Один, два и три — всё это целые числа, как и минус четыре. Если продолжать считать вверх или вниз, вы непременно встретите ещё множество целых чисел. Однако вы не встретите ничего под названием «положительная бесконечность» или «отрицательная бесконечность», так что они целыми числами не являются.
Положительная и отрицательная бесконечности — это не целые числа, а скорее особые символы для описания поведения целых чисел. Люди иногда говорят что-то вроде «5 + бесконечность = бесконечность», ведь если начать с пяти и продолжать считать вверх без остановки, вы будете получать всё большие и большие числа без всякого предела. Но из этого не следует, что «бесконечность - бесконечность = 5». Вы не можете бесконечно считать вверх от нуля, а затем бесконечно считать вниз, а закончив, обнаружить себя в точке 5.
Из этого видно, что бесконечность не просто не является целым числом — она даже не ведёт себя как целое число. Если вы опрометчиво попытаетесь смешать бесконечности с целыми числами, вам понадобятся всевозможные новые, кажущиеся противоречивыми особенности поведения, которые не нужны для 1, 2, 3 и других настоящих целых чисел.
И пусть бесконечность не целое число, вам не стоит беспокоиться, что вы останетесь без чисел. Хотя люди и видели пять овец, миллионы песчинок и септиллионы атомов, никто никогда не насчитал бесконечность чего бы то ни было. То же самое и с непрерывными величинами: люди измеряли пылинки размером в миллиметр, животных размером в метр, города протяженностью в километры и галактики размером в тысячи световых лет, но никто никогда не измерял ничего бесконечного в размерах.
В реальном мире вам не нужно так уж много бесконечности.
(Должен заметить для более искушенных читателей, что им нет нужды писать мне пространные объяснения, скажем, разницы между ординальными и кардинальными числами. Да, я знаком с различными сложными теоретико-множественными определениями бесконечности, но не вижу им хорошего применения в теории вероятностей. См. ниже.)
При обычном способе записи вероятности лежат в диапазоне от 0 до 1. Монета может иметь вероятность выпадения решки 0,5, а синоптик может оценить вероятность завтрашнего дождя в 0,9.
Однако это не единственный способ представления вероятностей. Например, вы можете преобразовать вероятности в шансы по формуле O = (P∕(1 - P)). Таким образом, вероятность в 50% превратится в шансы 0,5/0,5, или 1 (обычно записывается как 1:1), в то время как вероятность 0,9 превратится в шансы 0,9/0,1, или 9 (обычно записывается как 9:1). Чтобы перевести шансы обратно в вероятности, используется формула P = (O∕(1 + O)), и этот переход абсолютно обратим, так что данное преобразование представляет собой изоморфизм — взаимно однозначное двустороннее отображение. Таким образом, вероятности и шансы изоморфны, и вы можете использовать то или другое в зависимости от удобства.
Например, шансы удобнее использовать при байесовском обновлении. Допустим, я бросаю шестигранный кубик: если выпадает любая грань, кроме единицы, вероятность услышать звонок составляет 10%, но если выпадает единица, вероятность услышать звонок равна 20%. Я бросаю кубик и слышу звонок. Каковы шансы, что на кубике выпала единица? Что ж, априорные шансы равны 1:5 (что соответствует вещественному числу 1/5 = 0,20), а отношение правдоподобия составляет 0,2:0,1 (соответствует вещественному числу 2). Я могу просто перемножить их и получить апостериорные шансы 2:5 (что соответствует вещественному числу 2/5, или 0,40). Затем при желании я могу перевести их обратно в вероятность и получить (0,4∕1,4) = 2/7 = ~29%.
Таким образом, с шансами проще работать при байесовском обновлении — если использовать вероятности, придётся применять теорему Байеса в её сложном варианте. Зато вероятности удобнее для ответов на вопросы вроде: «Если я брошу шестигранный кубик, какова вероятность, что выпадет число от 1 до 4?». Вы можете сложить вероятности 1/6 для каждой грани и получить 4/6, но вы не можете просто сложить отношения шансов 0,2 для каждой грани и получить отношение шансов 0,8.
