Если вам нужно выбрать между двумя альтернативами, А и Б, и вы каким-то образом ухитряетесь обрести достоверно точную, хорошо откалиброванную 100-процентную уверенность в том, что вариант А абсолютно и полностью желателен, а вариант Б — это средоточие всего злого и отвратительного, то это достаточное условие для того, чтобы предпочесть вариант А варианту Б. Но это не необходимое условие... Вы можете обладать лишь не вполне уверенным знанием о том, какой из вариантов относительно лучше, а какой относительно хуже, и всё равно сделать выбор. На самом деле, это должно быть обычным делом.
Что касается утверждения «2 + 2 = 4», мы должны отличать карту от территории. Учитывая кажущуюся абсолютную стабильность и универсальность физических законов, вполне возможно, что за всю историю Вселенной ни одна частица ни разу не превысила локальную скорость света. То есть предел скорости света может быть не просто истинным в 99% случаев, или в 99,9999% случаев, или в (1 − 1/гуголплекс) случаев, а просто всегда и абсолютно истинным.
Но можем ли мы когда-либо иметь абсолютную уверенность в ограничении скорости света — это совсем другой вопрос. Карта — не территория.
То, что студент списал свою работу, может быть чистой и абсолютной правдой, но имеете ли вы вообще хоть какое-то знание об этом факте — не говоря уже об абсолютной уверенности в своём мнении, — это отдельный вопрос. Если вы подбросите монетку и не посмотрите на неё, то факт, что она лежит орлом вверх, может быть абсолютно истинным, в то время как вы будете совершенно не уверены, орёл там выпал или решка. Степень неопределённости — это не то же самое, что степень истинности или частота события.
То же самое справедливо и для математических истин. Сомнительно, можно ли назвать утверждение «2 + 2 = 4» или «В арифметике Пеано SS0 + SS0 = SSSS0» истинным в каком-то чисто абстрактном смысле, отдельно от физических систем, поведение которых кажется схожим с аксиомами Пеано. Сказав это, я тем не менее пойду напролом и предположу: в каком бы смысле утверждение «2 + 2 = 4» ни было истинным, оно истинно всегда и в точности, а не приблизительно («2 + 2 на самом деле равно 4,0000004») и не в 999 999 999 999 случаях из 1 000 000 000 000.
Я не совсем уверен, что должно означать слово «истинно» в данном случае, но остаюсь при своём предположении. Убедительность утверждения «"2 + 2 = 4" истинно всегда» намного превосходит убедительность любой конкретной философской позиции касательно того, что именно означают слова «истинно», «всегда» или «есть» в приведённом выше суждении.
Это, однако, не означает, что у меня есть абсолютная уверенность в том, что 2 + 2 = 4. Обратитесь к предыдущему обсуждению того, как убедить меня в том, что 2 + 2 = 3 — это можно было бы сделать с помощью примерно тех же свидетельств, которые изначально убедили меня, что 2 + 2 = 4. Все те прежние свидетельства могли мне померещиться в галлюцинации, или же я могу неверно их помнить. В анналах неврологии описаны и более странные нарушения работы мозга.
Так какую же вероятность нам следует приписать утверждению «2 + 2 = 4», если мы вообще приписываем ему какую-то вероятность? В подобных случаях вы стремитесь достичь хорошей калибровки — чтобы утверждения, которым вы присваиваете «вероятность 99%», оказывались верными в 99 случаях из 100. На самом деле это чертовски сложнее, чем может показаться. Возьмите сто человек и попросите каждого сделать десять заявлений, в которых они «уверены на 99%». Как вы думаете, окажутся ли ошибочными примерно 10 заявлений из этой тысячи?
Я не стану обсуждать реальные эксперименты, проводившиеся по калибровке, — вы можете найти их в главе моей книги «Когнитивные искажения, потенциально влияющие на суждения о глобальных рисках», — потому что я не раз замечал: когда я выкладываю это людям без надлежащей подготовки, они впоследствии используют это как Абсолютно Универсальный Контраргумент, который почему-то мгновенно всплывает в памяти, как только им нужно принизить уверенность кого-то, чьё мнение им не нравится, но напрочь забывается, когда они оценивают собственные суждения. Поэтому я стараюсь не говорить об экспериментах по калибровке, кроме как в рамках структурированного изложения рациональности, включающего предостережения против мотивированного скептицизма.
