Сколько вещей существует в мире? Если вы спросите, сколько у меня детей, я смогу ответить вам сразу же: трое. Если вы спросите, сколько книг в моем кабинете, я бы тоже смог ответить, хотя мне и пришлось бы их пересчитать. Если вы спросите, сколько мне минут от роду, я мог бы это вычислить, хотя мне пришлось бы уточнить у мамы точное время моего рождения. Если вы спросите, сколько клеток в моем теле, мне пришлось бы проконсультироваться с биологом, и я смог бы дать лишь приблизительный ответ, учитывая такие факторы, как мой вес. Но можем ли мы ответить на вопрос: «Сколько вещей существует всего в мире?» Можем ли мы пересчитать их все — хотя бы в принципе — или вычислить это число? И если бы мы не могли назвать точную цифру, то могли бы дать хотя бы приблизительный ответ?

Вещи и виды вещей

Если вопрос «Сколько вещей существует в мире?» кажется нам неразрешимым, озадачивающим, бессмысленным или попросту нелепым, то происходит ли это потому, что мир слишком велик, чтобы дать на него какой-то разумный ответ? Если так, давайте возьмем вопрос попроще: сколько вещей в моем кабинете? Можно подумать, что всё, что мне нужно здесь сделать, — это оглядеться по сторонам и сосчитать их. Я мог бы начать с подсчета книг. Но если теперь я возьму одну из этих книг, должен ли я считать каждую страницу в отдельности? Должен ли я также считать слова на каждой странице? Мое кресло — это одна вещь или две (например, деревянный каркас и подушка) или же множество вещей? Мой письменный стол — это одна вещь или пять (столешница и четыре ножки, на которые его можно разобрать)? На этот вопрос невозможно ответить, пока мы не уточним, какие именно виды вещей имеем в виду. Если имеются в виду книги, стулья или письменные столы — или даже книги, стулья или письменные столы (взятые вместе), — тогда я смогу дать вам ответ, по крайней мере в принципе или приблизительно. Но вопрос о том, сколько всего вещей существует без такого уточнения, по-видимому, лишен ответа.

Но значит ли это, что сам вопрос бессмыслен? В определенных контекстах он вполне может иметь смысл. Представьте, что я переезжаю и звоню в компанию по перевозкам, чтобы узнать стоимость услуг. Когда мы по очереди перечисляем комнаты, меня спрашивают, сколько вещей у меня в кабинете. На это я мог бы ответить: «Ну, у меня около тысячи книг, один письменный стол, три стула, диван, кресло, два картотечных шкафа, журнальный столик и пять растений в горшках». Было бы неверно суммировать всё это и говорить, что у меня 1014 вещей (сложив их вместе), однако это вполне подходящий ответ. Но это лишь подтверждает мысль о том, что для ответа на подобный вопрос нам необходимо указать, какие именно виды вещей имеются в виду. Под «вещами» перевозчик понимал все те физические объекты, которые нужно перевезти, будь то по отдельности или упакованными в коробки. Отвечая на вопрос, мне пришлось бы указать виды вещей, имеющие значение для расчета стоимости — например, чтобы определить, сколько коробок потребуется для моих книг.

Таким образом, контекст часто помогает понять, какие именно виды вещей имеются в виду под вопросом «Сколько здесь вещей?». Если же нет, то остается лишь сказать: «Смотря что вы понимаете под „вещью“». Это возлагает на спрашивающего обязанность уточнить, что именно он имеет в виду. Возвращаясь теперь к более общему вопросу «Сколько вещей существует в мире?», трудно представить себе контекст, который придал бы такому вопросу достаточно ясный смысл, позволяющий получить ответ. Но если бы он действительно имел смысл, то пришлось бы уточнить, какие именно виды вещей имеются в виду (атомы? молекулы? химические элементы?); и в этом заключается принципиальный момент.

