Каждому из наших читателей приходилось, конечно, слышать, что существуют кажущиеся «истины», к которым приходишь, по-видимому, вполне логическим путем, но которые тем не менее заключают в себе явное противоречие: вывод опровергает ту мысль, из которой мы исходили. Многие из подобных противоречивых истин, или парадоксов, ведут свое начало с глубокой древности и являются иногда чуть ли не единственным наследием, оставленным нам знаменитыми в свое время греческими софистами. Весьма любопытно собрать вместе некоторые из подобных парадоксов и рассмотреть, что они представляют собой при свете логического анализа.

Кому из нас не случалось читать, слышать или самому произносить сотни раз фразу: «Нет правила без исключения»? Однако не всем приходила мысль спросить: «А это правило само имеет исключения?» Ведь раз оно правило, то, согласно самому себе, также должно иметь исключения: но если допустим, что оно не свободно хотя бы от одного исключения, то, стало быть, есть же такое правило, которое не имеет исключения. Отсюда вывод: «есть правило без исключения», совершенно опровергающий то положение, логическим следствием которого он является. Какой‐нибудь остроумный софист древней Эллады, пожалуй, нисколько бы не был смущен таким неожиданным выводом и ответил бы нечто вроде следующего: «Да, конечно, правило „нет правила без исключения“ имеет одно исключение; это исключение — оно само, так как не имеет ни одного исключения». Но нам нет никакой надобности прибегать к такой блестящей изворотливости; вместо того, чтобы нагромождать один парадокс на другой, обратимся к простой здравой логике. Противоречие вызвано здесь слишком широким пониманием основного положения «нет правила без исключения». Под правилом разумеют обыкновенно известного рода закономерность: в природе — закономерность в ходе естественных явлений; в практической жизни — положение, руководящее нами при совершении тех или иных поступков. Правило, понимаемое в таком смысле, всегда обнимает лишь бoльшую или меньшую часть действительности и никогда не распространяется на все подчиненные ему явления. Как правило, оно, в сущности, не имеет исключений, но так как в полной чистоте оно, ввиду сложности обнимаемых им явлений, почти никогда не может быть применяемо, то часто представляет кажущиеся исключения.

Точно так же обстоит дело и с тем давно известным логическим кругом, в который мы попадаем благодаря признанию одного критянина, что «все критяне лгуны». Но так как он сам при этом сказал правду, то, следовательно, опровергал свои собственные слова и оказывался таким образом лгуном, что снова оправдывает высказанное им мнение, и т.д. Мы могли бы продолжать подобное рассуждение до бесконечности и приходили бы постоянно к тому заключению, что критянин или сам солгал и, таким образом, высказал правду, или же сказал правду — и, следовательно, солгал. Причина логического круга лежит здесь в самом понятии слова «лгун». Если под этим словом разуметь человека, который абсолютно никогда, ни при каких условиях не говорил правды, то, конечно, этим опровергается возможность того, чтобы он сам себя назвал лгуном. К счастью, подобные экземпляры в жизни не встречаются; обыкновенно же лгунами мы называем людей, которые хотя и часто, но все же не при каждом слове говорят неправду, — и, таким образом, внутреннее противоречие в только что разобранном случае сглаживается.

Иного рода логическая ошибка имеется в следующем, не менее древнем парадоксе. Перед нами насыпана куча зерен. Я убираю одно зерно — и куча, разумеется, остается тем, чем была, — кучей. Я продолжаю убирать зерно за зерном, и когда наконец будет убрано примерно 200 зерен, то останется уже не куча, а просто 10–15 штук отдельных зерен. Неужели же, следовательно, удаление одного-единственного двухсотого зернышка достаточно, чтобы лишить все оставшееся количество характера кучи? И обратно: неужели прибавление одного зерна к 10–15 другим зернам достаточно, чтобы превратить эту горсть в целую кучу?

Понятие «куча» не заключает в себе ничего определенного, безусловного, и ни в каком случае не зависит от одного лишь числа составляющих ее элементов. Составные элементы кучи, в рассматриваемом случае — зерна, должны тесно прилегать один к другому, образовать определенную коническую поверхность, без всякого порядка лежать друг на друге и находиться в таком числе, чтобы их нельзя было сосчитать одним взглядом. При каком числе составных элементов эти условия уже не имеют места, при каком возникают вновь — нельзя, конечно, установить даже более или менее приблизительно; но, принимая во внимание вышеизложенное содержание понятия «куча», мы не имеем оснований видеть что‐либо невероятное в том, чтобы одно зерно в состоянии было произвести подобную перемену. Ведь если рассуждать так, то следовало бы удивляться также и тому, что 99 сантиметров еще не составляют метра, а присоединение одного лишнего сантиметра выполняет это условие, хотя этот сантиметр ничем не лучше остальных; на самом же деле у него есть одно преимущество — то, что он именно сотый, что присоединяют его не к 20 и не 50, а именно к 99 предшествовавшим. И выходит, что присутствие или отсутствие этого сотого сантиметра решает, так сказать, судьбу целого метра.

