Архимед обыкновенно считается знаменитейшим математиком древности, потому что приложил геометрические и математические знания к постройке большого числа машин и снарядов, употребленных в войне, о которой упоминается во всеобщей истории. Но делать из него искусного механика – значит не понимать этого ученого. Архимед был одним из творцов математических наук в древности. В геометрии он сделал великие открытия; а физику обогатил новыми фактами и важными законами. Например, гидростатика основана его опытными изысканиями.

«Кто в силах понять Архимеда, – говорил Лейбниц, – тот будет меньше удивляться величайшим открытиям новейших людей».

Архимед был царского рода и родился в Сиракузах в 287 г. до Р.Х. Он был родственником сицилийского царя Гиерона. Он, впрочем, не занимал никакой общественной должности; по крайней мере об этом не говорит ни один писатель. Ничего не известно ни о юности, ни о воспитании Архимеда, кроме того, что он молодым уехал в Египет и долго там оставался.

Архимед. Гравюра XVIII в.

Отправляясь туда, Архимед уже имел глубокие познания в математике. В этом нельзя сомневаться, судя по предпринятым им в Египте работам и помощи, оказанной им туземной промышленности. Кажется, он управлял постройкой новых плотин и гатей против разливов Нила. Нил издавна угрожал насыпям, на которых были построены города и местечки. Архимед укрепил почву при помощи новых плотин, которые своей твердостью и очертанием противополагали достаточное сопротивление давлению воды. Различные построенные им мосты послужили позже для установления сообщений между населенными центрами во время разливов Нила.

Большая часть авторов, писавших об этом философе, приписывают ему изобретение механического снаряда, известного ныне под именем архимедова винта, и полагают, что он был придуман им ради производства осушения земель, затопленных Нилом. Приложение винта к поднятию воды было известно гораздо раньше Архимеда. Этот снаряд, получивший столь разнообразные применения в наше время, напр. к движению пароходов, служил египтянам для осушки болот, образовавшихся вследствие разливов Нила. Очень вероятно, что Архимед застал огромное количество этих снарядов в действии вдоль речных берегов и, только усовершенствовав механизм, облегчил приведение его в действие и увеличил его приложения. Итак, он не изобрел, но только усовершенствовал приложение этого удивительного снаряда к поднятию жидкостей.

Архимед жил в Александрии и был дружен с геометром-астрономом Кононом и ученым Досифеем.

После долгого житья в Египте Архимед воротился в Сиракузы и поселился при дворе Гиерона, своего родственника и друга, глубоко уважавшего его таланты и предлагавшего ему все выгоды, каких только может желать честолюбие. Но наука была единственным удовольствием, единственной страстью нашего философа. Чтобы понять, до какой степени Архимед был поглощен мыслью о работе, приведем слова Плутарха.

«Архимед жил, – говорит Плутарх, – очарованный какой-то домашней сиреной, его неразлучной подругой, забывая есть и пить и не заботясь о своем теле. Часто, когда его насильно уводили в баню, он чертил на золе очага геометрические фигуры; когда ему натирали тело маслом, он чертил на теле линии пальцем, постоянно преданный одной сильной страсти и будучи вполне во власти муз».

Наградой за необычайное постоянство, с каким он предавался изучению природы, были первостепенные открытия.

Механические приложения особенно занимали Архимеда. Он построил множество приборов, при помощи коих, благодаря употреблению рычагов и составных блоков, он до чрезвычайности увеличивал силу двигателя и при помощи малой силы побеждал великие препятствия.

Вполне уверенный в справедливости своих мыслей и для показания наглядным образом всех средств механики, Архимед сказал однажды царю Гиерону, что почти незначительной силой он может поднять такую тяжесть, какую только можно вообразить.

«Если б была другая земля, – сказал он царю, – и я мог бы перенестись туда, то при помощи простого рычага я поднял бы нашу землю».

Чрезвычайно удивленный этими словами, царь просил доказать справедливость их на деле. Он просил показать ему, как огромный груз можно привести в движение малой силой.

Архимед принял вызов. У царя в сиракузском порту были галеры, подымавшие огромный груз. Торговые сношения с Карфагеном сильно развили сицилийский торговый флот. Архимед выбрал самую огромную из галер. Он приказал втащить ее на берег, что и было исполнено ручной работой; затем он приказал обычно нагрузить ее и поместить в ней столько народу, сколько уместится. Затем, сидя в некотором расстоянии от этой страшной груды, он, без усилия действуя рукою «на машину со множеством блоков», установленную на берегу, притянул к себе галеру, которая скользила беспрепятственно и легко, словом, шла по морю.

