Что такое аксиома выбора? Представьте школу, где в каждом классе есть как минимум один, а возможно, и больше учеников (ваши непустые множества), и вы решаете упорядочить все классы, выбрав одного конкретного ученика из каждого кабинета. Это простая аналогия, но Цермело идет дальше, утверждая, что можно применить «функцию выбора», чтобы проделать то же самое для бесконечного множества (каждый класс, который когда-либо был, есть, будет или мог бы быть). Он использует это понятие выбора и бесконечного упорядочения как основу для создания аксиоматической системы теории множеств, делая для теории Кантора больше, чем мог бы сам Кантор.

«В последующие годы, – напишет столетие спустя современный американский математик и эксперт по теории множеств Акихиро Канамори, – базовый каркас, созданный аксиомами Цермело, с их схематичной простотой и открытостью, одержит верх в качестве рабочего фундамента математики». (Как выясняется: Бог есть Бог, математика есть математика, а Цермело есть Цермело.)

Некоторые впечатлены усилиями Цермело в 1904 году. А теперь, годы спустя, после века признания, их число многократно возросло. «Она оказалась настолько удачной, что, за исключением мелких поправок, остается главной базой современной математики», – напишет голландский математик Дирк ван Дален.

Но если сегодня люди снимают шляпы перед Цермело, то в то время… совсем наоборот!

Когда работа Цермело впервые выходит в свет, она вызывает резкую критику. Огонь и ярость. Цермело показывает, что базовые предположения Кантора верны, но его метод вызывает споры. После того как появляется доказательство Цермело, следующий выпуск того же журнала ломится от яростных писем читателей, полных сомнений и готовых оставить после себя выжженную землю.

Самая острая критика прилетела из Парижа, от самого великого Пуанкаре. И он был не один. В те дни ни один немецкий математик не мог забить «слэм-данк», чтобы французский «диванный арбитр» не свистнул фол. Французский математик Феликс Эдуард Жюстен Эмиль Борель также возражает против доказательства Цермело. Оно требует бесконечного итеративного процесса, который он считает абсурдным. «Любой аргумент, предполагающий, что произвольный выбор делается несчетно бесконечное число раз, лежит вне области математики», – пишет он.

Итальянский математик Пеано, работа которого так вдохновила Рассела, тоже возражает против Аксиомы выбора Цермело. Нельзя задать бесконечность произвольных выборов, утверждает он. Невозможно! Цермело отвечает, что Пеано сам себя ограничивает. Математику Пеано он назвал «искусственно изуродованной».

Но, безусловно, самая глубокая критика Цермело в 1904 году исходит от Пуанкаре. Он уже публично критиковал некоторые аспекты теории множеств до международного конгресса. Увидев статью Цермело, он лишь усиливает критику. «Хотя сама аксиома Цермело мне, скорее, симпатична, – пишет Пуанкаре, – его доказательство я отвергаю». Критика Пуанкаре состоит в том, что Цермело использует определения, создающие «порочный круг», поскольку он сначала определяет совокупность, а затем выбирает из нее элементы.