После того как Цермело решает ответить на критику и обратиться к оппонентам, он делает это, переработав свое доказательство 1904 года о том, что каждое множество может быть вполне упорядочено. Отталкиваясь от этого, он расширяет сферу деятельности и в 1905 году начинает работу над аксиоматизацией всей теории множеств, следуя тому, что Гильберт сделал с геометрией пятью годами ранее. «Я намерен показать, как вся теория… может быть сведена к нескольким определениям и семи принципам, или аксиомам, которые представляются взаимно независимыми», – говорит Цермело.

Откуда берутся эти определения и принципы, говорит Цермело, он обсуждать не будет. Могут ли они быть доказаны, добавляет он, он не станет пытаться выяснить. «Но я надеюсь, что проделал здесь, по крайней мере, некоторую полезную подготовительную работу для последующих исследований таких более глубоких проблем», – говорит он. Не белоручка, а настоящий пахарь, Цермело сдержал слово. Он публикует свой переработанный труд в 1908 году, и это огромное достижение, как признают сегодня эксперты.

Конечно, некоторые части его работы в 1908 году все еще будут казаться трудными, а некоторые даже заслуживающими опровержения. И люди в то время будут по-прежнему безжалостны в своих оценках. Сам Рассел отвергнет одну часть работы Цермело 1908 года, назвав ее «настолько расплывчатой, что в ней нет никакой пользы». Тем не менее Цермело войдет в историю.

В частности, он определяет набор аксиом, которые мы сегодня называем ZFC. «Z» – в честь Цермело (Zermelo), а также «C» – в честь аксиомы выбора (Choice). (Иными словами, он вносит «Z» и «C» в ZFC, основу современной математики.) Взятые вместе, аксиомы Цермело позволяют математикам порождать множества и манипулировать ими, и они станут незаменимыми – «одержав победу», по словам Канамори.

Но все это будет позже. В 1904 году Рассел знает о прорыве Цермело, но недооценивает его. Критика «порочного круга», выдвинутая Пуанкаре против работы Цермело, сильно бьет по сознанию Рассела. К тому времени он уже глубоко погружен в свою новую книгу с Уайтхедом. Идея порочного круга потрясает его. Он питает огромное уважение к Пуанкаре, и тяжелая критика старшего французского математика действительно заставляет Рассела задуматься – и в конечном итоге приводит его к базовому концептуальному прорыву в «Основаниях математики».