Наглядное доказательство было представлено. Сиракузцы с этих пор не сомневались уже в учености царского друга.

Архимед с помощью машины вытаскивает на берег галеру. Гравюра XIX в.

Архимед сделал в гидростатике важные открытия. Он открыл законы равновесия тел, погруженных в жидкость. Всем известно, что им открыт тот факт, что тело, погруженное в жидкость, настолько теряет в весе, сколько весит вытесненная им жидкость.

На этот счет есть предание. Мы не можем не привести его, хотя считаем его смешной сказкой, выдуманной легкомысленными людьми, которые имеют ложное понятие насчет обыкновенных способов ученых исследований. Как бы там ни было, вот как рассказывают об открытии Архимедом закона равновесия погруженных в жидкость тел.

Сицилийский царь дал золотых дел мастеру известное количество золота, чтоб он сделал из него корону. Мастер часть золота заменил того же веса количеством серебра и таким образом сделал корону не из чистого золота, а из сплава золота и серебра. Гиерон стал подозревать обман. Но, не желая портить искусно сделанной короны, он предложил физикам и геометрам следующую задачу: «Не плавя и не изменяя иным образом короны, узнать, сделана ли она из чистого золота, или из сплава золота и серебра. И если это сплав, то определить, в каких отношениях находится в нем золото и серебро».

Для такого физика, как Архимед, эта задача не представляла никакой трудности. Приложение вышесказанного закона давало требуемое решение. Взвесив последовательно корону в воздухе и воде, он узнал, что, погруженная в воду, она теряла в весе количество, не соответствующее чистому золоту, но известному сплаву золота и серебра.

Рассказывают, что решение этой задачи привело Архимеда в такой восторг, что, находясь в минуту решения в бане, он вскочил и, поглощенный мыслью, побежал нагой по городу, крича: «Эврика! Эврика! Нашел! Нашел!» Мы не задумываясь отвергнем подлинность этого факта. Архимеду было за обычай решать трудные и любопытные задачи. Если б он питал к своим открытиям то чрезмерное чувство удивления, какое выставляет этот рассказ, то, конечно, не преминул бы обнародовать (а он этого не сделал) описание тех чудодейственных машин, о которых с таким восторгом говорят Плутарх и многие другие писатели. Эта чрезвычайная скромность не ладит с смешным поступком, приписываемым ему.

Вот что могло, по-нашему, быть основанием этой сказки. Великий сиракузский геометр, постоянно погруженный в свои работы, как явствует из приведенной выше выписки из Плутарха, часто подвергался рассеянности. Без сомнения, не раз случалось ему выходить из бани полуодетым. В день, когда решение предложенной Гиероном задачи ясно представилось его уму, он, вероятно, поспешил домой из бани и вышел не вполне одетый. Может быть, он даже громко, но про себя приговаривал: Нашел! Но отсюда до приписываемого ему безумного поступка еще далеко, и этот рассказ должен быть изгнан из будущих жизнеописаний Архимеда.

Через такой промежуток времени трудно добиться правды насчет его первых работ. В особенности невозможно определить порядка, в котором он производил свои открытия или писал свои сочинения.

Но такой неточности не существует по отношению к различным и многочисленным машинам, построенным Архимедом ради защиты родного города против осаждавших римлян. Древние историки тщательно описали военные действия и внешние происшествия, но в то время никто не думал писать историю наук.

Таковы люди. Они любят только блеск и шум и мало любопытствуют знать, что происходит в уединенном кабинете ученого. Ни один римский писатель ни строчки не написал о чисто научных открытиях Архимеда, между тем как Плутарх, Полибий и Тит Ливий оставили довольно подробное описание осады Сиракуз римским консулом Марцеллом и упоминают о военных машинах, построенных Архимедом. Но, не зная физических наук, они говорят о машинах очень темно и неудовлетворительно, так что нельзя хорошенько понять их устройство и расположение частей.

Но все-таки хорошо и то, что можно привести слова этих историков относительно машин, изобретенных Архимедом во время осады и блокады Сиракуз. Мы приведем выписку из Плутарха.

Архимед бежит по улицам Сиракуз, крича «Эврика!». Гравюра XVIII в.

