Идея конструктивной математики как врожденной человеческой способности не целиком принадлежит Брауэру. Философы возводят ее истоки к французскому математику XVII века Рене Декарту, который отвергал привычные культурные и религиозные ссылки на авторитет и настаивал, что рациональный человеческий разум постигает непосредственность своего окружения и оттуда интуитивно черпает знание. Это основа его знаменитой фразы Cogito, ergo sum («Мыслю, следовательно, существую»), которая удивительным образом спустя 400 лет не противоречит современной нейронауке.
Брауэр соглашается с Декартом в том, что он видит математику по сути как способ восприятия мира – но в смысле первичной человеческой способности, в противовес более формальному, приобретенному человеческому способу, как это видит Гильберт. Но Брауэр идет дальше, чем Декарт или кто-либо другой до него.
Брауэр также выходит за рамки очень известной старой формы интуиционизма, разработанной философом Иммануилом Кантом столетием ранее. Кант был гением во всем, кроме одной наивной ошибки: он считал время и пространство абсолютными. Его идея о том, что мы интуитивно постигаем пространство и время через «непосредственное осознание» наших чувств, абсолютно верна, согласно современным взглядам на познание. Но его подвела концепция абсолютного пространства и времени. К 1920-м годам люди активно отвергали абсолютность времени и пространства, какой бы истинной она ни казалась чувствам. Взлет Эйнштейна к мировой славе был полностью основан на доказательстве искривления света, подтверждающем, что время и пространство не абсолютны, а относительны. Время замедляется. Длина сокращается. Пространство растягивается. Гравитация порождает пугающие странности. И теория относительности Эйнштейна строго нарушает пространственно-временную абсолютность по всем статьям. К 1920-м годам наука ушла от Канта дальше, чем кто-либо мог себе представить.
Грядет и другое, еще более фундаментальное изменение в мировоззрении человечества. Астрономы с помощью все более мощных телескопов вскоре получат из глубин космоса данные о том, что Вселенная совсем не такова, какой мы считали ее с начала времен. Она не фиксированная и бесконечная, а конечная и расширяющаяся. Это немедленно приводит к выводу, что Вселенная не пребывает в стационарном состоянии без начала и конца, а имеет свою сюжетную линию. Происхождение. Начало. Рождение в Большом взрыве. Нашу текущую середину. И когда-нибудь – конец. Какой еще Кант?
Старомодные взгляды Канта на интуиционизм становятся «сопутствующим ущербом» на фоне релятивистской революции Эйнштейна и появления теории Большого взрыва. «Старая форма, – говорит Брауэр об интуиционизме Канта в 1920-х, – от которой ныне почти полностью отказались». Он утверждает, что все предшествующее было на самом деле вовсе не интуиционизмом, а чем-то иным. Предынтуиционизмом. Неоинтуиционизмом. Полуинтуиционизмом. (Квазиинтуиционизмом?)
Называйте как хотите, но дух Канта в идеях Брауэра виден отчетливо. После войны Брауэр вернулся к основам, вдохновленным Кантом, которые он заложил еще 12 лет назад в своей странной книге «Жизнь, искусство и мистика». Подобно Канту, он считал, что единственный путь к истинному знанию лежит через индивидуальное сознание и взаимодействие с внешним миром посредством чувств и разума. Мы «интуитивно постигаем» смысл окружающего мира – отсюда и термин «интуиционизм».
Это, кстати, не просто единственный, самый фундаментальный аспект веры Брауэра – это главная точка расхождения, где его мировоззрение глубоко отличается и резко отходит от взглядов Гильберта и почти всех остальных. Почему? Потому что это приводит Брауэра к выводу, что в математике существование никогда нельзя принимать как данность. Оно должно быть установлено «как естественная функция интеллекта, как свободная, живая деятельность мысли», – напишет несколько лет спустя выдающийся ученик Брауэра, голландский математик Аренд Гейтинг. «Для него математика – это порождение человеческого разума», – скажет Гейтинг о Брауэре.
По мнению Брауэра, основания математики должны быть чисто конструктивными – это процесс, в котором построение математических объектов и доказательств выступает как познавательная деятельность. Для него в математике важна не столько логическая непротиворечивость и формальные доказательства, сколько построение этих объектов с помощью разума. Он считает, что у людей есть естественная, изначальная, врожденная интуиция счета и натуральных чисел. Именно это, полагает он, должно быть основой математики, а не что-то основанное на испорченном языке или чистой логике.
