Первый закон термодинамики, более известный как закон сохранения энергии, гласит, что нельзя создать энергию из ничего: он запрещает вечные двигатели первого рода, которые работают бесконечно, не потребляя топлива или других ресурсов. Согласно современным физическим представлениям, энергия сохраняется в каждом отдельном взаимодействии частиц. Методом математической индукции мы видим, что сколь бы крупным ни было скопление частиц, оно не может производить энергию из ничего — во всяком случае, без нарушения того, что мы сейчас считаем законами физики.

Вот почему Патентное ведомство США без лишних разговоров отклонит ваше поразительно остроумное предложение по созданию системы колес и шестеренок, в которой одна пружина заводит другую по мере того, как первая раскручивается, благодаря чему вся конструкция, согласно вашим расчетам, совершает работу вечно. Существует универсальное доказательство того, что для этого как минимум одно колесо должно нарушить законы физики (в нашей стандартной модели). Так что, если вы не можете объяснить, как одно колесо нарушает законы физики, система колес тоже этого сделать не сможет.

Аналогичный аргумент применим и к «безопорному двигателю» — двигательной установке, нарушающей закон сохранения импульса. В стандартной физике импульс сохраняется для всех отдельных частиц и их взаимодействий; методом математической индукции импульс сохраняется для физических систем любого масштаба. Если вы можете представить, как две частицы сталкиваются и всегда разлетаются с тем же суммарным импульсом, с которым начали движение, то вы поймете, что масштабирование от частиц до гигантской сложной системы шестеренок ничего не изменит. Даже если в этом участвует триллион квадриллионов атомов, 0 + 0 + … + 0 = 0.

Но закон сохранения энергии как таковой не может запретить превращение тепла в работу. Вы действительно можете построить герметичный ящик, который превращает кубики льда и запасенное электричество в теплую воду. Это даже несложно. Энергия не может быть создана или уничтожена: чистое изменение энергии при переходе от (кубики льда + электричество) к (теплая вода) должно быть равно нулю. Таким образом, закон сохранения энергии как таковой не был бы нарушен, если бы вы проделали все это в обратном направлении...

Вечные двигатели второго рода, превращающие теплую воду в электрический ток и кубики льда, запрещены Вторым законом термодинамики.

Второй закон понять немного сложнее, поскольку по своей сути он байесовский.

Да, серьезно.

Главным физическим законом, лежащим в основе Второго закона термодинамики, является теорема, которую можно доказать в рамках стандартной физической модели: при эволюции любой замкнутой системы во времени объем фазового пространства сохраняется.

Допустим, вы держите мяч высоко над землей. Мы можем описать это положение дел как точку в многомерном пространстве, как минимум одним из измерений которого является «высота мяча над землей». Затем, когда вы отпускаете мяч, он начинает двигаться, а вместе с ним движется и безразмерная точка в фазовом пространстве, описывающая всю систему, включающую вас и мяч. «Фазовое пространство» на языке физики означает, что в нем есть измерения для импульса частиц, а не только для их положения — например, система из двух частиц будет иметь 12 измерений: 3 измерения для положения каждой частицы и 3 измерения для импульса каждой частицы.

Если бы у вас было многомерное пространство, каждое измерение которого описывало бы положение шестеренки в огромной их совокупности, то при вращении шестеренок одна-единственная точка совершала бы виражи и броски в фазовом пространстве довольно высокой размерности. Иными словами, точно так же, как вы можете рассматривать огромную сложную машину как одну точку в пространстве очень высокой размерности, вы можете рассматривать и законы физики, описывающие поведение этой машины во времени, как траекторию ее точки в фазовом пространстве.

Второй закон термодинамики является следствием теоремы, которую можно доказать в стандартной модели физики: если взять некоторую область фазового пространства и проследить ее эволюцию вперед во времени согласно стандартной физике, общий объем фазового пространства сохраняется.

Например, пусть существуют две системы, X и Y, где X имеет 8 возможных состояний, Y — 4 возможных состояния, а объединенная система (X, Y) — 32 возможных состояния.