Но сперва скажем о происшествиях, предшествовавших нападению римлян.

По смерти царя Гиерона Сиракузами мирно правил его внук. Когда и внук умер, воевода сицилийского войска, по имени Гиппократ, вздумал захватить верховную власть. Он надеялся взойти на престол, получив помощь Карфагена. Чтобы услужить и удружить карфагенянам, он решился на страшное дело: приказал умертвить всех римлян, находившихся в окрестностях города Леонтиума.

Неизвестно, как посмотрели в Карфагене на это страшное дело, но в Риме все закричали о мщении. Рим поклялся разрушить Сиракузы. Аппий и консул Марцелл были посланы с войском в Сицилию. Леонтиум был скоро взят и разрушен.

Гиппократ бежал в Сиракузы, и этот город был осажден с берега и с моря. Аппий осадил Сиракузы с берега и устроил свой стан недалеко от городских укреплений, между тем как Марцелл стал с шестидесятью пятью галерами вокруг порта. Галеры были самые сильные во всем римском флоте, весла шли в пять рядов. Далее, он построил огромную осадную машину, чтобы со стороны порта разбивать городские стены. То был огромный таран, установленный на восьми крепко связанных судах.

Распоряжения римского консула были столь хороши и средства нападения столь огромны, что никто не сомневался в скором разрушении осажденного города. Но при этом не принимали в расчет Архимеда.

Механические снаряды, придуманные Архимедом в юности, были для него просто развлечением, или, как говорит Плутарх, просто геометрическими игрушками, которыми он занимался в минуты отдыха и по настоянию царя Гиерона. Теперь дело было нешуточное: приходилось защищать отечество.

Архимед принялся изобретать, и Плутарх рассказывает, каким образом сиракузяне могли в продолжение трех лет противостать нападениям римлян благодаря машинам, придуманным и управляемым Архимедом.

«Марцелл, – говорит Плутарх, – произвел нападение с моря и с берега. Сухопутной силой начальствовал Аппий, а он сам подвигался во главе шестидесяти галер, с пятью рядами весел, снабженных стрелами и всякого рода оружием; наконец, восемь связанных судов образовали обширный и крепкий помост, на котором возвышалась стенобитная машина. Так он направлялся к городу, надеясь на свои огромные и сильные средства, а также на свою славу. Но Архимед нимало не устрашился на это, и все это было ничем в сравнении с архимедовыми машинами.

При виде двойного нападения римлян Сиракузы онемели от ужаса; им нечего было противопоставить таким силам, такому могущественному войску. Но Архимед пустил в ход свои машины. Тотчас сухопутное войско было осыпано градом всевозможных стрел, огромных камней, брошенных с невероятной стремительностью и быстротой; никто не мог противостоять их удару; они повергали ниц всех, до кого долетали, и произвели беспорядок в рядах. Что касается судов, то с вершины стен бросались бревна, которые обрушались на галеры и своей тяжестью и приданной им скоростью топили суда; иногда же суда подымались железными руками или журавлями на воздух, носом кверху и кормою вниз, и таким образом топились в волнах; или же, вследствие возвратного движения, суда перевертывались и затем разбивались о подводные камни и острия скал, окружавшие основание стен; большая часть находившихся на судах погибали при этом. Ежеминутно какое-нибудь судно подымалось над морем – страшно было глядеть! Судно висело в воздухе, качаясь из стороны в сторону; люди падали с палуб и летели, точно брошенные пращой; пустые суда или разбивались о стены, или же, когда спускались с крюка, шли ко дну. Машина, которую Марцелл устроил на судах, называлась самбук, потому что походила на этот музыкальный инструмент[88]. Когда она подходила к стене и была еще далеко, Архимед пустил в нее камень в десять талантов весом[89], потом другой такой же, и следом третий; камни, с страшным шумом и бурной стремительностью падая на машину, разбили ее основание и, потрясая помост, расщепили его. Марцелл, не зная, что делать, быстро удалился и приказал бить отбой сухопутному войску. Стали держать совет; было решено испробовать, нельзя ли ночью подойти к стенам. Думали, что тетивы, употребленные Архимедом, били с такой силой, что стрелы будут перелетать через головы и что вблизи стен от них безопасно. Но, кажется, Архимед предпринял давно меры против этого; он устроил машины так, что снаряды пускались ими на различные расстояния, и стрелы летали почти беспрерывно. В стенах было проделано множество близких друг к другу отверстий, снабженных средней силы скорпионами, которые били вблизи и были невидимы неприятелю.

