Эйлер Леонард (1707–1783)
Леонард Эйлер родился в 1707 году в Базеле (Швейцария) в семье пастора Пауля Эйлера и его жены Маргариты Брукер. Начальное обучение Леонард получил дома под руководством отца (тот в своё время учился математике у Якоба Бернулли). Пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления, и Леонард рано проявил математические способности. Еще при обучении в гимназии он посещал публичные лекции в Базельском университете; там он обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли (младшего брата Якоба Бернулли). Знаменитый учёный передал одарённому подростку для изучения математические статьи, разрешив при этом для прояснения трудных мест приходить к нему домой. Там он познакомился и подружился с его сыновьями – Даниилом и Николаем, которые, по семейной традиции, изучали математику. В 13-лет Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. В 17 лет он был удостоен учёной степени магистра искусств за доклад «О сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона». В последующие два года юный Эйлер написал несколько научных работ. Одна из них, «Диссертация по физике о звуке», была представлена на конкурс для замещения неожиданно освободившейся в Базельском университете должности профессора физики, но 19-летнего Эйлера сочли слишком юным, чтобы включить в число кандидатов на профессорскую кафедру.
Братья Даниил и Николай Бернулли уехали в Россию, где как раз шла организация Академии наук. По рекомендации братьев Эйлер был приглашен на должность помощника профессора по кафедре физиологии, то есть в качестве врача. В течении полугода Эйлер изучал медицинские науки, знанием которых он впоследствии поражал своих друзей. Весной 1727 года Эйлер навсегда покидает Швейцарию (швейцарское подданство сохраняет до конца жизни) и прибывает в Санкт-Петербург. Эйлера сделали помощником профессора по высшей математики (а не физиологии, как первоначально планировалось), выделили ему жалованье 300 рублей в год и предоставили казённую квартиру. Уже через несколько месяцев после приезда в Петербург Эйлер стал бегло говорить по-русски.
В 1728 году началась публикация первого русского научного журнала «Комментарии Петербургской Академии наук» (на латинском языке). Уже второй том содержал три статьи Эйлера, и в последующие годы практически каждый выпуск академического ежегодника включал несколько новых его работ. Всего в этом издании было опубликовано более 400 статей Эйлера. В 1730 году освободились кафедры математики и физики и их заняли соответственно Даниил Бернулли и Леонард Эйлер. Ещё через три года Даниил Бернулли вернулся в Швейцарию (Николай Бернулли утонул в Неве еще в 1726 году), и Эйлер, оставив кафедру физики, заняв место Даниила, стал академиком и профессором высшей математики с окладом 600 рублей.
В 1733 году 26-летний Леонард Эйлер женился на своей ровеснице Катарине, дочери академического живописца Георга Гзеля (петербургского швейцарца). Молодожёны приобрели дом на набережной Невы, где и поселились. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери.
Работы у молодого профессора было много: картография, всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д. В течение 1730-х годов Эйлер возглавлял работу по картографированию Российской империи, лично составляя карты, он перенапряг глаза, заболел и потерял зрение на правый глаз. Двухтомное сочинение «Механика, или наука о движении, изложенная аналитически», изданное в 1736 году, принесло Эйлеру общеевропейскую известность. Эйлер составил на немецком языке очень добротное «Руководство к арифметике», которое тут же было переведено на русский и служило не один год в качестве начального учебника.
В 1740 году умерла императрица Анна Иоанновна, и императором был объявлен малолетний Иоанн VI – Петербургская академия пришла в запустение. Эйлер принимает предложение прусского короля Фридриха, который приглашал его на весьма выгодных условиях в Берлинскую академию, на должность директора её Математического департамента. В июне 1741 года 34-летний Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками прибыл в Берлин. Он провёл там 25 лет и издал около 260 работ. В берлинский период одна за другой выходят работы Эйлера: «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), «Морская наука» (1749), «Теория движения Луны» (1753), «Наставление по дифференциальному исчислению» (1755). Многочисленные статьи по отдельным вопросам печатаются в изданиях Берлинской и Петербургской Академий. В 1744 году Эйлер открывает новое научное направление – вариационное исчисление. В его работах используются продуманная терминология и математическая символика, в значительной степени сохранившиеся до наших дней, изложение доводится до уровня практических алгоритмов. Все годы пребывания в Германии Эйлер сохранял связь с Россией. Он участвовал в публикациях Петербургской Академии, приобретал для неё книги и инструменты, редактировал математические отделы русских журналов. На его квартире на полном пансионе годами жили молодые русские учёные, командированные на стажировку.