Развитие объединенной системы во времени можно описать как правило, отображающее начальные точки в будущие. Например, система может начать в состоянии X₇Y₂, а затем развиться (согласно некоторому набору физических законов) в состояние X₃Y₃ минуту спустя. Иными словами: если бы X стартовала в состоянии X₇, а Y стартовала в состоянии Y₂, и мы наблюдали бы за ними в течение 1 минуты, мы бы увидели, как X переходит в X₃, а Y переходит в Y₃. Таковы законы физики.

Теперь давайте выделим подпространство S состояний объединенной системы. Пространство S будет подпространством, задаваемым условием, что X находится в состоянии X₁, а Y — в состояниях от Y₁ до Y₄. Таким образом, общий объем S равен 4 состояниям.

И давайте предположим, что согласно законам физики, управляющим (X, Y), состояния, изначально находившиеся в S, ведут себя следующим образом:

X₁Y₁ → X₂Y₁

X₁Y₂ → X₄Y₁

X₁Y₃ → X₆Y₁

X₁Y₄ → X₈Y₁.

Вот, в двух словах, как работает холодильник.

Подсистема X изначально находилась в узкой области пространства состояний — фактически в одном-единственном состоянии X₁, — а подсистема Y изначально была распределена по более широкой области пространства, от состояния Y₁ до Y₄. Взаимодействуя друг с другом, Y перешла в узкую область, а X оказалась в широкой области; но общий объем фазового пространства сохранился. Четыре исходных состояния отобразились в четыре конечных состояния.

Очевидно, пока законы физики с течением времени сохраняют общий объем фазового пространства, невозможно сжать Y сильнее, чем расширится X, и наоборот — для каждой подсистемы, которую вы сжимаете в более узкую область пространства состояний, какая-то другая подсистема должна расшириться в более широкую область.

Теперь допустим, что мы не уверены относительно объединенной системы (X,Y), и наша неопределенность описывается равновероятным распределением на S. То есть мы практически уверены, что X находится в состоянии X₁, но Y с равной вероятностью может находиться в любом из состояний от Y₁ до Y₄. Если мы закроем глаза на минуту, а затем снова откроем их, мы будем ожидать увидеть Y в состоянии Y₁, но X может оказаться в любом из состояний от X₂ до X₈. На самом деле X может находиться лишь в некоторых из состояний от X₂ до X₈, но просчитывать, в каких именно, было бы слишком накладно, поэтому мы просто скажем «от X₂ до X₈».

Если рассмотреть шенноновскую энтропию нашей неопределенности относительно X и Y как отдельных систем, то вначале у X было 0 бит энтропии, поскольку у нее было одно определенное состояние, а у Y было 2 бита энтропии, так как она с равной вероятностью могла находиться в любом из 4 возможных состояний. (Взаимная информация между X и Y отсутствует.) Произошел акт физического взаимодействия, и — о чудо! — энтропия Y снизилась до 0, но энтропия X возросла до log₂(7) = 2,8 бита. Таким образом, энтропия перетекла из одной системы в другую и уменьшилась внутри подсистемы Y; однако из-за сложности учета мы не стали отслеживать часть информации, и следовательно (с нашей точки зрения), общая энтропия увеличилась.

Предположим, существовал физический процесс, который отображал прошлые состояния на будущие следующим образом:

X₂Y₁ → X₂Y₁

X₂Y₂ → X₂Y₁

X₂Y₃ → X₂Y₁

X₂Y₄ → X₂Y₁.

Тогда мы получили бы физический процесс, который действительно уменьшал бы энтропию, поскольку независимо от начальной точки вы в итоге пришли бы к одному и тому же результату. Законы физики, развиваясь во времени, сжали бы фазовое пространство.

Но существует теорема, теорема Лиувилля, справедливость которой доказуема для наших законов физики. Она гласит, что такого никогда не происходит: объем фазового пространства сохраняется.

Второй закон термодинамики — это следствие из теоремы Лиувилля: какой бы хитрой ни была ваша конфигурация колес и шестеренок, вы никогда не сможете уменьшить энтропию в одной подсистеме, не увеличив ее где-то еще. Когда фазовое пространство одной подсистемы сужается, фазовое пространство другой подсистемы должно расшириться, и совместное пространство сохраняет прежний объем.

