Более существенным отличием математической культуры от физической является проблема осмысления самого математического подхода к реальности – философия математики. Критика теории множеств в начале 20 века привела к возникновению трёх течений: интуиционизма, формализма и логицизма.
Интуиционизм – направление в основаниях математики и логики, признающее главным и единственным критерием правомерности методов и результатов этих наук их интуитивную – наглядно-содержательную убедительность («интуицию»). В 1904 году Л. Э. Я. Брауэр (1881–1966) подверг развёрнутой критике ряд концепций классической математики. Его внимание привлёк статус существования: можно ли потенциально построить такие объекты исследования, как неизмеримое множество действительных чисел, или нигде не дифференцируемые функции? Можно ли полагать, что в окружающем мире существуют бесконечные множества объектов? Интуиционизм отвергает использование в математике идеи актуальной бесконечности и взгляд на логику как на науку, «предшествующую» математике. Главным объектом интуиционистской критики стал широко используемый в классической математике принцип исключённого третьего, то есть доказательство «от противного». Главную причину парадоксов классической математики и логики интуиционисты усматривали в представлении, что математику можно «обосновать» какими бы то ни было логическими средствами. С точки зрения интуиционизма, математику надлежит строить исключительно посредством тех её средств, интуитивная ясность которых не вызывает никаких сомнений. Понятия «доказательство» и «построение», «интуиция» не могут быть охвачены каким-либо одним «точным» определением. Поэтому никакая система интуиционистски приемлемых правил рассуждений, умозаключений и доказательств не может и не должна раз и навсегда закрепляться принятой логикой. Тем не менее в 1930 году А. Гейтинг (1898–1980) предложил свою логику, которая адекватна идеям этого направления. Интуиционистская логика Гейтинга – формальная система, приемлемая с точки зрения интуиционизма, её основное отличие от привычного исчисления высказываний заключается в том, что отсутствует закон исключённого третьего. Основными объектами исследования интуиционистской математики являются конструктивные объекты: натуральные и рациональные числа, конечные множества конструктивных объектов и т. п.
Формализм – один из подходов к философии математики, пытающийся свести проблему оснований математики к изучению формальных систем. Наряду с логицизмом и интуиционизмом считался в 20 веке одним из направлений фундаментализма в философии математики. Формализм возник в начале 20 века в математической школе Гильберта в рамках попытки свести в единую систему строгие обоснования различных областей математики. В отличие от интуиционизма, формализм не отказывался от построения теорий с «сомнительными», с точки зрения интуиции, основаниями, лишь бы в них правила вывода теорем были строго обоснованы. Формалисты полагали, что математика должна изучать как можно больше формальных систем.
1. Признать, что значительная часть математических абстрактных объектов – это идеальные конструкции, не имеющие точной интерпретации во внешнем мире и вводимые прежде всего как интеллектуальные орудия для работы с реальными объектами. Более того, не все математические высказывания о реальных объектах могут считаться реальными. Назначение идеальных объектов и высказываний – перебросить мост от одних реальных высказываний к другим.
2. Точно и до конца формализовать допустимые методы работы с идеальными конструкциями, с тем чтобы исключить здесь обращения к интуиции и апелляции к содержательному смыслу, то есть сама математика должна быть превращена в некоторое исчисление.
3. Создать метаматематику, которая должна иметь дело с частным случаем реальных объектов – математическими формализмами, и строго обосновать при помощи как можно более простых, интуитивно ясных и не вызывающих сомнения у конструктивистов финитных методов дающих принципиальную возможность устранения идеальных объектов и высказываний из доказательств реальных утверждений.