Готлоб Фреге (1848–1925) сегодня широко признан одним из главных основателей аналитической философии. Он родился в Висмаре, на Мекленбургском побережье на северо-востоке Германии, учился в университетах Йены и Гёттингена, а затем провел всю свою научную карьеру в Йенском университете, преподавая математику. В центре его внимания находилась природа математики и, в частности, арифметики. Что такое числа и как мы получаем арифметическое знание? Попытки ответить на эти вопросы сделали Фреге в такой же степени философом, в какой он был математиком. Его ответ легко сформулировать, хотя гораздо труднее обосновать (в чем Фреге убедился на собственном горьком опыте) и лишь немногим проще объяснить — хотя в этой главе я сделаю все возможное. Арифметика, по мнению Фреге, по сути является формой логики (этот взгляд получил название «логицизм»), а числа — это своего рода логические объекты. Чтобы доказать это, Фреге пришлось разработать логическую теорию, что сделало его не только математиком и философом, но и логиком. Действительно, в основе его репутации одного из основателей аналитической философии лежит роль создателя современной логики — того, что мы теперь знаем как кванторную логику. Свою логическую систему он назвал «Begriffsschrift» (буквально «запись понятий»), впервые представив ее в небольшой одноименной книге, опубликованной в 1879 году.

Самая доступная книга Фреге, ныне общепризнанная как философский шедевр, — это «Основания арифметики», опубликованная в 1884 году. Центральное место в его теории занимает утверждение о том, что высказывания о числах — это утверждения о понятиях. Мы уже в состоянии понять этот тезис. Возьмем наш предыдущий пример с книгой — скажем, с той самой, которую вы сейчас читаете. Сколько вещей перед нами? Одна книга, 150 страниц или примерно 38 000 слов? Очевидно, ответ зависит от того, какой род вещей мы имеем в виду или, как мы можем теперь выразиться, от понятия, посредством которого мы ее мыслим. Если мы представляем ее как книгу, то ответ — один; если как набор страниц, то ответ — 150; а если как собрание слов, то ответ — 38 000.

Рассмотрим высказывание о числе — например, что в этой книге 150 страниц. Согласно Фреге, мы приписываем число 150 не самому объекту (этой книге), а понятию «страница этой книги». (В дальнейшем для обозначения понятий будут использоваться двойные кавычки.) Это понятие имеет 150 экземпляров. Иными словами, высказывание относится не к объекту, к которому оно, казалось бы, относится (что выражается в том, что словосочетание «эта книга» является грамматическим подлежащим в предложении, которое мы используем), а к понятию, которое нам необходимо усвоить, чтобы произвести соответствующий подсчет. С точки зрения Фреге, предложение «В книге 150 страниц» на самом деле означает: «Понятие „страница этой книги“ имеет 150 экземпляров». К идее того, что предложение «означает на самом деле», мы вернемся в главе 3. Главное здесь — проиллюстрировать центральный тезис Фреге о том, что высказывания о числах представляют собой утверждения о понятиях.

Если Фреге прав, то мы уже продвинулись в поиске ответа на один из, казалось бы, простейших, но на деле самых каверзных вопросов в истории философии. Что такое числа? Ограничимся здесь числами, которые мы используем для счета, так называемыми натуральными числами: 0, 1, 2, 3 и так далее. Мы можем подсчитать что-либо лишь тогда, когда у нас есть понятие, с помощью которого мы это мыслим. Нечто может быть одной книгой, 150 страницами или 38 000 слов; только уяснив соответствующее понятие, мы можем определить число. Будучи высказанной, эта мысль может показаться очевидной, но это важное открытие, которое подводит к следующему выводу. Числа приписываются не вещам самим по себе, а понятиям, посредством которых мы мыслим эти вещи. Для наших целей мы можем рассматривать понятия как выражающие свойства вещей: например, нечто может обладать свойством быть книгой, страницей или словом. Тогда числа можно рассматривать как свойства свойств. (Как мы увидим далее, это лишь первое приближение к концепции Фреге, но оно намечает верный путь.) Свойство быть этой книгой само обладает свойством иметь один экземпляр; свойство быть страницей этой книги само обладает свойством иметь 150 экземпляров; и так далее.

Почему это было важно для Фреге? Краткий ответ таков: свойство иметь экземпляр — это логическое свойство, иными словами, оно может быть определено чисто логически. Мы вернемся к этому в главе 2; но если мы примем это положение, то сделаем важный шаг к доказательству того, что высказывания о числах могут быть определены в логических терминах.