Разве что изначально компактное фазовое пространство может покрыться изгибами, завитками и складками; так что для того, чтобы очертить всю эту неразбериху простой границей, вам придется провести гораздо большую границу, чем раньше — это и создает видимость возрастания энтропии. (А в квантовых системах, где разные вселенные расходятся по разным путям, энтропия действительно возрастает в любой локальной вселенной. Но пока отложим это усложнение.)

Второй закон термодинамики на самом деле носит вероятностный характер — если спросить о вероятности того, что горячая вода спонтанно перейдет в состояние «холодная вода и электричество», то такая вероятность действительно существует, просто она крайне мала. Это не означает, что теорема Лиувилля нарушается с малой вероятностью; в конце концов, теорема есть теорема. Это означает, что если на старте вы находитесь в огромном объеме фазового пространства, но не знаете где, вы можете оценить как ничтожно малую вероятность того, что окажетесь в каком-то конкретном объеме фазового пространства. Насколько вам известно, с бесконечно малой вероятностью этот конкретный стакан горячей воды может оказаться именно тем, который спонтанно превратится в электрический ток и кубики льда. (Пренебрегая, как обычно, квантовыми эффектами.)

Так что Второй закон действительно является по своей сути байесовским. Когда дело доходит до любой реальной термодинамической системы, он представляет собой строгое и закономерное описание ваших убеждений относительно системы, но лишь вероятностное утверждение о самой системе.

«Погодите, — скажете вы. — В курсе физики меня учили другому. На лекциях, которые я слушал, термодинамика посвящена, ну, знаете, температурам. Неопределенность — это субъективное состояние ума! Температура стакана воды — объективное свойство этой воды! Какое отношение тепло имеет к вероятности?»

О вы, в ком мало доверия.

В одном направлении связь между теплом и вероятностью относительно проста: если единственный факт, который вы знаете о стакане воды, — это его температура, то в случае с горячей водой ваша неопределенность гораздо выше, чем в случае с холодной.

Тепло — это хаотичное движение множества крошечных молекул; чем они горячее, тем быстрее могут двигаться. Не все молекулы в горячей воде движутся с одинаковой скоростью — «температура» представляет собой не одинаковую скорость всех молекул, а их среднюю скорость, которая, в свою очередь, соответствует предсказуемому статистическому распределению скоростей. Как бы то ни было, суть в том, что чем горячее вода, тем быстрее могут двигаться молекулы воды, а значит, тем меньше у вас уверенности относительно вектора скорости (а не просто модуля скорости) любой отдельной молекулы. Когда вы перемножите неопределенности для всех отдельных молекул, ваша неопределенность относительно всего стакана воды возрастет экспоненциально.

Мы берем логарифм от этого экспоненциального объема неопределенности и называем его энтропией. Так что все сходится, как видите.

Связь в обратном направлении менее очевидна. Предположим, у нас есть стакан воды, о котором изначально вам известно лишь то, что его температура составляет 72 градуса. И вдруг святой Лаплас открывает вам точные координаты и скорости всех атомов в этой воде. Теперь вы досконально знаете состояние воды, так что, согласно информационно-теоретическому определению энтропии, ее энтропия равна нулю. Делает ли это ее термодинамическую энтропию равной нулю? Стала ли вода холоднее от того, что мы знаем о ней больше?

Если на время забыть о квантовых эффектах, ответ таков: да! Именно так!

Максвелл как-то спросил: почему мы не можем взять равномерно нагретый газ, разделить его на два объема, А и Б, и пропускать только быстрые молекулы из Б в А, а медленные — только из А в Б? Если бы вы могли построить такую дверцу, вскоре на стороне А у вас оказался бы горячий газ, а на стороне Б — холодный. Это был бы отличный дешевый способ охлаждать продукты, верно?

Агента, который проверяет каждую молекулу газа и решает, пропускать ли ее, называют «демоном Максвелла». И причина, по которой вы не можете построить эффективный холодильник таким способом, заключается в том, что демон Максвелла производит энтропию в процессе проверки молекул газа и принятия решений о том, какие из них пропустить.

Но предположим, вы уже знали, где находятся все молекулы газа?

Тогда вы действительно могли бы запустить демона Максвелла и совершить полезную работу.