В 1762 году на русский престол вступила Екатерина II, которая. предложила Эйлеру вернуться в Петербург на очень выгодных условиях (оклад 3000 рублей в год и пост вице-президента Академии; квартира, оплачиваемые должности для троих его сыновей, в том числе пост секретаря Академии для старшего). Эйлер соглашается и летом 1766 года возвращается со всей семьей и домочадцами (всего 18 человек) в российскую столицу – теперь уже навсегда. Екатерина II встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии. К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта единственного оставшегося у него левого глаза, и вскоре он окончательно перестал видеть. Вероятно, по этой причине обещанный пост вице-президента Академии он так и не получил. Однако слепота не отразилась на работоспособности учёного, он лишь заметил, что теперь будет меньше отвлекаться от занятий математикой. В дальнейшем все свои труды Эйлер диктовал. Число опубликованных им работ даже возросло; в течение второго пребывания в России Эйлер продиктовал более 400 статей и 10 книг, что составляет больше половины его творческого наследия. Полное собрание сочинений Эйлера, издаваемое с 1909 года Швейцарским обществом естествоиспытателей, до сих пор не завершено; планировался выпуск 75 томов, из них вышло 73: 29 томов по математике; 31 том по механике и астрономии; 13 – по физике. Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный скончался от кровоизлияния в мозг. Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. После его смерти Петербургская академия наук продолжала издавать неопубликованные работы Эйлера еще почти 50 лет. Даламбер называл Эйлера «этот дьявол», поскольку считал, что сделанное Эйлером превышает человеческие силы.
Гаусс Карл (1777–1885)
Иоганн Карл Фридрих Гаусс родился в немецком герцогстве Брауншвейг. Дед Гаусса был бедным крестьянином; отец, Гебхард Дитрих Гаусс, – садовником, каменщиком, смотрителем каналов; мать, Доротея Бенц, – дочерью каменщика. Будучи неграмотной, мать не записала дату рождения сына, запомнив только, что он родился в среду, за восемь дней до праздника Вознесения, который отмечается спустя 40 дней после Пасхи. В 1799 г. Гаусс вычислил точную дату своего рождения, раз работав метод определения даты Пасхи на любой год. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял арифметические ошибки отца. Известна история, в которой юный Гаусс нашел сумму чисел 1 до 100 за несколько минут (учитель надеялся занять этими вычислениями весь урок). Гаусс любил вычислять – до самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. С учителем ему повезло: М. Бартельс (впоследствии учитель Лобачевского) оценил исключительный талант юного Гаусса и сумел выхлопотать ему стипендию от герцога Брауншвейгского. Это помогло Гауссу окончить местный колледж Collegium Carolinum (1792–1795). В колледже Гаусс изучил труды Ньютона, Эйлера, Лагранжа. Уже там он сделал несколько открытий в теории чисел. С 1795 по 1798 год Гаусс учился в Гёттингенском университете. С 1796 года Гаусс вёл краткий дневник своих открытий. Многое он, подобно Ньютону, не публиковал, хотя это были результаты исключительной важности (эллиптические функции, неевклидова геометрия и др.). Своим друзьям он пояснял, что публикует только те результаты, которыми доволен и считает завершёнными. Многие отложенные или заброшенные им идеи позже воскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского и др. Знаменитая теорема Остроградского-Гаусса (на Западе просто Гаусса) никогда не публиковалась последним, также как построения из неевклидовой геометрии. Но если с Лобачевским Гаусс обменивался письмами и даже выучил русский язык, чтобы читать его работы, то задачу доказать теорему Гаусс только ставил перед одним из своих учеников. Кватернионы он тоже открыл за 30 лет до Гамильтона, но ничего не опубликовал. Среди множества открытий, сделанных в эти годы ему очень нравилась доказанная им возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Он даже завещал изобразить на своей могиле правильный семнадца-тиугольник, вписанный в круг. В 1798 году он завершил один из главных своих шедевров «Арифметические исследования». Гаусс любил говорить, что математика – царица наук, а теория чисел – царица математики.