Объекты и понятия

Отношение подпадания объекта под понятие рассматривается Фреге как самое фундаментальное из всех логических отношений. Оно составляет ядро простейшего вида мысли, какой мы только можем помыслить. Рассмотрим, например, мысль о том, что Готлоб — человек. Это означает, что мы мыслим некий объект — а именно Готлоба — как обладающий определенным свойством, а именно свойством быть человеком. Фреге характеризует это как мысль о том, что конкретный объект (Готлоб) подпадает под конкретное понятие (понятие «человек»). Для Фреге это отношение не подлежит дальнейшему анализу и служит основой для более сложных мыслей, таких как мысль о том, что все люди смертны, которую он характеризует как мысль о том, что любой объект, подпадающий под понятие «человек», также подпадает под понятие «смертный».

Мы также можем иметь мысли о понятиях, например о том, что понятие «страница этой книги» имеет 150 экземпляров. Фреге характеризует это как мысль о том, что понятие «страница этой книги» входит в понятие «имеет 150 экземпляров», где понятие «страница этой книги» является понятием первого уровня, а понятие «имеет 150 экземпляров» — понятием второго уровня. Понятия первого уровня — это понятия, под которые подпадают объекты, а понятия второго уровня — это понятия, в которые входят понятия первого уровня. (Фреге проводит здесь различие между подпаданием под и вхождением в, чтобы подчеркнуть разницу между соответствующими уровнями, но эти два отношения аналогичны.) Таким образом, с точки зрения Фреге, высказывания о числах следует анализировать как утверждения о понятии первого уровня, свидетельствующие о том, что оно входит в понятие второго уровня — понятие второго уровня, которое приписывает понятию первого уровня определенное число экземпляров. Сказать, что в этой книге 150 страниц, означает, таким образом, сказать, что понятие первого уровня «страница этой книги» входит в понятие второго уровня «имеет 150 экземпляров».

Мы также можем утверждать что-то о понятиях второго уровня, что требует понятий третьего уровня и так далее. Понятие «понятие второго уровня» является примером понятия третьего уровня (поскольку понятия второго уровня входят в него). Таким образом, с точки зрения Фреге, существует иерархия понятий: понятия первого уровня, понятия второго уровня, понятия третьего уровня и так далее. Вопрос о том, сколько вещей существует — даже самых базовых «видов вещей», — уже начинает казаться гораздо более сложным, чем мы могли предположить сначала!

Объемы понятий

Различие между объектами и понятиями является самым фундаментальным различием в философии Фреге (и подобные различия проводились на протяжении всей истории философии). Но есть еще один вид вещей, который нам необходимо ввести, прежде чем мы сможем вернуться к вопросу о том, сколько вещей существует. Это то, что Фреге называет «объемом понятия», или, как его еще называют, «классом» либо «множеством». Здесь определяющий принцип заключается в том, что для каждого понятия существует класс вещей, которые под него подпадают. Возьмем, к примеру, понятие «человек». Под это понятие подпадают Готлоб Фреге, Людвиг Витгенштейн, Сьюзан Стеббинг и так далее. Эти объекты являются членами класса людей; в терминологии Фреге они принадлежат к объему понятия «человек». Этот класс, согласно Фреге, сам по себе является разновидностью объекта, но не «конкретным», а «абстрактным» объектом. «Конкретные» объекты — это объекты, существующие в нашем эмпирическом, пространственно-временном мире; «абстрактные» объекты — это объекты нашего рационального мышления, чье «существование» является еще одним из тех каверзных вопросов, которые мучают философов по меньшей мере со времен Платона. Говоря более конкретно, Фреге рассматривает классы как логические объекты, поскольку идея класса традиционно рассматривалась как логическая, причем логика понималась как то, что управляет нашим рациональным мышлением.

Давайте пока согласимся с Фреге и будем рассматривать классы (объемы понятий) как абстрактные, логические объекты. (Мы подробнее исследуем эту идею в главе 2.) Традиционно числа также рассматривались как разновидность абстрактных объектов. Фреге, безусловно, считал их именно объектами, а не понятиями. Мы говорим, например, «число один», что указывает на его отношение к объекту, а когда мы говорим «2 — это квадратный корень из 4», это можно проанализировать как утверждение о том, что объект 2 подпадает под понятие «квадратный корень из 4». Так можно ли рассматривать числа как логические объекты? Чтобы ответить «да», очевидное предложение состоит в том, чтобы найти подходящие классы, с которыми их можно отождествить, и именно это сделал Фреге.