Таким образом (снова временно игнорируя квантовые эффекты), если вы знаете состояния всех молекул в стакане горячей воды, она является холодной в самом настоящем термодинамическом смысле: вы можете получить из нее электричество, оставив взамен кубик льда.

Это не нарушает теорему Лиувилля, потому что если Y — это вода, а вы — демон Максвелла (обозначим его как M), то физический процесс протекает следующим образом:

M₁Y₁ → M₁Y₁

M₂Y₂ → M₂Y₁

M₃Y₃ → M₃Y₁

M₄Y₄ → M₄Y₁.

Поскольку демон Максвелла знает точное состояние Y, это взаимная информация между M и Y. Взаимная информация уменьшает совместную энтропию (M,Y): имеем H(M,Y) = H(M) + H(Y) - I(M;Y). Демон M обладает 2 битами энтропии, Y обладает 2 битами энтропии, а их взаимная информация составляет 2 бита, поэтому совместная система (M,Y) имеет в общей сложности 2 + 2 - 2 = 2 бита энтропии. Физический процесс просто преобразует «холод» (отрицательную энтропию, или негэнтропию) взаимной информации, делая саму воду холодной, — после этого M имеет 2 бита энтропии, Y имеет 0 бит энтропии, а взаимная информация равна 0. И никаких противоречий здесь нет!

И не надо говорить мне, что знание «субъективно». Знание должно быть представлено в мозге, а это делает его столь же физическим, как и все остальное. Чтобы M физически представлял точную картину состояния Y, физическое состояние M должно коррелировать с состоянием Y. Из этого можно извлечь термодинамическую выгоду — это называется двигателем Сциларда.

Или, как выразился Э. Т. Джейнс: «Старая пословица „знание — сила“ — это неоспоримая истина как в человеческих отношениях, так и в термодинамике».

И наоборот, одна подсистема не может увеличить свою взаимную информацию с другой подсистемой без того, чтобы (а) вступить с ней во взаимодействие и (б) совершить термодинамическую работу.

В противном случае вы могли бы создать демона Максвелла и нарушить второй закон термодинамики — что, в свою очередь, нарушило бы теорему Лиувилля, а это запрещено в стандартной модели физики.

Иначе говоря: чтобы сформировать верные убеждения относительно чего-либо, вам действительно нужно это пронаблюдать. Это очень физический, очень реальный процесс: любой рациональный разум совершает «работу» в термодинамическом смысле, а не просто в смысле умственных усилий.

(Иногда говорят, что термодинамическая работа тратится на стирание битов при подготовке к следующему наблюдению — но это различие касается лишь формулировок и угла зрения; математика здесь совершенно однозначна.)

(Открытие логических «истин» — это усложнение, которое я пока не буду рассматривать, по крайней мере отчасти потому, что сам всё еще обдумываю строгий формализм. В термодинамике знание логических истин не считается негэнтропией — что вполне ожидаемо, поскольку обратимый компьютер может вычислять логические истины со сколь угодно малыми затратами. Все сказанное мной верно для логически всеведущего разума: любой менее совершенный разум неизбежно будет менее эффективен.)

«Формирование точных убеждений требует соответствующего количества свидетельств» — это неоспоримая истина как в человеческих отношениях, так и в термодинамике: если бы слепая вера действительно работала как метод познания, вы могли бы превращать теплую воду в электричество и кубики льда. Достаточно было бы построить демона Максвелла, который слепо верит в скорости молекул.

Двигатели познания не так уж сильно отличаются от тепловых двигателей, пусть даже они манипулируют энтропией в более тонкой форме, чем при сжигании бензина. Например, в той мере, в какой двигатель познания не является идеально эффективным, он должен выделять избыточное тепло, совсем как автомобильный двигатель или холодильник.

«Холодная рациональность» верна в том смысле, который голливудским сценаристам и не снился (и ложна в том смысле, который они себе воображали).

Так что пока вы не укажете мне, на каком именно конкретном шаге ваше рассуждение нарушает законы физики, давая вам истинное знание о ненаблюдаемом, не ждите, что я поверю, будто на это способно длинное, сложное и хитроумное рассуждение.

*