В 1798 году Гаусс возвращается в Брауншвейг. Герцог продолжал опекать молодого гения. Он оплатил печать его докторской диссертации (1799) и пожаловал неплохую стипендию. С 1799 года Гаусс – приват-доцент Брауншвейгского университета. В своей докторской Гаусс впервые доказал основную теорему алгебры – это была любимая теорема Гаусса, он дал в течение жизни 4 различных её доказательства.
В это время, не порывая с теорией чисел, Гаусс начинает интересоваться небесной механикой. Поводом послужило открытие малой планеты Церера (1801), потерянной вскоре после обнаружения. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшие вычисления, пользуясь разработанным им же новым вычислительным методом, и с большой точностью указал место, где искать «беглянку»; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена.
Слава Гаусса становится общеевропейской. Многие научные общества Европы избирают его своим членом (член-корреспондент Петербургской Академии наук с 1801 года). Он становится профессором и директором Гёттингенской обсерватории (эту должность он занимает до самой смерти).
В 1805 году Гаусс женился на Иоганне Остгоф. У них было трое детей, выжили двое. В 1809 году Иоганна умирает при родах. В следующем году, Гаусс вновь женится на подруге Иоганны – Вильгельмине Вальдек (она умирает в 1831 году, увеличивая число детей Гаусса до пяти).
В 1810 году Гаусс получает премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества. В 1820 году Гауссу поручают произвести геодезическую съёмку Ганновера. Для этого он разработал соответствующие вычислительные методы, приведшие к созданию нового научного направления – высшей геодезии, и организовал съёмку местности и составление карт. В связи с работами по геодезии Гаусс начинает знаменитый цикл работ по теории поверхностей закладывая основы новой математической дисциплины – дифференциальной геометрии. Знаменитая Theorema Egregium (в переводе с латыни «замечательная теорема») Гаусса вдохновила Римана на создание «римановой геометрии». Она берет начало с исторического доклада «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» 1853 года, который Риман прочитал в Геттингене в присутствии Гаусса.
В 1829 году в небольшой статье «Об одном новом общем законе механики», состоящей всего из четырёх страниц, Гаусс обосновывает новый вариационный принцип механики – принцип наименьшего принуждения.
В 1831 году в Гёттинген приехал приглашённый по инициативе Гаусса 27-летний талантливый физик Вильгельм Вебер. Оба энтузиаста науки сдружились, несмотря на разницу в возрасте, и начали цикл исследований электромагнетизма, который привел к изобретению электрического телеграфа и электромагнитной пушки (они даже строят действующие модели устройств). Но физика не полностью поглощает внимание Гаусса, в 1832 году выходит «Теория биквадратичных вычетов», где Гаусс дает геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая с этого момента становится общепринятой, снимая последний налет мистичности с мнимых чисел, окружавший их с времен Джероламо Кардано. Однако последняя работа Гаусса была посвящена физической тематике. В работе «Диоптрические исследования» (1840) он разработал теорию построения изображений в сложных оптических системах.
В 1849 год Гаусс отмечает 50-летие присвоения докторской степени. К нему приехали известные математики, и это обрадовало его намного больше, чем присвоение очередной награды. В последние годы своей жизни он много болел. Ему было сложно передвигаться, но ясность и острота разума от этого не пострадали.