Очевидное предложение состоит в том, чтобы отождествить первое из натуральных чисел, а именно число 0, с пустым классом. Именно так поступают в современной теории множеств, и это простейшее определение. Фреге, по сути, предлагает более сложное определение, отождествляя число 0 не напрямую с пустым классом, а с классом классов, имеющих то же количество членов, что и пустой класс; но мы можем проигнорировать это усложнение здесь. Для наших нынешних целей давайте примем, что это дает нам наше первое натуральное число, число 0, определенное как пустой класс. Затем мы можем сформировать понятие «быть тождественным 0» (то есть понятие «быть тождественным пустому классу»). Здесь соответствующий класс имеет всего один член, а именно 0 (сам пустой класс), поскольку только этот объект (то есть 0) тождественен 0. Этот класс (класс вещей, тождественных 0) отличается от своего единственного члена (0, то есть пустого класса), поскольку первый имеет один член, а второй не имеет членов, поэтому мы можем отождествить число 1 с этим классом (классом вещей, тождественных 0). Теперь у нас есть два объекта, и мы можем сформировать понятие «быть тождественным 0 или 1» (используя в данном случае дополнительное логическое понятие дизъюнкции). Это дает нам соответствующий класс, который мы можем отождествить с числом 2, и так далее. Таким образом, начиная с пустого класса и используя только логические понятия, мы можем определить все натуральные числа.

Может ли существовать множество всех объектов?

Введение идеи класса — или множества, или объема понятия — предлагает нам новый подход к нашему первоначальному вопросу: сколько существует вещей? Если на этот вопрос есть ответ, то разве не должно существовать класса всех вещей? Оставив в стороне понятия, давайте ограничимся объектами, понимаемыми как включающие логические объекты, такие как классы или множества. Давайте также перейдем здесь к разговору о «множествах», а не о «классах». (Для большинства целей вы можете считать эти два термина синонимами. Теоретики множеств сейчас проводят различие между множествами и классами, но здесь мы можем это проигнорировать. Слово «множество» используется в том, что мы сейчас собираемся обсуждать.) Существует ли множество всех объектов? Очевидно, что если множества сами являются объектами, то это множество будет содержать само себя, но есть ли в этом какая-то проблема? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно ввести понятие подмножества и осмыслить отношение между множеством и его подмножествами.

Рассмотрим множество из двух объектов, которое мы можем записать как «{a, b}», где фигурные скобки указывают на то, что перед нами множество, а «a» и «b» обозначают два члена этого множества. Сколько подмножеств имеет это множество? По соглашению, как пустое множество (обозначаемое как «Ø»), так и само множество, в данном случае {a, b}, считаются подмножествами любого множества. Это означает, что ответ — четыре: Ø, {a}, {b}, {a, b}. (Вы можете представить подмножество как выборку из множества. Предположим, вам предлагают два пирожных. Вы можете взять одно или другое (но не оба) из них (если вы вежливы) — это два возможных варианта выбора. Но вы также можете не брать ни одного из них (если вы на диете) или взять оба (если вы особенно голодны). Таким образом, всего существует четыре возможных варианта выбора.)

Аналогично, множество из трех объектов, {a, b, c}, имеет восемь подмножеств: Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. В общем случае множество, состоящее из n членов, имеет 2ⁿ подмножеств. Но 2ⁿ всегда больше, чем n, а это значит, что подмножеств всегда больше, чем членов множества. (Каждый член сам по себе образует подмножество, и еще больше подмножеств можно составить из комбинаций.) Рассмотрим теперь множество всех объектов, то есть множество, членами которого являются все существующие объекты. Если множества, включая подмножества, сами являются объектами, то в итоге оказывается больше объектов (а именно подмножеств), чем объектов (а именно членов). Отталкиваясь от множества всех объектов, мы, по всей видимости, можем создать еще большее множество — множество всех его подмножеств, его так называемое «степенное множество» (булеан). Поскольку это противоречие (объектов не может быть больше, чем всех объектов), не может существовать такого множества, как множество всех объектов. Этот метод аргументации называется reductio ad absurdum («сведение к абсурду»): если из данной гипотезы можно вывести противоречие, то это дает нам основание отвергнуть данную гипотезу.