Зачем я всё это говорю? Чтобы показать, что «отношения шансов» — это столь же законный способ отображения неопределенности на вещественные числа, что и «вероятности». Отношения шансов удобнее для одних операций, вероятности — для других. Знаменитое доказательство, известное как теорема Кокса (вместе с различными её расширениями и уточнениями), показывает, что все способы представления неопределенности, подчиняющиеся некоторым разумно звучащим ограничениям, в итоге оказываются изоморфными друг другу.
Почему важно, что отношения шансов столь же законны, как и вероятности? Вероятности в их обычном виде лежат в диапазоне от 0 до 1, и кажется, что и 0, и 1 должны быть легко достижимыми величинами — ведь легко увидеть 1 зебру или 0 единорогов. Но когда вы переводите вероятности в отношения шансов, 0 переходит в 0, а вот 1 переходит в положительную бесконечность. И теперь абсолютная истина уже не кажется столь легкодостижимой.
Способ представления, который делает байесовское обновление ещё проще, — это логарифм шансов (именно так рекомендовал думать о вероятностях Э. Т. Джейнс). Допустим, априорная вероятность некоторого утверждения составляет 0,0001 — это соответствует логарифму шансов примерно в -40 децибел. Затем вы сталкиваетесь со свидетельством, которое кажется в 100 раз более вероятным, если утверждение истинно, нежели если оно ложно. Это даёт 20 децибел свидетельства. Таким образом, апостериорные шансы составят около -40 дБ + 20 дБ = -20 дБ, то есть апостериорная вероятность равна ~0,01.
При переводе вероятностей в логарифмы шансов 0 переходит в отрицательную бесконечность, а 1 — в положительную бесконечность. Теперь и бесконечная уверенность, и бесконечная невероятность кажутся чуть более недосягаемыми.
Но при переходе к отношениям шансов значения 0,502 и 0,503 переходят в 1,008 и 1,012, а 0,9999 и 0,99999 — в 9 999 и 99 999. А при переходе к логарифмам шансов 0,502 и 0,503 превращаются в 0,03 децибела и 0,05 децибела, в то время как 0,9999 и 0,99999 — в 40 децибел и 50 децибел.
Когда вы работаете с логарифмами шансов, расстояние между любыми двумя степенями неопределённости равно количеству свидетельств, которое потребуется, чтобы перейти от одной к другой. То есть логарифм шансов даёт нам естественную меру расстояния между степенями уверенности.
Использование логарифма шансов выявляет тот факт, что достижение бесконечной уверенности требует бесконечно сильных свидетельств, точно так же как бесконечная абсурдность требует бесконечно сильных опровергающих свидетельств.
Более того, у всевозможных стандартных теорем теории вероятностей возникают особые случаи, если попытаться подставить в них единицы или нули — например, когда вы пытаетесь провести байесовское обновление для наблюдения, которому присвоили вероятность 0.
Поэтому я предлагаю считать, что 1 и 0 не входят в множество вероятностей — точно так же как отрицательная и положительная бесконечности, которые не подчиняются аксиомам поля, не входят в множество вещественных чисел.
Главная причина, почему это расстроило бы специалистов по теории вероятностей, заключается в том, что нам пришлось бы заново выводить теоремы, ранее полученные в предположении, что мы можем проводить маргинализацию совместной вероятности, складывая все её части так, чтобы в сумме они давали 1.
Однако в реальном мире, когда вы бросаете игральную кость, нет буквально никакой бесконечной уверенности в том, что выпадет какое-то число от 1 до 6. Кость может встать на ребро, в неё может попасть метеорит, или Тёмные Владыки Матрицы могут протянуть руку и написать «37» на одной из граней.
Если бы вы ввели магический символ для обозначения «всех возможностей, которые я не учёл», то вы могли бы провести маргинализацию по событиям, включая этот магический символ, и прийти к магическому символу «T», обозначающему бесконечную уверенность.
Но я предпочёл бы задаться вопросом, нельзя ли как-то вывести теорему без использования магических символов с особым поведением. Это было бы куда элегантнее. Подобно тому как существуют математики, отказывающиеся верить в закон исключённого третьего или в бесконечные множества, мне хотелось бы быть специалистом по теории вероятностей, который не верит в абсолютную уверенность.
*