Незадолго до смерти здоровье Гаусса ухудшилось. Врачи диагностировали болезнь сердца и нервное перенапряжение. Лекарства практически не помогали. Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене. Король Ганновера Георг V приказал отчеканить в честь Гаусса медаль, на которой были выгравированы портрет Гаусса и почётный титул – «Король математиков». Согласно последней воле Гаусса, на его надгробной плите выгравировали правильный семнадцатиугольник.
Многие исследования Гаусса остались неопубликованными, в виде очерков, незаконченных работ, переписки с друзьями. Все они входят в его научное наследие, которое собрано в 12-ти томном собрании сочинений Гаусса Гёттингенское научное общество издавало его на протяжении 70 лет с 1863– по 1933 год.
Гильберт Давид (1862–1943)
Давид Гильберт родился 23 января 1862 года в городке Велау в Пруссии неподалеку от Кёнигсберга (ныне поселок Знаменск вблизи Калининграда) в семье окружного судьи Отто Гильберта и дочери купца Марии Терезы Эрдтман. Это была необычайная женщина – «оригинал» в немецком понимании этого слова.
Она интересовалась философией, астрономией и была очарована простыми числами. Благодаря отцу раннее обучение Давида носило отпечаток прусских черт пунктуальности, бережливости, преданности долгу, усердия, дисциплины и уважения к закону. По рассказам, отец Давида был довольно ограниченным человеком, со строгими взглядами на добропорядочное поведение. Давид начал ходить в школу с восьми лет. Обычным возрастом для поступления в школу было шесть лет, и опоздание на два года указывает, что, по-видимому, первые уроки Давид получил дома, скорее всего от своей матери. Она была уже почти инвалидом и, как говорят, большую часть времени проводила в постели.
Гимназия Фридрихсколлег, которую выбрали для Давила его родители, считалась лучшей в Кенигсберге – старинная частная школа, основанная в начале семнадцатого столетия и имевшая в числе своих выпускников самого Канта. Тем не менее этот выбор был весьма неудачным. Основной упор в гимназии делался на изучение латинского и греческого языков, математика преподавалась на примитивном уровне, естественные науки вообще не преподавались. У Давида были очень плохие способности к заучиванию наизусть, а в Фридрихколлеге запомнить и изучить было одно и то же. В сентябре 1879 года, в начале последнего учебного года в гимназии, Давид перешел из Фридрихсколлега в Вильгельм-гимназию. Это была государственная школа, в которой уделялось значительно большее внимание математике, даже затрагивались некоторые новые достижения в геометрии. В той же гимназии учился юный вундеркинд и будущий большой друг Гильберта – Герман Минковский.
Осенью 1880 года Гильберт поступает в Кёнигсбергский университет и записывается, вопреки желаниям отца, не на юридический, а на математический курс. Гильберт почувствовал себя в университете настолько же свободным, насколько стесненным он чувствовал себя в гимназии. В это время в Кенигсберге был только один полный профессор математики – Генрих Вебер, у которого Гильберт слушал лекции по теории чисел и теории функций и впервые познакомился с теорией инвариантов, самой модной математической теорией того времени. Научным руководителем Гильберта стал Фердинанд фон Линдеман, доказавший неразрешимость «квадратуры круга». Окончив восьмисеместровый университетский курс, необходимый для получения докторской степени, Гильберт начал обдумывать возможные темы для диссертации. В ней он должен был получить какие-нибудь оригинальные результаты в математике. Линдеман посоветовал ему заняться теорией инвариантов, темой, довольно трудной для докторской диссертации, но Гильберт принял вызов и в 1885 году защитил докторскую диссертацию на тему «О базисе в пространстве инвариантов». Тогда же он сдает государственный экзамен, дающий право стать учителем гимназии.