На этом этапе может показаться, что ответ на вопрос «Сколько существует вещей?» очевиден. И действительно, не упустили ли мы очевидный ответ с самого начала? Не можем ли мы просто сказать «бесконечность» или «бесконечно много»? Учитывая, что существует неограниченно много способов мыслить о вещах (посредством понятий), не является ли это единственно возможным ответом? Если одну лишь вещь (так сказать) можно сосчитать как одну книгу, или 150 страниц, или 38 000 слов, или еще большее число атомов, то не следует ли нам просто сказать, что существует «бесконечное» число вещей, и покончить с этим?

«Бесконечность» — это слово, которым легко злоупотребить. В качестве ответа на вопрос о количестве оно может предложить простой способ уклониться от вопроса — подобно ответу «Где-то еще» на вопрос «Где я был до того, как был зачат?». Подобные ответы на самом деле служат лишь для того, чтобы скрыть наше замешательство от незнания того, как правильно ответить на вопрос. Иногда, конечно, «бесконечность» используется просто в значении «очень много» — настолько много, что мы не можем на практике сосчитать соответствующие вещи. Мы могли бы назвать это ее нестрогим смыслом. Но у нее есть и более строгий смысл, который кто-то может иметь в виду, утверждая, что существует «бесконечное» число вещей.

Рассмотрим множество натуральных чисел: {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}. Здесь мы действительно говорим, что существует бесконечность таких чисел. Ряд натуральных чисел можно продолжать неограниченно: для любого числа в этом ряду следующее можно получить путем прибавления единицы — процесс, который, как часто говорят, может продолжаться ad infinitum (до бесконечности). Это дает нам определенную модель использования термина «бесконечность» в его строгом смысле. Сказать, что множество имеет бесконечное число членов, значит сказать, что оно имеет то же число членов, что и множество натуральных чисел.

Но как нам судить о равночисленности — то есть о том, что два множества имеют одинаковое число членов? В случае сравнительно небольших конечных множеств мы можем просто сосчитать их члены и посмотреть, получится ли один и тот же результат. Но в случае относительно больших конечных или бесконечных множеств мы не можем просто сосчитать члены. Так как же нам их сравнить? Рассмотрим то, что сегодня называют «парадоксом Галилея» (врезка 1). Какой ответ дали бы вы?

Врезка 1. Парадокс Галилея

Сравните следующие два множества: множество натуральных чисел и множество квадратов:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}

{0, 1, 4, 9, 16, 25, ….}

Какое множество больше, или же они имеют одинаковое число членов? С одной стороны, первое кажется больше, поскольку оно включает в себя все числа из второго и сверх того. С другой стороны, каждому члену первого множества соответствует член второго множества, и наоборот, так что они, несомненно, имеют одинаковое число членов?

Наши «интуиции» относительно того, что здесь сказать, вступают в конфликт. Происходит следующее: у нас есть два критерия равночисленности, которые в случае бесконечных множеств расходятся. Согласно первому критерию, два множества имеют одинаковое число элементов, если ни одно из них не больше другого в том смысле слова «больше», при котором множество всегда больше любого своего собственного подмножества (где слово «собственное» исключает случай, когда подмножество совпадает с самим множеством). Согласно другому критерию, два множества имеют одинаковое число элементов, если их члены можно взаимно-однозначно сопоставить друг с другом. В конечных случаях эти два критерия дают одинаковый результат. Рассмотрим, например, множество натуральных чисел до 25 (включительно) и множество квадратов до 25 (включительно). Очевидно, что первое больше второго: последнее является собственным подмножеством первого. Эти два множества также нельзя взаимно-однозначно сопоставить. Таким образом, эти два множества не имеют одинакового числа членов.

Однако в случае бесконечных множеств эти два критерия расходятся. Множество квадратов является собственным подмножеством множества натуральных чисел, и тем не менее члены этих двух множеств могут быть взаимно-однозначно сопоставлены. Поэтому нам явно необходимо решить, какой из этих двух критериев является ключевым. Если мы примем первый, то отсюда сразу же последует, что бесконечные множества бывают самых разных размеров. Но как именно в таком случае нам упорядочить их по размеру? Гораздо проще принять второй критерий. С этой точки зрения два множества, которые мы только что рассмотрели, действительно имеют одинаковое число членов, поскольку их члены можно взаимно-однозначно сопоставить.

Если принять этот второй критерий, то он, по-видимому, даст нам возможный ответ на наш вопрос о том, сколько существует вещей. Существует «бесконечное» число вещей, под чем понимается, что вещей столько же, сколько существует натуральных чисел. Этот взгляд, однако, допускает, что множество вещей может быть как «больше», так и «меньше» множества натуральных чисел в смысле первого критерия. Продвинулись ли мы благодаря этому хоть немного вперед?