Подойдя к стене, римляне почитали себя вне опасности; но тут-то они очутились мишенью для тысячи стрел, для тысячи ударов; камни сверху падали им на голову, и изо всех точек стены летели на них стрелы. Они отступили; но, будучи на некотором расстоянии, очутились под стрелами с более далеким полетом и отступали под их ударами; они потеряли множество народа; их суда с страшной силой сталкивались друг с другом, и они не могли причинить врагу ни малейшего вреда с этой стороны. Архимед расположил большинство машин позади за стенами, и казалось, невидимая рука истребляла римлян, точно приходилось биться с богами.

Марцелл, однако, спасся и, смеясь над своими работниками и инженерами, он сказал: «Не перестать ли воевать с этим геометром, который принимает наши суда за сосуды для черпанья морской воды, который страшно расстроил и сбил самбук и превосходит сторуких мифологических исполинов, пуская в нас столько стрел сразу?» В самом деле, все сиракузяне были телом, а Архимед – только душою; он пускал в ход и двигал всеми машинами; только одни его орудия употреблялись как для нападения, так и для защиты. Наконец, римляне до того оробели, что, только увидят, бывало, над стеной кусок веревки или бревна, тотчас оборачивали тыл и пускались бежать с криками: «Опять Архимед против нас выдумал какую-нибудь машину!» Видя это, Марцелл отказался от битв и приступов и решился изменить осаду в блокаду».

Блокада длилась довольно времени, когда по поводу одного пленника открылись переговоры между Марцеллом и сиракузскими вождями. Во время этих переговоров Марцелл заметил, что одну башню охраняют небрежно и что в этом месте легко взлезть на стену. Он приказал потихоньку подставить лестницы. Солдаты, незамеченные, взобрались на башню. Они разбили ворота и заняли ближние места.

В это время сиракузяне, считая себя в полной безопасности, праздновали в честь Дианы. Ночь проходила в пирах и удовольствиях. Никто не знал об опасности, грозившей городу. Поэтому все были поражены ужасом, когда Марцелл, проникнув в город, начал нападение.

Римляне силой овладели несколькими участками; остальные были взяты изменой. Скоро они овладели всем городом и начался грабеж.

Смерть Архимеда. Гравюра XIX в.

При этом погиб Архимед. Вот как рассказывает Плутарх о его смерти:

«Архимед сидел один, размышляя над геометрической фигурой, не слыша шума ворвавшихся в город римлян, не зная, что Сиракузы взяты. Вдруг является солдат и приказывает ему идти к Марцеллу. Архимед хотел сперва решить задачу, но рассерженный солдат обнажил меч и убил его. Другие говорят, что римлянин прямо вбежал к нему с обнаженным мечом, что Архимед просил и умолял его дать докончить задачу и записать доказательства, но что солдат, которому горя мало было до задачи, зарезал его. Есть и третий рассказ. Архимед нес Марцеллу математические снаряды, как то: солнечные часы, сферы, углы для измерения величины солнца; солдаты встретили его и, подумавши, что в ящике золото, убили».

Архимеду в это время было семьдесят пять лет. Марцелл весьма сожалел о смерти Архимеда, говорят даже, что он казнил убийцу. Он приказал отыскать всех бывших в Сиракузах родственников Архимеда. Он почтительно обошелся с ними и избавил их от уплаты контрибуции и других платежей, наложенных на взятый город.

Погребение защитника Сиракуз было совершено с великим торжеством. Согласно приказанию, выраженному Архимедом в завещании, на его гробнице начертили шар, вписанный в цилиндре, чтобы означить открытие, ценимое им более других. Древние любили украшать гробницы тем, что занимало их в жизни. Они желали и за гробом жить в своей любимой мысли.

Многие народы ужасно забывчивы в отношении тех, кто прославил их. Через сто лет по смерти Архимеда позабыли об этом великом человеке. Едва помнили о том, кто защищал и прославил Сицилию. Под римским гнетом сиракузяне, некогда столь любившие науки и искусства, стали совершенными невеждами. Цицерон, будучи квестором в Сицилии, захотел поклониться гробу Архимеда. Но никто не мог указать ему могилы. После долгих поисков ему удалось отыскать ее между кустами терновника. Вот как рассказывает об этом Цицерон:

«Будучи квестором в Сицилии, я всеми силами старался открыть могилу Архимеда. Сиракузяне уверяли, что ее вовсе нет. Я нашел ее в терновых кустах. Я открыл ее при помощи надписи, которая по рассказам была начертана на ней, и шара и цилиндра на памятнике. Рассматривая многочисленные памятники у Агригентских ворот, я заметил колонку, выдавшуюся из-за куста, и на ней нашел изображение шара и цилиндра. Я тотчас закричал знатным сиракузянам, бывшим со мною: “Вот, кажется, то, что я искал!” Приказали обрубить кусты и очистить памятник. Мы увидели надпись, наполовину изглаженную временем.