Вскоре после сдачи экзамена Гильберт отправляется в свое первое научное путешествие в Лейпциг к Феликсу Клейну. Гильберт посещает лекции Клейна и принимал участие в его семинаре. Клейн позже писал: «Когда я услышал его доклад, я сразу же понял, что у этого человека большое будущее в математике». Летом 1886 года Гильберт совершает поездку в Париж, где знакомится с ведущими французскими математиками: Пуанкаре, Жорданом, Эрмитом и другими. Возвращаясь обратно Гильберт, впервые посещает Геттинген, в котором ему будет суждено жить и работать большую часть своей жизни. В начале 1888 года Гильберт предпринимает еще одно «большое математическое путешествие» (он посетил 21 видного математика того времени). Поскольку в то время основной специальностью Гилберта была теория инвариантов, то первым делом он побывал в Эрлангене и встретился со знаменитым «королем инвариантов»– Паулем Горданом. Выдающимся достижением Гордана явилось его доказательство, ровно за 20 лет до встречи с Гильбертом, существования конечного базиса для бинарных форм, простейших из всех алгебраических форм. Проблема поиска базиса для произвольных форм, ставшая самой знаменитой в этой теории, была названа в его честь «Проблемой Гордана». В дальнейшие 20 лет, несмотря на усилия многих видных математиков, решение её не сдвинулась с мертвой точки. Гильберт был знаком с проблемой Гордана; однако теперь, слушая самого Гордана, ему казалось, что он почувствовал ее гораздо глубже, чем раньше. Проблема заняла его воображение почти со сверхъестественной силой. Мысли об этой проблеме не оставляли Гильберта во время всего его математического путешествия. Дома, в Кенигсберге, эти мысли не покидали его ни во время работы, ни на отдыхе, ни даже на танцах, которые он так любил посещать. Уже 6 сентября 1888 года Гильберт послал короткую заметку в журнал Геттингенского научного общества. В этой заметке он дал набросок совершенно неожиданного и оригинального способа доказательства теоремы Гордана, годного одновременно для форм от любого числа неизвестных. Эта работа была первым примером черты, характерной для мышления Гильберта, – «естественная наивность мысли, не покоящаяся на авторитете или предшествующем опыте», как выразился позже один из его учеников. Вскоре после опубликования полного доказательства теоремы знаменитый «король инвариантов» Гордан возмущенно заявил: «Это не математика. Это теология». Дело в том, что Гильберт только доказал существование базиса, но не указал как его найти. Однако спустя два года Гильберт дает конструктивное доказательство – строит метод, позволяющий за конечное число шагов построить базис. В заключение своей работы по теории инвариантов он писал: «Тем самым мне кажется, что важнейшие цели теории функциональных полей инвариантов достигнуты». После этого Гильберт покидает теорию инвариантов – современники считали, что «он убил теорию инвариантов».
В последующие три года Гильберт повышался в академических рангах и делал то, что делает в этот период времени большинство молодых людей, – женился, стал отцом, получил важное назначение. Гильберт решил, что, став доцентом, он будет читать лекции на разные темы, не повторяясь, как это делали многие другие, и тем самым будет образовывать не только своих студентов, но и себя самого. За восемь с половиной лет в Кенигсберге Гильберт не повторил не одного предмета и фактически стал универсальным математиком, одним из последних в истории этой науки. Наряду с переменами в личной жизни и общественном положении, Гильберт начал проявлять и новый математический интерес. «Отныне я целиком посвящу себя теории чисел», – писал он своему другу Минковскому вскоре после окончания последней работы об инвариантах. В последующие годы Гильберт интенсивно занимается теорией чисел. Делая первые шаги ему удалось найти чрезвычайно легкие и простые доказательства трансцендентности чисел e и π, а также теорем о разложении алгебраических чисел на простые идеалы. Получив заказ на создание обзора по теории чисел, Гильберт с усердием принимается за новую и интересную для него работу. Хотя до сих пор он не питал склонности к изучению теории по книгам, теперь он прочитал все изданное по теории чисел со времен Гаусса. Монументальный обзор Гильберта появился в 1896 году, он намного превосходил все то, на что мог рассчитывать заказчик – Германское Математическое Общество. На самом деле его обзор представляет собой жемчужину математической литературы. Заполнив пробелы большим количеством своих собственных исследований, Гильберт придал теории чисел величественную унифицированную форму.
