаметра, как оси.

В Данных около ста теорем, которые можно рассматривать как таковое же число любопытных примеров геометрического анализа древних. Ньютон весьма ценил это сочинение, и Монтукля считает его за первые шаги высшей геометрии.

Кроме этих двух сочинений, Эвклид написал много других, большая часть которых потеряна или не существует в греческом подлиннике. Дошли до нас Разделение гармонической лествицы (скàлы), или трактат О музыке; небесные явления, или Оптика, Катоптрика. Не дошли до нас ни книга О делениях, ни четыре книги О конических сечениях, ни две книги О плоских местах, ни две книги О перспективе, ни трактат О вероятностях.

Трактат О поризмах также потерян, но в наше время, как уже упомянуто, Шаль восстановил это сочинение на основании заметки и Лемм Паппа.

Сочинение, в котором Шаль восстановил потерянный трактат Эвклида, называется Les trois livres des Porismes d'Euclide, rétablis pour la première fois, d'après la notice et les Lemmes de Pappus, et conformément au sentiment de R. Simson sur la forme de énoncés des ces propositions[100] (Три книги Эвклидовых Поризмов, восстановленные впервые на основании заметки и Лемм Паппа, и согласно с мнением Р. Симсона насчет формы выражения этих теорем.)

Мы заимствуем из этой замечательной книги все нижеследующее О поризмах.

«Между сочинениями греческих математиков, не дошедшими до нас, ни одно, – говорит Шаль, – не возбуждало стольких сожалений и любопытства геометров последних веков, как Эвклидов трактат О поризмах».

Это сочинение известно нам только по коротенькой заметке о нем в Папповых Математических сборниках и весьма краткому упоминанию Прокла в его Комментарии на первую книгу Эвклидовых Начал.

Папп, александрийский математик, жил в конце четвертого века нашей эры, стало быть, шестьсот или семьсот лет после Эвклида; но в то время еще существовали все сочинения великого геометра. Папп, под заглавием «Математические сборники», написал сочинение в четырех книгах, из коих, по несчастью, две первые уже не существуют. В этом сочинении он рассказывает о различных изысканиях древних во всех частях геометрии, о механике и т. п.

Заметка Паппа содержит два определения особого рода теорем, названных Эвклидом поризмами, и до тридцати предложений, к ним относящихся; но, прибавляет г. Шаль, все это – в темных и сжатых выражениях, смысл которых напрасно старались проникнуть геометры разных времен, начиная со времени Возрождения.

Р. Симсон в своем Трактате о поризмах (составленном на основании заметки Паппа) делает следующее определение: Поризм есть теорема, в которой отыскивается предполагаемая вещь.

Данные могут быть величины или количества, линии или числа, или же положение линии, рассматриваемой как геометрическое место; или же еще положение точки, через которую проходит бесчисленное множество линий, рассматриваемых как переменные, или же, наконец, положение кривой, к которой все эти прямые – касательные.

Окружность круга есть место бесконечного числа точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром; эллиптическая кривая есть место бесконечного ряда точек, таких, что сумма расстояния каждой из них от двух неподвижных точек, называемых фокусами, равна постоянной прямой, называемой главной осью; парабола есть место бесчисленного множества таких точек, что каждая из них равно удалена от неподвижной точки, называемой фокусом, и от прямой определенного положения, называемой направляющей, и т. д.

Папп говорит, что места суть поризмы. Относительно мест нет никакого сомнения, ибо форма их изложения вполне известна из многочисленных теорем о плоских местах Аполлония Пергейского, переданных нам Паппом. Этим Папп дал средство поверить предыдущее определение поризмов и до некоторой степени определить природу ста семнадцати теорем, составлявших три книги Эвклидовых Поризмов.

По Паппу, поризмы относительно формы ни теоремы, ни задачи, а среднее между ними. Отсюда заключили, что у Эвклида предложения, называемые поризмами, должны одновременно представлять природу теорем и задач. Поризмы, как определил. их Симсон, удовлетворяют этому условию. Места суть, стало быть, поризмы, как положительно говорит Папп.

Эвклид одним и тем же словом πορισμα (поризмы) обозначает и следствия из начал и теоремы своих трех книг О поризмах. Это повело, говорит Шаль, к естественному сближению между поризмами и следствиями. Следствия суть теоремы, которые непосредственно выводятся или из приложения теоремы, или из известного места доказательства этой теоремы, или из рассуждения, которое приводит к разрешению задачи; и можно сказать вообще, что следствия суть теоремы, отличающиеся от тех, из коих они выведены, но которые в сущности воспроизводят их в другой форме, как можно видеть в Началах. Поризмы происходят из известных уже теорем, которых форма изменена. Поризмы или следствия есть, как говорит Прокл, некоторого рода полезная прибыль, получаемая мимоходом.

Три книги Поризмов, восстановленные Шалем, относятся к планиметрии. Это задачи, которые могут быть предложены, ради упражнения, в курсе геометрии. Они относятся только к прямой линии и кругу. Вот два, взятых наудачу, поризма:

1) даны три прямые, проходящие через одну и ту же точку; если вокруг двух определенных неподвижных точек вращать две прямые, которые пересекаются с одной из трех первых и встречают две другие, каждую в определенной точке, то прямая, соединяющая эти две последние точки, проходит через некоторую данную точку;

2) при данных двух кругах и двух точках на их окружностях можно найти такую точку, что прямые, проведенные от этой точки к двум данным на окружности точкам, послужат к образованию данного треугольника.

Мы принуждены были слегка изменить изложение этих поризмов, не имея возможности привести относящихся к ним чертежей. Но их достаточно и в этом виде, чтоб получить понятие о роде теорем, заключающихся в Поризмах Эвклида, восстановленных Шалем, ученым профессором Сорбонны.

Да извинят нас за эти математические отступления. Как, говоря о Эвклиде, миновать геометрические термины? Что до поризмов в частности, то необходимо было дать понятие об этого рода теоремах, которые столь славились и которыми занимались многие первостепенные геометры, не могшие определить ни их цели, ни основания, пока Шаль не разъяснил этого вопроса.