Физика – самая математизированная наука. Эта традиция идет с античности, когда физика была еще натурфилософией. Как мы уже упоминали, первую математическую концепцию природы создали пифагорейцы («Все есть число»). Платон продолжил пифагорейскую традицию, выдвинув на первый план геометрию («Бог всегда является геометром»). Теория стихий Платона – это теория правильных многогранников. Евклид создал первую аксиоматику геометрии, ставшую основой математизации античных оптики и статики (Евклид и Архимед) и астрономии (Птолемей). Математический анализ возникал вместе с механикой, и не случайно, что физические и математические идеи рождались в одних и тех же головах (Декарт, Ньютон, Лейбниц). Все они считали математику «прообразом Мира», законы которого возникают в божественном разуме (Лейбниц: «Как Бог вычислит, так Мир и сделает»). Ньютон говорил о «подчинении явлений законам математики», используя для изложения своих результатов в «Математических началах натуральной философии» язык евклидовой геометрии и алгебраических преобразований, как тогда было принято, хотя он получал их иначе – методом «флюксий», то есть придуманного им варианта матанализа. Эти три ствола математической науки (Алгебра, Геометрия, Анализ), переплетая свои ветви, и в дальнейшем определяли направление развития математического аппарата физики. При общеизвестном сопоставлении математики и искусства, Геометрию приравнивают к живописи, а Алгебру к музыке, но тогда Анализ – это сам вычислитель, создатель произведения. В различные периоды времени доминировали различные ветви математической науки, и революционные перемены в математике, связанные со сменой приоритетов, такие, например, как появление «Эрлангенской программы» Клейна, всегда находили отклик у физиков. Рассмотрим в историческом развитии математизацию физики как эволюцию её математического багажа с периода становления – конца 17 века – вплоть до наших дней. Для большей наглядности мы сведем изложение в одну таблицу, где приведем в хронологическом порядке вновь вводимые в физику математические понятия и дисциплины. Перечень математических конструкций, приведенных в таблице, содержат только наиболее употребительные из используемых, а остальные (их много) не указаны, некоторые (кватернионы) уже подзабыты.
Хронология математических нововведений в физике
В 18 век физика вошла вооруженная мощным математическим орудием – дифференциальным и интегральным исчислением. Именно с его помощью произошел переход от языка евклидовой геометрии как основной математической структуры физики к языку дифференциальных уравнений. Усилиями Ньютона, Лейбница, Эйлера классическая механика приобрела вид теории обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. При этом важнейшую стимулирующую роль в возникновении и развитии математического анализа и теории дифференциальных уравнений сыграли задачи классической механики.
В дальнейшем были выявлены иные математические представления классической механики, положившие начало аналитической механике, нацеленной на изучение глубинных математических структур классической механики. Оказалось, что ее можно сформулировать как вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж, Гамильтон, Якоби), как теорию дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка (Гамильтон, Якоби, Ли), как риманову геометрию (Якоби, Дарбу, Герц), как симплектическую геометрию (Лагранж, Гамильтон, Ли). Эти отождествления оказали решающее воздействие на развитие математики в 19 веке. Лагранжев, гамильтонов и прочие формализмы аналитической механики обнаружили потрясающую живучесть, сыграв важную роль в создании квантовых и релятивистских теорий 20 века.
В конце 60-х годов 19-того века создание классической физики, сопряженное с ее математизацией в основном было завершено (теория электромагнитного поля Максвелла, термодинамика Томсона и Клаузиуса, основы статистической механики Максвелла и Больцмана). Математический анализ и прежде всего теория дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка, оставались основной математической структурой классической физики. Но вместе с тем важными дополнительными инструментами ее математизации стали векторное исчисление и теория вероятностей. В кристаллографии получила применение теория групп. К концу 19 века выявилась фундаментальная особенность основных дифференциальных уравнений классической физики – их вариационная структура, то есть возможность их получения на основе вариационного исчисления.