Математическую теорию, развитую для потребностей метаматематики, Гильберт назвал теорией доказательств. Предполагалось возможность доказать непротиворечивость, а по возможности и полноту, математических формализмов. Парадоксальным образом одним из первых теоретических объектов, проверенных при помощи формалистских методов, явилась сама программа Гильберта. Теорема Гёделя о неполноте показала, что ее цель-максимум недостижима, а теорема о недоказуемости непротиворечивости обрушила всю программу (так научная общественность восприняла результаты Гёделя). Логицизм – одно из основных направлений обоснования математики и философии математики, ставящее целью сведение исходных математических понятий к понятиям логики. Мысль о сведении математики к логике высказывалась еще Лейбницем в конце 17 века. Практическое осуществление логицистического тезиса было предпринято в конце 19 – начале 20 веков работах Г. Фреге (1848–1925) и в трехтомном труде «Основания математики» (1913) за авторством А.Уайтхеда (1861–1947) и Б. Рассела (1972–1970).
Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математическую теорему в аксиоматической системе можно рассматривать как некоторое утверждение о логическом следовании. Остаётся только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логические термины. К концу 19 века в математике различные виды чисел, включая комплексные, были определены в терминах натуральных чисел и операций над ними. Попытка сведения натуральных чисел к логическим понятиям была предпринята Г. Фреге. Однако система Фреге была не свободна от противоречий. Это выяснилось, когда Рассел обнаружил противоречие в канторовой теории множеств, пытаясь свести её к логике. Обнаруженное противоречие побудило Рассела к пересмотру взглядов на логику, введению «аксиомы актуальной бесконечности», что не укладывалось в понятие логических методов. Логистическое направление пришло в упадок после того, как Гёдель в 1931 году доказал, что никакая формализованная система логики не может быть адекватной базой всей математики. С начала 1980-х годов наблюдается возрождение интереса к логицизму. Одним из способов, с помощью которых пытаются спасти логицизм от катастрофы, является «фрагментация» теории Фреге, посредством которой пытаются извлечь из неё такой фрагмент, который был бы непротиворечив и достаточно силен, чтобы обеспечить существование пусть не всей Арифметики, но приличного её объема.
3.5 Сравнительный анализ Можно попытаться описать взаимоотношения между типичными представителями различных культур, когда они попадают в область обширного водораздела (дельту некогда единого потока), разделяющего отдельные культуры в современных реалиях. Для компактности записи введем обозначения М (математик), Ф (физик), П (гуманитарий). Найдем сходство и различия между ними, не зависящие от их личных качеств, а обусловленные только культурной принадлежностью к тому или иному цеху.
Отношение к математике:
М живет ею, Ф уважает её и восхищается ею «как сундуком с сокровищами», но считает, что многое из него можно «выкинуть»;
П не понимает и не интересуется – ему она скучна.
Отношение к физике:
Ф живет ею, М уважает смелостью физиков, работающих на столь спекулятивной и не формализованной ниве. П её почти не понимает и интересуется только популярным изложением.
Отношение к поэзии:
П живет ею, М и Ф ценят за образность, но обычно знают только классику.
Отношение к своему творению:
М и П считают его исключительно своей выдумкой, рассматривают как неизменяемый продукт – абсолют, править который могут только они;
Ф считает его своей догадкой, навеянной реальным миром и носящей преходящий и приблизительный характер, – её можно улучшить или опровергнуть как рассуждениями, так и экспериментом.
Отношение к поражениям:
Ф и П – «забывают» о них и делают новые попытки творческого поиска;
М пытается модифицировать конструкцию, чтобы спасти результат.
Отношения цехов между собой:
Ф использует достижения М как инструмент, отбрасывая доказательства;
М считает рассуждения Ф только правдоподобными, воспринимая продукцию Ф только как «сырьё», исходный продукт;
П смотрит на Ф как на «умелого ремесленника», а на М как на заумного ученого, занимающегося непонятно чем вообще;
Ф и М считают продукцию П полезной и будящей фантазию, но смотрят на него свысока как на малограмотный талант (даже простейший интеграл не возьмет).
Ф использует образы, созданные П для обозначения вводимых теоретических объектов, чего никогда не делает М, стараясь «высушивать» свою терминологию.
Признание красоты или уродства:
М, Ф, П все различают их в своей области, но понимают по-разному.
Отношение к формулам:
М и Ф не мыслят своей работы без них, Ф не любит длинных формульных выкладок, предпочитая «объяснения на пальцах»,
П совсем не понимает формул, «впадая от них в ступор».