Итак, благороднейшие и образованнейшие из сиракузских граждан не знали бы, где находится могила их знаменитейшего согражданина, если б арпинец (т. е. сам Цицерон) не указал им»[90].

Теперь изложим труды Архимеда.

Архимед сделал довольно много изобретений по механике и написал несколько ученых сочинений. В его книгах нет описания всех его механических изобретений, потому ли, что он не считал их достойными памяти потомства, или потому, что сочинения, где находились эти описания, не дошли до нас. Мы сперва рассмотрим важнейшие из приписываемых ему изобретений.

Мы привели из Плутарха описание боевых машин, построенных Архимедом для защиты Сиракуз. Описания Плутарха, а также Полибия и Тита Ливия, совершенно не достаточны; сам же Архимед ничего не писал об этих машинах.

В новые времена ученые много спорили об одном из этих снарядов – именно о зажигательных зеркалах.

Декарт и другие физики предлагали себе вопрос: мог ли Архимед действительно зажечь римский флот при помощи зажигательных зеркал?

Полибий, Тит Ливий и Плутарх ничего не говорят об этом. Но ученые Герон Александрийский, Диодор Сицилийский и Папп утвердительно об этом.

Свидетельства почти одинаковой древности: Герон Александрийский жил раньше Полибия; Диодор и Тит Ливий были современниками, и Папп жил позже Плутарха.

Сочинение Герона, в котором говорилось об осаде Сиракуз, исчезло, но оно существовало еще в двенадцатом веке, и писатели того века Зонара и Цецес ссылаются на место, относящееся к архимедову зеркалу.

Зонара рассказывает, на основании древних, о том, что Архимед сжег римский флот при помощи солнечных лучей, собранных и отраженных зеркалом. Он добавляет, что Прокл, по примеру великого сиракузского геометра, при помощи медных зеркал сжег перед Константинополем флот Виталиана при императоре Анастасе в 514 году христианской эры.

Цецес, основываясь на тех же авторитетах, следующим образом объясняет механизм зажигательных зеркал:

«Суда Марцелла были на расстоянии полета стрелы, – говорит он, – когда Архимед стал действовать шестиугольным зеркалом, составленным из маленьких двадцатичетырехугольных зеркал, которые можно было двигать при помощи шарниров и особых металлических пластинок. Он установил это зеркало так, что зимний и летний меридиан пересекали его в середине таким образом, что солнечные лучи, принятые на поверхность этого зеркала, отражались и производили жар, который превращал в пепел суда римлян, хотя они стояли на полет стрелы».

Шарль Боссю, ученый геометр, приводит эти факты в Опыте истории математики (Essai sur l'histoire des mathématiques).

Он принимает их за истинные, не говоря о том, как они изложены Цецесом. Подвижность судов не представляется ему непреоборимым препятствием действию зеркал.

Архимед использует зеркало при обороне Сиракуз. Гравюра XIX в.

Отец Кирхер в сочинении Ars magna lucis et umbrae говорит, что он сам построил зеркало согласно описанию Цецеса. Он прибавляет, что при помощи этого зеркала он произвел значительную теплоту.

В 1747 г. Бюффон заказал зеркало из 168 плоских стекол, снабженных шарнирами, чтобы возобновить опыт отца Кирхера. В апреле, при слабом солнечном свете, ему удалось воспламенить дерево на расстоянии 150 футов и расплавить свинец в 140 футах.

В 1777 г. Дюпюи, член академии изящной словесности, обнародовал перевод отрывка из Антемия, который рассеивает всякие сомнения насчет этого факта.

Антемий был хороший и ученый-математик и механик. Он жил при Юстиниане. Он построил частью с Исидором, частью сам, знаменитую софийскую базилику в Царьграде.