В 1895 году по приглашению Клейна Гильберт приезжает работать в Геттингенский университет. Именно здесь он напишет свои основные научные труды, станет ведущим мировым математиком и проживёт до последних дней. Закончив свой обзор Гильберт занялся давно задуманными собственными исследованиями. Главным его интересом было обобщение закона взаимности на поля алгебраических чисел. Венцом его работы в этой области была статья «О теории относительно абелевых полей». В этой работе, по существу программной по своему характеру, он дал набросок обширной теории, получившей известность как теория полей классов. Сам Гильберт неожиданно перешел в другую область. Новым увлечением Гильберта стала геометрия. Начав читать курс лекций по геометрии, Гильберт предложил положить в основания геометрии простой и полный список независимых аксиом. Относящиеся сюда общие идеи кажутся нам теперь почти банальными, настолько радикальным оказалось их влияние на наше математическое мышление. В 1899 году публикуется классическая книга Гильберта – «Основания геометрии», в которой он систематически излагает все полученные им результаты. Летом 1899 года, сразу после издания «Оснований геометрии», Гильберт обратился к одной старой знаменитой проблеме, известной как принцип Дирихле, который «зашатался» под найденными примерами функций, для которых он не выполнялся. К тому времени, когда Гильберт обратился к принципу Дирихле, математики потеряли всякую надежду на его спасение. В сентябре 1899 года Гильберт смог предъявить то, что он назвал «воскрешением принципа Дирихле». Основная идея Гильберта заключалась в том, что при более сильных ограничениях на функции, участвовавшие в задаче, можно добиться того, что принцип Дирихле будет выполняться.
Летом 1900 года в Париже состоялся второй международный конгресс математиков. Гильберт выступает на нем с одним из основных докладов. В нем он сформулировал 23 отдельные проблемы, решения которых, по его убеждению, 19 век ставит перед 20-ым. Доклад Гильберта полностью захватил воображение всего математического мира. Быстро растущая слава Гильберта, уступавшая теперь лишь славе Пуанкаре, обещала всеобщее признание любому математику, который решит хотя бы одну из этих проблем.
Зимой 1900–1901 года один студент из Швеции принес на семинар Гильберта недавно опубликованную работу по интегральным уравнениям, принадлежавшую его соотечественнику Ивару Фредгольму, который дал красивое и оригинальное решение одного класса таких уравнений, которое открывало соблазнительную аналогию между интегральными уравнениями и алгебраическими линейными уравнениями. Интегральные уравнения полностью захватили Гильберта. Отныне он говорил со своими студентами только об интегральных уравнениях. Гильберт работает над тем, чему суждено будет стать венцом его занятий анализом – теорию бесконечно многих переменных, ставшую широко известной как теория бесконечномерных гильбертовых пространств. Он последовательно развивает общую теорию таких пространств, а также доказывает для них одну из самых великих своих теорем – «спектральную теорему Гильберта».
В 1912 году, несмотря на свой пятидесятилетний возраст, Гильберт начинает заниматься совершенно новой для него наукой – физикой. Его, как математика, сильно беспокоило отсутствие порядка в триумфальных успехах физиков. Главной целью Гильберта было поставить на прочную аксиоматическую основу все достижения, которых добилась физика за последние годы. Но обширным планам Гильберта в области аксиоматизации физики так и не суждено было свершиться. Гильберт занимается физикой 10 лет, но «урожай», собранные им на этом поле, вряд ли может сравниться с его достижениями в чистой математике. Наивысшее достижение в физике – вывод совместно с Эйнштейном основного уравнения общей теории относительности, уравнения Эйнштейна-Гильберта.