Научные революции, произошедшие в физике в первой трети 20 века, существенно изменили взаимоотношения физики и математики. Кроме того, математика сыграла существенную роль в самих революциях. Прежде всего, при построении теории относительности и квантовой механики в полной мере проявилась опережающая роль математики. В отличие от классической физики, в которой математике (дифференциальным уравнениям) предшествовало установление связи физических понятий с математическими величинами, при разработке релятивистских и квантовых теорий отыскание адекватной математической структуры опережало ее физическое осмысление. Так, при создании ОТО сначала была найдена риманова структура пространства-времени и тензорно-геометрическая концепция гравитации и только после этого была прояснена собственно физическая сторона дела. При создании квантовой механики также сначала были установлены математические основы теории (например, уравнение Шредингера для волновой функции, физический смысл которой оставался неясным), и только после этого была развита физическая интерпретация теории. Именно эти достижения теоретической физики позволили говорить о «предустановленной гармонии» между математикой и физикой (Минковский, Клейн, Гильберт, Эйнштейн) или о «непостижимой эффективности математики в естественных науках» (Вигнер).
Если классическая физика выглядела, с математической точки зрения, прежде всего, как теория дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка и, соответственно, математико-аналитическая структура была определяющей, то в неклассической науке на передний план выдвинулись Алгебра (теория групп преобразований и их инвариантов), Геометрия (дифференциально-геометрические структуры) и только потом Анализ (функциональный анализ). Большое значение сохраняли также теория дифференциальных уравнений и вариационное исчисление, с помощью которых формулировались законы движения, а также теория вероятностей, в которой корректно формулировалось понятие состояния в статистической и квантовой механике. Теоретико-инвариантный подход, ставший после создания СТО мощным и универсальным средством построения теории, означал распространение «Эрлангенской программы» на физику. ОТО привела к геометризации физического взаимодействия (а именно – гравитации) на языке теории псевдоримановых пространств. Переход от классической механики к квантовой соответствовал переходу к бесконечномерному гильбертову пространству состояний и самосопряженным операторам, то есть переходу от обычного анализа к функциональному. Дальнейшая математизация физики во второй половине 20 века ввела в оборот новые инструменты: расслоенные пространства, алгебраическую топологию, бесконечномерные алгебры Ли и т. д.
Физики, пытаясь продвинуться вперед в математических хитросплетениях теории струн и квантовой гравитации, в надежде подобрать математический язык, адекватный сложности возникших проблем, стали использовать такие экзотические даже для большинства математиков методы, как многомерный анализ на алгебрах Грассмана, некоммутативную алгебраическую геометрию, логические конструкции теории категорий и т. п.
Триумфы интенсивной математизации в создании неклассической физики привели к переосмыслению роли математики – она рассматривается не только как средство количественного описания явлений, но и как главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории. В «предустановленной гармонии» между физикой и математикой, нетрудно разглядеть эстетический момент. Корифеи физики (Эйнштейн, Дирак, Вайнберг) полагали, что успешны только математически красивые физические теории и что именно с красотой связана гармония. В процессе математизации происходит, своего рода, «естественный отбор» эффективных структур, и именно с ними ассоциируется понятие математической красоты. Само понятие, или чувство, «математической красоты» эволюционировало от закономерностей целых чисел и правильных многогранников к евклидовой геометрии и от нее – к математическому анализу и дифференциальным уравнениям, а затем от них – к теории групп, дифференциально-геометрическим структурам и далее к все более абстрактным математическим построениям. Несмотря на глубокий разрыв между желаниями физиков и возможностями математики, математизация физики всегда была и продолжает оставаться важнейшей программой развития физики, которая оказывает мощное обратное воздействие на саму математику, то есть её физикализацию (диффузии в математику физических идей и методов). Это особенно ярко проявляется в современную эпоху, когда идеи, возникшие на фронтире физики высоких энергий (суперсимметрия, теория струн), порождают новые математические направления (суперматематика) и неожиданные приложения в топологии (инварианты Зайберга – Виттена), алгебре (алгебры Вирасоро), логике (квантовые логики).