Антемий начинает с замечания, что Архимед не мог употребить вогнутого зеркала: 1) потому что такое зеркало было бы чрезмерно велико; 2) потому, что для действия такого рода зеркала требуется, чтобы зажигаемый предмет находился между зеркалом и солнцем, и что положение римских судов относительно города совершенно исключало такое расположение. Затем он объясняет механизм зеркал, употребленных Архимедом, почти так, как описывает Цецес и выполнил Бюффон.

Из сравнения всех этих свидетельств, по-нашему, следует, что Архимеду справедливо приписывают употребление плоских или вогнутых зеркал с целью если не сжечь, то беспокоить флот Марцелла.

Перейдем к другому изобретению Архимеда.

Многие писатели, между прочим Цицерон и Клавдиан, с восторгом говорят о небесной сфере, построенной сицилийским геометром. Эта сфера, движимая при помощи остроумного механизма, изображала движение звезд с относительными их скоростями.

Деламбр приводит место из Клавдиана и выводит такое заключение:

«Вероятно, что этот планетарий изображал не только движение Солнца и Луны, но также и звездной сферы. Но не вполне ясно, – прибавляет он, – были ли изображены планеты; ничто не мешает, однако, предположить, что Архимед мог заставить их двигаться по почти известным тогда средним скоростям; на это может быть указывает стих:

Архимеду же приписывают первую мысль гидравлического органа. Но изобретение этой машины или инструмента приписывается также и Ктезибию.

Архимед построил для Гиерона огромное судно, описание которого есть у Атенея. Но невозможно, что это судно двигалось архимедовым винтом.

Цецес и Онбаз[92] говорят о изобретении им машины для подъема огромных тяжестей. Вероятно, Архимед построил множество такого рода машин и часто переменял расположение их частей.

Древние, кроме того, приписывали Архимеду сорок механических изобретений, в числе которых находятся винт, зажигательное зеркало и сложный блок, единственные нам известные и о коих мы говорили выше.

Вероятно, что другие изобретения, сделанные Архимедом, были обнародованы после него с некоторыми изменениями в форме и без имени настоящего изобретателя. Если б исчислить все предметы практического и промышленного искусства, доставшиеся нам от древности, и если б наш век остался исключительно с тем, что принадлежит собственно ему, то он, вероятно, меньше бы гордился тем великим превосходством, какое он приписывает себе относительно предыдущих веков.

Перейдем к рассмотрению оставшихся после Архимеда сочинений или по крайности тех, которые дошли до нас.

От Архимеда остались для нас следующие сочинения:

О шаре и цилиндре; об измерении круга; о коноидах и сфероидах; о винтах; о равновесии плоскостей, или об их центрах тяжести; о квадратуре параболы; об исчислении песка; о телах, плавающих на жидкости; о леммах.

Первая книга о шаре и цилиндре начинается письмом Архимеда к Досифею. Архимед извещает, что он окончил доказательство многих теорем, между коими находятся следующие:

«Поверхность шара равна поверхности четырех его больших кругов.

Цилиндр, коего основание равно большому кругу шара и высота – поперечнику шара, равен трем половинам этого самого шара…» и т. п.

«Хотя эти свойства, – прибавляет Архимед, – существенным образом принадлежали фигурам, о коих мы говорили, но не были замечены теми, кто разрабатывал геометрию раньше нас. Однако истину наших теорем легко увидеть при внимательном чтении доказательств, представленных нами. То же было относительно многих вещей, кои Евдокс рассматривал в телах и которые были приняты в виде следующих теорем.

Пирамида есть треть призмы того же основания и той же высоты. Конус есть треть цилиндра того же основания и той же высоты. Эти свойства необходимо существовали в фигурах; и хотя раньше Евдокса было много геометров, заслуживающих уважение, эти свойства, тем не менее, оставались неизвестными, так как никому не удавалось открыть их.

Наконец, все, кто может, пусть рассмотрит сказанное мною. Хорошо было бы, если бы мои открытия были обнародованы при жизни Конона (самосского астронома и геометра, жившего в Александрии), ибо я думаю, он был весьма способен изучить их и сообщить о них тем, кто занимается математикой; я посылаю тебе их с прибавлением доказательств. Занимающиеся этой наукой могут на досуге рассматривать их. Будь здоров».

Это письмо показывает не то, что раньше Евдокса не умели измерять тела, но только то, что некоторые отношения между телами не были замечены.

Перед изложением Архимед приводит аксиомы определения и начала, на которых основываются его доказательства.

