Кантор глубоко потрясен, когда венгерский математик из Будапешта по имени Дьюла (Юлиус) Кёниг представляет доклад, бросающий ему фундаментальный вызов: он пытается опровергнуть континуум-гипотезу. Кёниг заявляет, что континуум-гипотеза неверна, и утверждает, что может это доказать. Кантор, разумеется, отказывается в это верить, твердо стоя на своей математико-религиозной вере. Но он не может сразу найти ошибку в доказательстве Кёнига, хотя уверен, что она должна быть. В конце концов, Бог есть Бог, математика есть математика, а Кантор есть Кантор.

Кёниг утверждает, что континуум-гипотеза ложна по техническим основаниям, заявляя, что множество вещественных чисел «большой бесконечности» (алеф-один) не может быть вполне упорядоченным – это означает, что элементы множества нельзя выстроить в логическую возрастающую иерархию, как это делается с конечным множеством, вроде первых десяти ненулевых чисел последовательности Фибоначчи: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55}. Полная упорядоченность считается необходимым условием для доказательства континуум-гипотезы, поэтому, если это невозможно сделать, гипотеза не может быть доказана. Логика выглядит убедительной, и все же Кёниг ошибается. Он допустил ошибку в своей работе, и этот изъян вскоре обнаруживает тот же молодой ученик Гильберта, который стал соавтором открытия парадокса Рассела. (Привет, Цермело!)

Кёниг обещает Гильберту, что подготовит статью на основе своей лекции для публикации в журнале Mathematische Annalen, редактором которого является Гильберт. Однако статья так и не материализуется, потому что Кёниг обнаруживает свою ошибку. Он неправ, уязвлен и полон сожаления. «После череды несчастливых дней я должен наконец сообщить вам, что не могу прислать обещанную статью», – пишет Кёниг, называя свое неудачное доказательство «катастрофой конгресса».

«Как же я сожалею о случившемся и как же страдаю от этого, – говорит он в своем письме. – Я нахожу непостижимым, как я мог не увидеть этого раньше».

Цермело, вдохновленный всей этой драмой, решает погрузиться в вопрос глубже. Он берется за ту самую проблему, с которой бился Кёниг. Кёниг думал, что сможет доказать, будто несчетное множество «большой бесконечности»  не может быть вполне упорядоченным, но его доказательство оказалось ошибочным. Ладно, хорошо. Но неудача в доказательстве того, что что-то невозможно, не является окончательным доказательством того, что это возможно. Поэтому после конгресса Цермело решает сесть и доказать, что каждое множество, даже множество вещественных чисел большой бесконечности, действительно может быть вполне упорядочено.

К осени 1904 года Цермело справляется с задачей. Он пишет Гильберту, сообщая, что у него есть доказательство того, что каждое множество может быть вполне упорядочено – его так называемый Wohlordnungssatz (теорема о вполне упорядочении). «Для любого семейства непустых множеств существует соответствие, которое сопоставляет каждому из этих множеств один из его элементов», – пишет он, описывая свой организованный способ выбора, который в конечном счете приведет к его так называемой аксиоме выбора.