Обратимся теперь к разбору трех сходных друг с другом парадоксов, разрешение которых представляет уже несколько бoльшие затруднения.

Например, знаменитый «крокодиловый софизм», о котором, как гласит предание, Хризипп[53] написал целых шесть томов и на котором несчастный Филет[54] сошел с ума. Египтянка к величайшему своему ужасу заметила однажды, что ребенок ее, еще только что беззаботно резвившийся на цветущем лугу нильского берега, барахтается в крокодиловой пасти. Мать стала умолять чудовище возвратить ей дитя. Крокодил отвечал, что он не тронет ребенка, если она угадает, что он с ним сделает. «Ты мне не возвратишь дитя!» — воскликнула мать в ответ на его предложение. За этим последовал такого рода диалог. Крокодил: «Сказала ли ты правду или нет — во всяком случае ты ребенка уже не получишь. Если ты права, то ребенок, конечно, будет съеден; если же ты неправа, то он мой по уговору». Мать: «А я полагаю как раз противное: если я права — то ребенок мой по уговору; если же я солгала, т.е. ты мне его возвратишь, то ясное дело, что он будет у меня».

По делу Протагора и его ученика суд вынес такой приговор: процесс решается в пользу Квантлуса, но за Протагором удерживается право опять начать процесс на новом основании именно потому, что Квантлус выиграл свой первый судебный процесс — и тогда ученик уже несомненно будет приговорен к уплате долга. Если же рассуждать логично, то следовало просто испытать, в какой мере учитель исполнил свое дело, и соответственно успехам ученика присудить его к уплате гонорара или освободить. Ведь вся путаница произошла только от того, что первый же процесс ученика имел своим предметом уплату гонорара за обучение; выходит, стало быть, следующее: Квантлус тогда только обязан будет уплатить долг, когда он докажет перед судом, что не обязан его платить. Приблизительно в таком же роде разрешается и парадокс с крокодилом. Крокодил соглашается возвратить ребенка, если мать угадает, что он с ним сделает; но угадать ведь можно только нечто установившееся, незыблемое; крокодил же ставит будущее событие (слова египтянки) в зависимость от другого будущего события (его поступка с ребенком), которое само определяется первым (так как крокодил принимает решение уже после того, как мать высказала свое предположение).

Одним из наиболее любопытных парадоксов является классический парадокс Зенона[55] о том, что Ахилл не в состоянии догнать черепаху. Над разрешением его немало трудились в течение тех двух тысяч лет, которые протекли со времени его появления. Для большей ясности мы несколько упростим данные задачи. Условия состязания следующие: Ахилл, передвигающийся, положим, вдвое скорее черепахи и проходящий один шаг в секунду, находится от нее на расстоянии всего одного шага. И вот Зенон утверждает, что даже при таких, по-видимому, выгодных условиях быстроногий Ахилл не догонит черепаху. Действительно: в то время как Ахилл сделает один шаг, черепаха передвинется на полшага вперед; Ахилл пройдет эти полшага — черепаха отодвинется еще на ​¼ шага; в то время как Ахилл успеет пройти и эту ​¼ шага, черепаха проползет еще ⅛ шага и т.д.; ясно, что черепаха всегда будет на некоторую, хотя бы и незначительную долю шага впереди Ахилла. На первый взгляд оно так и кажется, но стоит приступить к решению той же задачи иным путем — и сейчас же станет ясно, в чем тут дело. Определим, сколько времени нужно Ахиллу, чтобы нагнать черепаху. Расстояние между состязающимися — 1 шаг; с каждой секундой расстояние это уменьшается на 1–½ = ½ шага; следовательно, оно обратится в нуль, т.е. Ахилл догонит черепаху, только спустя 1: ½ = 2 секунды; итак, по крайней мере две секунды нужны Ахиллу, чтобы догнать черепаху.

А сколько дается ему времени в рассматриваемом случае? Нетрудно сосчитать.

Ахилл пройдет 1 шаг + ½ шага + ​¼ + ⅛ и т.д.; в алгебре доказывается, что этот ряд стремится к определенному пределу, равному 2, но никогда, однако, не достигает его; следовательно, мы отводим Ахиллу столько времени, в течение которого он едва успевает пройти два шага, т.е. менее двух секунд. Но, как мы уже знаем, ему необходимо по крайней мере две секунды, чтобы догнать черепаху, и теперь вполне понятно, почему он не может догнать черепаху: ему дано слишком мало времени. Таким образом, парадокс Зенона должен быть высказан в следующей форме: Ахилл не догонит черепаху, если мы не дадим ему достаточный для этого промежуток времени. А при таких условиях уже совершенно ясно, где скрывается неправильность в этом пресловутом парадоксе.