В первой книге О шаре и цилиндре находятся пятьдесят теорем. Способ их изложения и особенно порядок, в каком они следуют друг за другом, придают совершенно особый характер методе сиракузского геометра. Наш геометрический язык не вполне соответствует языку древних, или потому, что мы на те же предметы смотрим с другой точки зрения, или потому, что при сравнении мы обращаем внимание не на те члены, или же еще потому, что имеем в виду другую цель.

В этой первой книге есть множество любопытных теорем, которых мы не можем привести, ибо без помощи чертежей они были бы непонятны читателям, не знакомым с геометрией древних. Новые методы, ведя наш ум иными путями, сделали большинство этих теорем излишними для нас. Однако мы разделяем мнение Ньютона, Монтукля и Деламбра, что геометрам, пишущим начальные учебники, не дурно, прежде чем браться за перо, внимательно прочесть Эвклида и Архимеда. Они найдут у них метод последовательных выводов, ясность изложения и рассуждения, и в особенности геометрическую строгость, от которой мы все более и более удаляемся, к великому ущербу для науки и преподавания.

Сочинение Об Измерении круга очень коротко. В нем заключается несколько теорем, сопровождаемых доказательствами. Архимед последовательно вписывает и описывает правильные многоугольники в 4, 8, 16, 32 и т. д. сторон, как поступают и теперь, и прибегает к доказательству ad absurdum. Он строже, чем ныне при помощи теории пределов, доказывает, что круг равняется прямоугольному треугольнику, коего одна сторона из образующих прямой угол равна радиусу, а другая равна окружности, развернутой в прямую линию. Он показывает, что окружность равна тройному поперечнику + некоторой части поперечника, содержащейся между ¹⁰/₇₁ и ¹⁰/₇₀ его долями, то есть что отношение ³¹/₇ больше, а отношение ³¹⁰/₇₁ меньше настоящего.

Трактат О коноидах и сфероидах довольно велик. Он начинает его следующим письмом:

«Архимед Досифею, привет. В этой книге я посылаю тебе не только доказательства, которые не были мне присланы, но также доказательства других открытых мною теорем, которые долго не давали мне покоя, потому что, исследуя их несколько раз, я нашел в них много трудностей. Вот почему эти теоремы не были выданы вместе с другими. Теперь, тщательно и вновь рассмотрев их, я нашел ускользавшие от меня решения…» и т. д.

В этом довольно длинном письме находятся драгоценные общие данные о состоянии важной части чистой математики во времена Архимеда.

Трактат О коноидах и сфероидах содержит только 34 доказанные теоремы. Это, конечно, не все известное древним геометрам на этот счет. Сочинение Архимеда предполагают существование других, более элементарных, на коих он основывался.

Доказательство этому встречается во многих местах его сочинений. Например, в четвертой части трактата, о коем идет речь, после изложения одного начала он прибавляет: «Это было доказано в Начатках конических сечений». Но до нас не дошли эти Начатки.

В сочинениях, дошедших до нас, заключаются только его собственные открытия. Если он говорит об открытиях других, то ради того, чтобы подтвердить их новыми, своими доказательствами. В древности искусство доказывать достигло великой степени совершенства. Чтобы убедиться в этом, следует прочесть Эвклида, Архимеда и Аполлония Пергейского.

Трактату О спиралях предшествует письмо к Досифею. В нем заключаются 28 теорем. Спиральные линии суть кривые особого порядка. При описании этой части геометрических трудов Архимеда потребовалось бы войти в подробности, которые не могут иметь места в настоящем сочинении. Мы приведем только письмо к Досифею:

«Ты настоятельно просил меня написать доказательства теорем, посланных к Конону. Многие из этих доказательств находятся в книгах, привезенных тебе Ираклием; посылаю тебе другие, не находящиеся там. Не удивляйся, что я столь долго не решался выпустить в свет доказательства этих теорем. Причиной было то, что я желал дать время найти их людям, занимающимся математикой и желавшим заняться этим исследованием. Ибо сколько в геометрии теорем, которых, кажется, нет средства узнать и которые потом становятся очевидными! Конон умер, не успев найти эти доказательства, и оставил теоремы недоказанными. Будь он жив, он, без сомнения, нашел бы их и своими открытиями раздвинул бы границы геометрии. Ибо мы знаем, что этот человек обладал большой сметливостью и способностью к этой науке. Много лет прошло после его смерти, и я не знаю, решал ли кто эти задачи. Я изложу их все одну за другою.