Мы рассмотрели множество натуральных чисел и обнаружили — возможно, вопреки интуиции, — что это множество содержит столько же членов, сколько и множество квадратов, хотя последнее в некотором смысле «меньше». Но существуют ли множества «больше», чем множество натуральных чисел, в том смысле, что существует множество, для которого множество натуральных чисел является собственным подмножеством? Ответ, разумеется, да. Одним из примеров является множество положительных рациональных чисел, то есть множество чисел вида p/q, где p и q — натуральные числа (исключая ). Оно включает в себя не только все натуральные числа, но и все положительные дробные числа, такие как ½, 1¼, 2¾ и т. д. Так что оно явно «больше». В самом деле, оно может показаться «бесконечно» большим, поскольку между любыми двумя натуральными числами существует бесконечно много дробей, и это повторяется бесконечное число раз. Поэтому мы можем подумать, что перед нами бесконечность × бесконечность.

Однако можно показать, что множество натуральных чисел и множество положительных рациональных чисел на самом деле имеют одинаковое число членов — в том смысле, что их можно взаимно-однозначно сопоставить. Чтобы продемонстрировать это, давайте представим положительные рациональные числа в виде таблицы (рисунок 1).

1. Сопоставление натуральных и рациональных чисел.

Если предположить, что эту таблицу можно продолжать до бесконечности, как указывают многоточия, должно быть ясно, что все положительные рациональные числа могут быть представлены таким образом. Конечно, при таком подходе каждое рациональное число представляется более одного раза, поскольку, например, 2/2 эквивалентно 1/1. Все последующие вхождения рационального числа на рисунке 1 выделены курсивом.

Теперь вспомним, что два множества имеют одинаковое число членов (согласно предпочтительному критерию), если члены каждого множества можно взаимно-однозначно сопоставить. Представьте себе, что вы проходите по таблице на рисунке 1 в направлении, указываемом стрелками, и ведете при этом счет: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. Если пропускать все выделенные курсивом числа, то мы получим способ сопоставления всех положительных рациональных чисел с натуральными числами. Таким образом, эти два множества действительно имеют одинаковое число членов. Остроумно — рациональных чисел ровно столько же, сколько натуральных!

Теперь рассмотрим множество действительных чисел. Это множество включает в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Иррациональные числа — это числа, которые невозможно выразить в виде дроби, такие как √2, √3 и π. Имеет ли множество действительных чисел столько же членов, сколько и множество натуральных чисел? К этому моменту вы, возможно, совершенно не представляете, что сказать: любые «интуитивные представления», которые у вас могли быть по этому поводу, уже оказались шаткими. Это множество наверняка гораздо, гораздо больше; и все же множество рациональных чисел тоже казалось таким.

На самом деле можно доказать, что множество действительных чисел «действительно» больше множества натуральных чисел, даже по критерию взаимно-однозначного сопоставления. Чтобы показать это, предположим в качестве гипотезы, что эти два множества можно взаимно-однозначно сопоставить, и посмотрим, сможем ли мы вывести из этой гипотезы противоречие. Представим также, что действительные числа выражены в десятичной записи. Неважно, как именно мы упорядочим действительные числа, если только мы сопоставим каждому натуральному числу уникальное действительное число. Итак, представим, что эти два множества можно сопоставить следующим образом:

1. 1.000000000 ….

2. 1.333333333 ….

3. 3.141592653 ….

4. 9.698502193 ….

5. 2.718281828 ….

6. 7.428571429 ….

… …

Если наша гипотеза верна, то каждое действительное число должно быть представлено в этой таблице, уходящей в бесконечность. Однако теперь легко составить действительное число, которого нет во втором столбце. Один из способов сделать это — взять первую цифру в первой строке и прибавить единицу , вторую цифру во второй строке и прибавить единицу , третью цифру в третьей строке и прибавить единицу и так далее, получив в данном случае число 2.45938... Это число явно отличается от любого числа в этом списке как минимум в одном десятичном знаке. Мы можем представить, что это число получено путем проведения диагональной линии через второй столбец таблицы; и таких диагональных линий, очевидно, можно провести бесконечно много, и каждая из них может дать действительное число, отсутствующее в списке. Таким образом, гипотеза о том, что множество действительных чисел можно взаимно-однозначно сопоставить с множеством натуральных чисел, неверна: действительных чисел больше, чем натуральных. Иначе говоря, действительные числа несчетны, то есть их невозможно пересчитать.

