Гильберт хочет, чтобы математика была и полной, и простой. В его понимании это значит, что аксиомы должны быть немногочисленными, независимыми друг от друга и в совокупности полными. Его «формальная аксиоматизация» математики сделает то, что не удалось Расселу и логицизму: решит проблему оснований раз и навсегда и покажет, что математика – это «неделимое целое», по словам Гильберта, «организм, жизнеспособность которого держится на связи между его частями».
«Аксиоматика – это ритм, который превращает метод в музыку, волшебная палочка, что направляет все индивидуальные усилия к единой цели», – пишет Гильберт в одной из своих записных книжек. Метафора вполне под стать человеку, которого называют гамельнским крысоловом. Образы немного смешались, но это не страшно. Он проникается этим, входит в такт. Чувствует ритм!
Подход Брауэра к математике едва ли не полная противоположность гильбертовскому, и основа кризиса оснований (или Великой математической войны, как я ее называю) заключается главным образом в том, что они оба считают свои конкурирующие мировоззрения взаимоисключающими. Я расскажу о гораздо более нестандартном подходе Брауэра чуть позже, но сперва стоит отметить: есть несколько вещей, в которых они с Гильбертом решительно согласны.
Во-первых, это неудача Рассела – пусть и по разным причинам. Гильберт считает труд Рассела безмерно героическим, но все же уверен, что нужен новый подход. Фундаментом должна служить не логика, думает он, а аксиоматически определенный подход к самой математике. Брауэр согласен, но настроен гораздо агрессивнее: логика – это не ответ. Всю попытку Рассела построить основания математики на базе логики он считает бессмысленной. Для него логика строится на математике, а не наоборот. Попытка подвести под математику логический фундамент, говорит Брауэр, – это «непродуктивное, бесплодное упражнение».
Во-вторых, Брауэр и Гильберт сходятся во мнении о несостоятельности человеческого языка. На самом деле Рассел, Уайтхед и Фреге тоже с этим бы согласились. Обыденный язык не способен однозначно передать математическую строгость. Фреге и разработал свое «исчисление понятий» именно потому, что не доверял обычному языку.
Гильберт и Брауэр видят смысл в том, чтобы относиться к языку с подозрением, но оба идут еще дальше. Для Брауэра язык – не просто то, чего стоит опасаться. Он рассматривает этот вопрос в эволюционном и антропологическом ключе, полагая, что математика появилась раньше языка. Он полагает, что у нас не было бы языка, если бы не было математики. Сами акты речи, жестикуляции и слушания опираются на нашу интуитивную способность различать абстрактный смысл, привязанный к возгласу, знаку или пантомиме.
Для Гильберта это не столько вопрос о курице и яйце, сколько сфокусированная практическая задача: что делать с обычным языком в математике? В этом они с Брауэром согласны. Оба хотят убрать язык из уравнения – хотя и пойдут к этому совершенно разными путями.
Идея Гильберта, как я уже говорил, заключается в создании идеального искусственного языка для дедукции. Он хочет полностью отсечь обыденный язык, срезать все лишнее до самой кости и оставить математику в виде того, что он называет «бессмысленными значками на бумаге». Другими словами, отодвинуть язык в сторону. Отделить символы математики от их значения. Так вы сможете устанавливать и применять правила, не замутненные смыслом. И пусть аксиоматика и правила станут вашим вторым пилотом.
Хотя Брауэр согласен с частью этого, в конечном счете он считает подход Гильберта ошибкой именно из-за того, что Гильберт считает его сильной стороной: языка. Гильберт полагает, что он отделяет математику от языка своим подходом «бессмысленных значков на странице», но для Брауэра символический язык – это все равно просто язык. Он считает, что невозможно построить математический язык, свободный от противоречий, потому что в своей основе символический язык всегда будет человеческим языком. «Мы все так же далеки от цели», – напишет он позже. Брауэр изобрел термин «формализм» и ввел его в обиход как язвительную насмешку, мелкую шпильку, чтобы обесценить подход Гильберта.
Одни имена мы берем себе сами. Другие нам дают из любви или уважения, как титул, сохраняемый после выхода на пенсию: Тренер, Полковник, Посол, Господин Президент. Иные же имена призваны уколоть – они даются либо в шутку, либо из гнева, ненависти, презрения или осуждения. «Формализм» относится к последним. Брауэр считает это чопорным ярлыком для негибкого подхода и еще более негибкого упрямства.
С другой стороны, свой собственный подход, «интуиционизм», он любит. Это имя он выбирает сам, заимствуя термин из более ранней философии. Оно «подчеркивает существование чистой математики, независимой от языка», пишет он.
Это возвращает нас к его почти антропологической точке зрения. Брауэр рассматривает математику как примитивную человеческую способность – нечто укорененное в нашем индивидуальном сознании и наложенное на человеческий род длинной рукой эволюции. Чистейшим выражением этого служит его попытка очистить математику до ее самых примитивных основ. Математика – это не какая-то формальная вещь, которую мы строим для описания мира, а часть нашей сущности, нашего существования – то самое, что делает нас людьми.