Архимед».

Трактат О равновесии плоскостей, или О их центрах тяжести, содержит две книги. Доказательства опираются на следующие, уже дознанные начала:

«Равные грузы, повешенные на равных длинах, находятся в равновесии.

Равные грузы, повешенные на неравных длинах, не находятся в равновесии, и повешенный на большей перетянет другую.

Если грузы, повешенные на известных длинах, находятся в равновесии…» и т. д.

В первой книге шестое и седьмое положения изложены так: «Соизмеримые или несоизмеримые величины находятся в равновесии, когда они повешены на длинах, которые им обратно пропорциональны…» и т. д.

Во второй книге находится десять теорем, имеющих предметом центр тяжести в параболических отрезках.

Ограничился ли этим Архимед в своих исследованиях насчет центра тяжести? Не потерян ли конец его работы? Или не желал ли он пополнить доказательства уже готовых теорий, которым недоставало строгости? На эти вопросы ответов нет.

В трактате О квадратуре параболы двадцать четыре теоремы. В начале находится довольно длинное письмо Архимеда к Досифею:

«Я открыл эту теорему, – говорит он, – сперва посредством механических соображений, а потом уже посредством геометрических рассуждений…» и т. д.

Нам очень жаль, что мы можем выписывать только немногое из того, что считаем любопытным у Архимеда. Мы можем дать только слабое понятие об его работах. Предмет этого сочинения не имеет другой цели.

В трактате, озаглавленном «Исчисление песка», автор, в противность общему мнению, доказывает, что число морских песчинок не бесконечно:

«Я покажу тебе, – пишет Архимед царю Гелону, – при помощи геометрических доказательств, с которыми ты должен будешь согласиться, что между числами, выставленными нами в книгах, надписанных Зевксиппу, есть такие, которые превосходят число песчинок в объеме, не только равном величине Земли, но даже целой Вселенной…» и т. д.

Затем он приступает к предмету и из своих предположений выводит весьма важные заключения относительно диаметра Земли, Солнца и т. д. Этот трактат очень любопытен. Деламбр разобрал его, ради части, относящейся к астрономии[93].

Трактат О телах, погруженных в жидкость, состоит из двух книг. Архимед исходит из следующей гипотезы: «Полагают, что, вследствие того что природа жидкости такова, что части ее одинаково расположены и непрерывны между собою, та часть, на которую давление меньше, изгоняется тою, на которую оно больше. Всякая часть жидкости претерпевает давление от жидкости, находящейся выше по вертикальному направлению, все равно, будет ли жидкость опускаться, или какая-нибудь причина будет заставлять ее переходить с места на место».

Вот главные положения:

«Поверхность всякой находящейся в покое жидкости шаровидна. Центр этой сферической поверхности есть центр земли.

Если тело, имеющее при равном объеме один и тот же вес с какой-нибудь жидкостью, бросить на эту жидкость, то оно совершенно погрузится в нее, но не спустится на дно.

Если твердое тело, легчайшее жидкости, бросить на эту жидкость, то часть этого тела останется над поверхностью жидкости.

Если тело, легчайшее жидкости, бросить на эту жидкость, оно погрузится в нее до тех пор, пока объем жидкости, равной объему омываемой жидкостью части тела, не будет иметь того же веса, что целое тело.

Если тело, легчайшее жидкости, погружено в эту жидкость, то оно вынырнет, и с тем большею силою, чем тяжелее будет объем жидкости против равного объема этого тела.

Тело, которое при равном объеме тяжелее жидкости, будет погружаться в нее, пока не дойдет до дна».

Архимед полагает, что перпендикуляр проходит через центр тяжести тел, которые в жидкости подымаются снизу вверх:

«Если какая-нибудь твердая величина, легчайшая жидкости, будет плавать на этой жидкости, то ее вес относится к весу равного объема этой жидкости, как погруженная часть – к целой величине.

Если ось сегмента параболического коноида не превышает трех четвертей параметра, то этот сегмент, каков бы ни был его вес, примет вертикальное положение, будучи положен на эту жидкость…» и т. д.

Следуют затем несколько предложений такого же рода, имеющих предметом найти две прямые, квадраты которых были бы в том же отношении, как удельные тяжести жидкости и сегмента.

Трактат О леммах содержит пятнадцать предложений. Это приложение анализа к геометрическим построениям.