Кажется очевидным утверждение, что при повороте любого объекта вокруг произвольной оси на 360⁰ (1 полный оборот) он переходит сам в себя, то есть такое вращение никак его не изменяет. Однако это утверждение ошибочно! Оно не учитывает связь объекта с его окружением. Если для демонстрации такой связи привязать объект к неподвижным внешним телам с помощью растяжимых нитей, то нити перепутаются и их нельзя будет распутать. Но если продолжить вращение и сделать еще один полный оборот, то есть повернуть суммарно на 720⁰, то нити легко распутываются (см. последовательность 1,2,3,4,5,6), что означает: объект вернулся вместе со своим окружением в первоначальное состояние. Данное построение получило название «трюк Дирака с ремнями», но на самом деле данные манипуляции известны фокусникам с незапамятных времен.

Тем не менее математики формализовали их только в начале 20-того века в связи с исследованиями по квантовой механике. Недавно отмечалось столетие выхода статьи Э. Картана, где в рамках теории представлений групп были обнаружены спиноры (от англ. spin – вращаться). Именно так назвал эти объекты Вандер-Варден, переоткрывший их в 1929 году. Спинор может быть сведен к одной «вращающейся точке», то есть к точечной частице со спином (так первоначально представляли электрон). При этом существуют 2 состояния такого спинора, отличающиеся на один оборот. Поскольку «вращение точки» ненаблюдаемо, то полученное явление стали называть «неклассической двузначностью», которую нельзя описать на языке привычных векторов. Оказывается, неклассическую двузначность проще всего объяснить с помощью конструкций из комплексной геометрии. Дело в том, что существует глубокая и нетривиальная связь между геометрией и комплексными числами. Знаменитый математик Майкл Атья (1929–2019) образно описал эту связь так: «Спиноры в некотором смысле описывают „квадратный корень“ из геометрии, и точно так же, как для понимания квадратного корня из -1 потребовались столетия, то же самое можно сказать, и о спинорах».

Описание процедуры, с помощью которой получают спинор, непросто. Сначала с помощью стереографической проекции, известной еще древнегреческим математикам и широко применявшейся на протяжении тысячелетий для построения карт земной поверхности, сопоставляют комплексной плоскости С сферу S² единичного радиуса с центром в начале координат О.

Стереографическая проекция

Соединим северный полюс сферы S², то есть точку Р (0,0,1) с произвольной точкой z на плоскости прямой линией. Эта прямая проткнет сферу в некоторой точке M(X,Y,Z), и мы получим взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости и сферы (кроме единственной точки Р). Каждому набору из трех координат {X,Y,Z} отвечает набор из двух вещественных чисел,{x,y,0} то есть одно комплексное число: z = x + iy. Если через  = x-iy обозначить число комплексно сопряженное к z = x + iy, то с учетом очевидного соотношения |z|² = z можно выразить координаты точки на сфере {X,Y,Z} через z,:

Единственная точка сферы (северный полюс) при этом не имеет образа в С, так как при подходе к полюсу с любого направления образ уходит на бесконечность. Риман предложил считать бесконечность одной «бесконечно удаленной» точкой {∞}. Если добавить к С эту точку, то получим расширенную комплексную плоскость  = С U {∞}. Для того чтобы найти соответствие точке {∞}, вводят однородные координаты, то есть задают комплексное число z в виде отношения двух комплексных чисел:

Оказывается, что вращению сферы S² отвечают два линейных преобразования пары комплексных чисел :

Такая двузначность с алгебраической точки зрения говорит о большей фундаментальности таких линейных преобразований, чем вращений сферы. Соответствие вращений и линейных преобразований называют двулистным накрытием, так как одному вращению отвечают два преобразования. Рассматривая однородные координаты как компоненты комплексного двумерного вектора

мы получим то, что и называется спинором – абстрактным вектором двумерного линейного пространства С² (поскольку одно комплексное число состоит из двух вещественных, то вещественная размерность спинора равна 4). Спинор как математический объект является более фундаментальным, чем вектор. Учитывая связь вектора и спинора, указанное обстоятельство обычно и формулируют как утверждение: «Спинор – это корень квадратный из вектора».

Для того чтобы сделать ход наших рассуждений более наглядным, изобразим все рассмотренные соответствия на одной схеме. Подробности построения и точные формулы можно посмотреть в книге [11], где расшифровываются тонкие элементы этой схемы.

Этапы построения спинора

Так как вещественная размерность dim С² = 4, то на схеме С² условно изображается в виде тессеракта – четырехмерного куба.