Вновь вернуться к математике Гильберта заставил глубокий кризис, возникший в ее основаниях. Излюбленный Гильбертом аксиоматический подход начал давать сбои. Первыми предвестниками такого кризиса были парадоксы, открытые в теории множеств. Для спасения аксиоматического подхода Гильберт предложил построить метаматематику – превратить математику в формализированную систему, непротиворечивость которой можно будет доказать с помощью логико-математических методов, которые Гильберт называл финитными. Таким образом можно было бы преодолеть кризис оснований математики и избавиться от него раз и навсегда. Но в 1930 году Курт Гедель, 25-летний специалист по математической логике, опубликовал статью, в которой был сделан вывод, нанесший смертельный удар по планам Гильберта. В своей статье Геделю удалось доказать – со всей строгостью, на которую способна математика, – неполноту формализованной теории чисел, то есть арифметики.
После смерти Пуанкаре в 1912 году Гильберт общепризнано стал первым математиком в мире, но все равно в 1930 году, в возрасте 68 лет его вынудили уйти из университета. После прихода национал-социалистов к власти жил в Гёттингене в стороне от университетских дел. 14 февраля 1943 года Гильберт умер от фрустрации и прочих проблем со здоровьем. Его похороны посетило менее десяти человек, большинство из которых были его коллегами-математиками. И лишь спустя полгода мир узнал о смерти «отца современной математики».
Какой же вклад внесли математики 17–19 веков в общечеловеческую культуру? Приведенные выше биографии математических титанов даны в гуманитарных канонах: где родился, учился, учил других, создавал семью, как воспитывал детей, как строил карьеру, куда путешествовал, где работал, с кем дружил, где закончил земной путь, что написал и т. д.
Из этих описаний видно, что «швейцарско-русско-немецкий» математик Эйлер был великим тружеником, «рудокопом выдавшим на гора» много драгоценной «математической руды», которую потом сто лет разбирали и шлифовали.
«Король математиков» Гаусс печатал только «по-царски отшлифованные» шедевры, а менее отработанные, но зачастую еще более ценные свои находки заносил только в записные книжки и письма друзьям. Разбор этих «сундуков с математическими сокровищами» продолжался десятилетиями после смерти короля.
«Отец современной математики» Гильберт, будучи, по-видимому последним универсальным математиком (далее это стало просто невозможным), закрывал одни научные направления, решая их проблемы, создавал новые, открывал горизонты для математиков следующего века, ставя перед ними проблемы-вызовы.
Большинство гуманитарных сведений таких биографий несущественно. Например, насколько важно, что у Эйлера было 13 детей, у Гаусса – 5, а единственный сын Гильберта был сумасшедшим? Оценить же истинную математическую биографию этих гениев может только человек, обладающий необходимым математическим образованием. Если смысл части результатов Эйлера или Гаусса еще может понять человек, прослушавший курс математического анализа в техническом университете, то для понимания проблем, поднимаемых Гильбертом, общего университетского курса математики, даже математического факультета, может оказаться недостаточно. Гуманитарии, математический багаж которых исчерпывается уцелевшими в памяти сведениями из школьного курса математики, могут только полагаться на мнение математиков (представителей отличной от них культуры).
Математикам проще – они могут самолично оценивать красоту поэтических произведений, пусть и не во всех нюансах, доступных профессионалам-гуманитариям. Есть ли способы донести до читателей этой книги красоту математических конструкций? Примеры математических красот мы обсудим во 2-ой главе, а пока приведем забавную «Карту математики» Мартина Куппера, дающую верный общий обзор современной математической науки, которая весьма разрослась со времен Гильберта.
Как и полагается «сияющему граду на холме», Геометрия занимает в ней центральное место. Халифат Алгебры, расположенный южнее, отделен от города холмами Теории чисел и предместьем Арифметики. Сам город расположен на берегу озера Элементарной логики, которое протокой, проходящей через болота Алгебраической геометрии, связано с Великим океаном Логики. С северо-запада к городу подходит тундра Топологии, отделенная от халифата Алгебры лесами Алгебраической топологии. На север от города уходят холмы Дифференциальной геометрии и великие равнины Анализа. В небе над городом висит луна Теории категорий…
Рассматривая карту, читатели обнаружат на ней много замечательных мелких деталей, понятных профессионалам.