Но наблюдаемая калибровка людей, заявляющих, что они «уверены на 99%», не даёт 99-процентной точности.
Предположим, вы говорите, что на 99,99% уверены в том, что 2 + 2 = 4. Тем самым вы только что заявили, что могли бы сделать 10 000 независимых утверждений с такой же степенью уверенности и ошибиться в среднем лишь однажды. Возможно, для «2 + 2 = 4» столь исключительная степень уверенности и достижима: это утверждение чрезвычайно простое, одновременно математическое и эмпирическое, а также широко признанное в обществе (без страстного одобрения, а просто как нечто молчаливо само собой разумеющееся). Так что, пожалуй, здесь вы действительно могли бы дойти до уверенности в 99,99%.
Не думаю, что вы смогли бы достичь уверенности в 99,99% для таких утверждений, как «53 — простое число». Да, это кажется весьма вероятным, но если бы вы попытались разработать протоколы, которые позволили бы вам сделать 10 000 независимых заявлений такого рода — то есть не просто ряд утверждений о простых числах, а всякий раз новый протокол, — вы бы ошиблись больше одного раза. У Питера де Блана есть забавная история на этот счёт. (Я сказал ему больше так не делать.)
И всё же карта — не территория: если я говорю, что уверен на 99% в том, что 2 + 2 = 4, это не значит, будто я считаю, что равенство «2 + 2 = 4» верно с точностью до 99% или что «2 + 2 = 4» истинно в 99 случаях из 100. Суждение, в котором я выражаю уверенность, состоит в том, что «"2 + 2 = 4" истинно всегда и в точности», а не в том, что «"2 + 2 = 4" истинно по большей части и обычно».
Что касается представления о том, что можно достичь 100%-й уверенности в математическом суждении — ну в самом деле! Если вы заявляете о 99,9999% уверенности, вы тем самым утверждаете, что могли бы сделать миллион столь же рискованных заявлений одно за другим и ошибиться в среднем лишь однажды. Это примерно целый год непрерывных разговоров, если вы способны делать по одному утверждению каждые 20 секунд и говорить по 16 часов в день.
Заявите о 99,9999999999%-й уверенности, и вы поднимете ставку до триллиона. И теперь вы собираетесь говорить на протяжении ста человеческих жизней и ни разу не ошибиться?
Заявите об уверенности в (1 - 1/гуголплекс), и ваше эго далеко превзойдёт эго душевнобольных, считающих себя Богом.
А гуголплекс намного меньше даже относительно небольших невообразимо огромных чисел вроде 3 ↑↑↑ 3. Но даже уверенность в (1 - 1∕3 ↑↑↑ 3) ненамного ближе к ВЕРОЯТНОСТИ 1, чем 90%-я уверенность в чём-либо.
Если всё остальное бессильно, гипотетические Тёмные Владыки Матрицы, которые прямо сейчас вмешиваются в то, как ваш мозг оценивает достоверность вот этого самого предложения, преградят путь и защитят нас от бича бесконечной уверенности.
Абсолютно ли я уверен в этом?
Да конечно же нет.
Как однажды сказал Рафал Смигродский:
Я бы сказал, что вы должны иметь возможность присваивать степень уверенности меньше единицы даже тем математическим понятиям, которые необходимы для вывода самого правила Байеса, и всё же использовать его на практике. Я не вполне уверен, что должен всегда сомневаться. Возможно, в чём-то я могу быть уверен с полным на то основанием. Но стоит мне присвоить суждению вероятность 1, я уже никогда не смогу это отменить. Что бы я ни увидел и ни узнал, мне придётся отвергать всё, что противоречит этой аксиоме. Мне не нравится мысль, что я больше никогда не смогу изменить своё мнение.
*