К 1870 г. математика разрослась в огромное здание, части которого были достаточно изолированы друг от друга, немногие из профессиональных математиков могли работать одновременно в нескольких областях своей науки. В этот период потребность в объединяющих тенденциях вызвала несколько общих теорий – все они имели алгебраическое происхождение. Наибольшего успеха добилась теория групп, которая превратилась в обширный раздел алгебры. К середине 19 века теория групп уже распалась на теорию дискретных и непрерывных групп. Изучение непрерывных групп и построение мощных методов их исследования связано с в первую очередь с именем норвежского математика Софуса Ли, который, объединив групповую структуру с геометрической (многообразием), построил теорию групп, получивших заслуженно его имя – «группы Ли». Они получили огромные приложения в физике. Еще более громкий успех выпал на долю молодого 23-летнего немецкого математика Феликса Клейна, который в 1872 году при утверждения его в должности профессора Эрлангенского университета, выступил со сразу ставшей знаменитой программой будущих исследований, ныне известной как «Эрлангенская программа». В середине 19 века некогда единственно, возможную по мнению философов, евклидову геометрию математики заменили целым семейством, где, кроме евклидовой присутствовали: сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, конформная, многомерная, комплексная и иные «геометрии». Клейн предложил общий алгебраический подход к различным геометрическим теориям и наметил перспективный путь их развития. В своей программе он предложил классифицировать геометрии по группам несущественных для них преобразований, а в качестве главного объекта изучения рассматривать, кроме самих преобразований, их инварианты. Например, классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации; ей соответствует группа, содержащая вращения, трансляции, отражения и их комбинации. Проективная геометрия может изучать конические сечения, но не имеет дела с кругами или углами, потому что круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях, и т. д. Этот подход стал применяться всюду в геометрических исследованиях. Новые возникающие «геометрии» подчинялись этой общей схеме. Так, вскоре появившаяся топология определялась как изучение инвариантов произвольных непрерывных преобразований. После создания СТО Минковский показал, что с математической точки зрения она представляет собой теорию инвариантов группы Пуанкаре, действующей в четырёхмерном пространстве-времени. Будучи перенесенным в физику, подход Клейна стал общим местом для многочисленных геометрий изобретаемых в квантовой теории, физике элементарных частиц и теории суперструн.
Теория групп и соответствующие методы групповых вычислений стали в 20–30 годах прошлого века широко внедряться в квантово-механические расчеты в атомной и молекулярной физике, что вызывало эмоциональную реакцию со стороны старых физиков, не желавших изучать и осваивать новые групповые методы, жалующихся на засилье в физике групповых идей и называющих их «групповой чумой». Но теорию групп и теорию представлений групп остановить было невозможно, даже новые термины становились недоступными для физиков, не знакомых с теорией групп. Так современное определение элементарной частицы как неприводимого представления группы Лоренца для физиков, не специализирующихся по квантовой теории поля, звучит загадочно.
Однако с внедрения языка теории групп в рабочий язык физиков, алгебраизация физики только начиналась. Уровень и объем алгебраических понятий, используемых в физике, стремительно нарастал. Если Гейзенберг в момент создания квантовой механики не знал матриц, а Эйнштейн при создании ОТО учился тензорному языку, то сейчас эти понятия входят в обязательный алгебраический курс студентов-первокурсников, а такие алгебраические объекты, как спиноры, алгебры Грассмана или Клиффорда, обязательны при усвоении базовых курсов по теоретической физике. Физики, активно работающие в теории струн, используют кольца, модули, пучки, гомологические последовательности, вычисляют когомологии и другие обычные для алгебраической топологии инварианты. Даже классическая алгебраическая геометрия, ранее мало известная вне узкого круга математиков, специализирующихся в этой области, встречается в работах по теоретической физике. Современная теоретическая физика «пропитана» Алгеброй больше, чем Геометрией. (В приведенной выше таблице с хронологией математических нововведений видно, что если в 20-м веке вклады Алгебры и Геометрии были примерно одинаковы, то с учетом первой четверти 21-го Алгебры стало в полтора раза больше).