Это доказательство не менее остроумно, чем предыдущее. Сейчас оно называется диагональным методом Кантора (в честь немецкого математика Георга Кантора (1845–1918), который впервые представил его в 1891 году). Его результат действительно поразителен: существует более одного размера бесконечности! Эти «бесконечности» Кантор назвал трансфинитными числами. Первое трансфинитное число называется «алеф-ноль» (алеф — первая буква еврейского алфавита) и записывается как «ℵ₀». Это число отвечает на вопрос: сколько существует натуральных чисел? Следующее трансфинитное число — алеф-один, записываемое как «ℵ₁». Это число отвечает на вопрос: сколько существует действительных чисел?

Начиная с «ℵ₀» и «ℵ₁», Кантор показал, как получить целый ряд трансфинитных чисел, каждое из которых больше предыдущего. Мы начинали с мысли о том, что существует только одна «бесконечность»; если Кантор прав, то существует «бесконечность бесконечностей» — или, точнее, ℵ₀ трансфинитных чисел. Дальнейшие детали гораздо сложнее, поэтому на этом мы завершим наше мысленное путешествие сквозь бесконечность. Главный вывод здесь заключается в том, что, стремясь прояснить наше обыденное представление о бесконечности, мы можем прийти к более точному понятию трансфинитного.

Так сколько же всего существует вещей?

Казалось бы, у нас был простой ответ на вопрос о том, сколько вещей существует: бесконечность. Но теперь мы видим, что это понятие имеет множество значений. Даже если оставить в стороне его нестрогое значение, мы можем выделить неограниченно много строгих смыслов, начиная с первого трансфинитного числа, ℵ₀, и далее. И теперь мы действительно не знаем, что ответить на наш вопрос. Даже если существует «бесконечность» вещей, равна ли она ℵ₀, ℵ₁ или какому-то еще большему числу? Если она равна ℵ₀, мы можем пересчитать эти вещи, но если она больше, то не можем. Если натуральные числа сами по себе являются «вещами», то существует как минимум ℵ₀ вещей; если же «вещами» также являются и множества, то их не просто гораздо больше, но мы даже не уверены, какой ответ вообще можно здесь дать. Мы проделали долгий путь!

Мы начали с казавшегося простым вопроса, а пришли к поразительным результатам. Однако, если говорить о поиске ответа на этот вопрос, наш путь — лишь долгий способ сказать, что нам действительно необходимо уточнить, какого рода вещи мы имеем в виду, задавая его. Если мы имеем в виду натуральные числа, то можем дать определенный ответ: ℵ₀. Если мы имеем в виду действительные числа, мы также можем дать определенный (но иной) ответ: ℵ₁. Если мы имеем в виду какой-то конкретный вид обычных конечных объектов, таких как книги, стулья или клетки, то нам, возможно, придется их сосчитать или найти какой-то подходящий способ вычисления либо оценки их количества. Простой вопрос «Сколько вещей существует?» не допускает простого ответа без уточнения соответствующего понятия (или понятий), посредством которого мы эти вещи мыслим.

Как уже отмечалось во Введении, этот вопрос — лишь один из примеров типичного философского вопроса. На подобные вопросы может не быть прямого ответа, но, пытаясь ответить на них или показать, почему на них нельзя ответить прямо или почему они и вовсе «бессмысленны», нам приходится проводить анализ — под чем здесь подразумевается прежде всего выявление их возможных значений и, при необходимости, введение новых понятий для придания этим значениям большей точности. Зачастую легко дать простые ответы вроде «бесконечность», но, анализируя такие термины, мы обычно обнаруживаем, что проблемы гораздо сложнее, чем казалось вначале. Нам может потребоваться прояснить множество других вопросов, и для этого может возникнуть необходимость в изобретении новых терминов, таких как «трансфинитное число», «ℵ₀» и так далее. Именно это делает анализ сложной, но в то же время увлекательной и плодотворной задачей. Это не сводится к простому «распутыванию» или «различению». Требуется концептуальное творчество для введения подходящих понятий, которые открывают новые формы и возможности мышления.