Для Брауэра поиск нового математического доказательства подобен движению на ощупь по незнакомой местности в темноте. Здесь вы спотыкаетесь. Там ступаете на зыбкую почву. Находите место, где в грязи скрыта утонувшая доска, словно те грязные настилы в траншеях Западного фронта. Вы идете. Держитесь низко. Не имеете понятия, куда идти, но продолжаете двигаться. Смотрите, куда приведет вас путь. Шаг за шагом. С каждым хлюпающим звуком. Сквозь липкое месиво.
На темном поле битвы Первой мировой войны, пока вы знаете, где начали, как далеко прошли и какие повороты сделали, вы можете найти дорогу через грязь, шаг за шагом. Точно так же и в математике вы можете прокладывать путь через доказательство, используя лишь простую концепцию натуральных чисел, добавляя 1 к 2, к 3 и так далее.
Это радикальный подход к математике, и в некотором роде совершенно оригинальный. И все же, поскольку Брауэр заимствует идею Канта об интуитивном постижении и опоре на чувства, интуиционизм – это, пожалуй, целое движение, а не продукт одного человека. Это путешествие, начатое Пуанкаре, с щепоткой Канта и изрядной дозой Кронекера (с его принципом «Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человеческих»). Именно Кронекер проложил путь, по которому следует Брауэр: он отказывал в существовании любому объекту под математическим солнцем, который нельзя построить явным образом.
Однако Брауэр – радикал, и он призывает переосмыслить математику в чисто конструктивном ключе. Это ведет к весьма спорному, даже экстремистскому мировоззрению, ведь отказ от всего, что нельзя построить, означает отказ от понятий счетного и несчетного, перечислимого и неперечислимого, малой и большой бесконечности. Для теории множеств это настоящий бич. Конструктивизм Брауэра также с неизбежностью отвергает использование закона исключенного третьего. Это язва современного математического доказательства, своего рода болезнь, что объясняет многое из того, о чем пойдет речь дальше. Коллегам не просто не нравятся идеи Брауэра. Они, и особенно Гильберт, чувствуют невероятную угрозу.
Поймите вот что: хотя многие видят в Брауэре некое второе пришествие Кронекера, он представляет собой нечто большее, чем простая «перезагрузка». Он больше похож на «Кронекера 2: Расплата» – та же бескомпромиссная конструктивная философия, но с куда большим количеством спецэффектов и взрывов. Представьте Кронекера с крутым арбалетом. Или с гаубицей. Или Кронекера, стреляющего из рук расплавленной лавой. Вот на кого похож Брауэр.
Так, на заре пробуждения Европы от долгого ужаса Первой мировой войны, тихо начинается Великая математическая война: Гильберт выбирает одно направление для укрепления оснований математики, а Брауэр идет другим путем. Стремление Брауэра отвергать все, что невозможно построить, вскоре приведет его к острому конфликту с Гильбертом. Никто еще этого не осознает, но Брауэр уже сделал первые выстрелы, насмешливо назвав подход Гильберта «формализмом», жестоко противопоставив его своему собственному, звучному, восходящему к Канту «интуиционизму» – своей главной надежде и амбиции.
На этом я пока закончу тему противостояния Брауэра и Гильберта, добавив лишь одно: это настоящая трагедия. Они были друзьями. Их отношения искрились взаимным восхищением и уважением. И у них был один последний, фундаментальный пункт согласия: они разделяли мировоззрение, отмеченное исключительной заботой о Королеве Математике – убеждение, что фундамент науки нуждается в починке. Но эта общая почва ушла из-под ног из-за их глубоко различных подходов. Это были два математика, разделенные общим делом.
Великая математическая война начинается не совсем в 1918 году. Ее истоки можно проследить до 1900 или 1883 года, как сделал я, – или еще раньше. Но по-настоящему линии фронта прочерчиваются лишь в 1920-х. В годы перед войной вопрос об основаниях был поставлен на паузу, пока Рассел и Уайтхед трудились, пытаясь заполнить зияющую дыру в математике с помощью логики. Они выпустили невероятно сложные трехтомные «Основания математики» – этот триумф логицизма. Но их работа лишь забинтовала рану. Во время войны эта болячка покрылась коростой, когда международный обмен идеями со скрежетом остановился. Машины. Монстры. Западный фронт. Но после перемирия бинт срывают, и споры об основаниях математики вспыхивают как никогда прежде.