Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена Эйлером в начале 18 века, её аналитическое выражение имеет вид

Такая функция формализовала вычисление сумм степенных рядов, актуальной задачи того времени. Эйлер же провел первое исследование дзета-функции – оказалось, что нули такой функции лежат в отрицательных чётных точках 0 = ζ (– 2) = ζ (– 4) = ζ (– 6) = …., и даже нашел её значения для четных натуральных чисел. В частности он нашел сумму обратных квадратов (задача перед которой спасовали ведущие математики его времени), что принесло ему широкую известность уже в возрасте 28 лет. Приведем график дзета-функции в специальном масштабе (для отрицательных значений аргумента масштаб шкалы значений увеличен в 100 раз для наглядности):

Новое звучание и огромное значение дзета-функция приобрела после того как Бернхард Риман расширил определение Эйлера на случай комплексной переменной и установил связь между её нетривиальными нулями и распределением простых чисел (тривиальные нули – это нули, найденные Эйлером). Гипотеза Римана, считающаяся одной из величайших нерешенных проблем математики (номер 8 в списке Гильберта), утверждает, что все нетривиальные нули находятся на так называемой критической прямой {s ∈ C: Re(s) = 1/2}.(Пока все найденные нули лежат на ней, например первые три нуля: 1/2 ± 14,134725i; 1/2±21,022040i; 1/2 ± 25,0108580i). Многие результаты в теории чисел находятся в подвешенном состоянии пока гипотеза Римана не будет доказана или опровергнута. Из полного названия функции ς^(s) – «дзета-функция Эйлера-Римана» теперь фамилию Эйлера опускают.

Одним из интересных приложений дзета-функции по-прежнему остается суммирование рядов, но теперь удается приписывать «естественное значение» даже расходящимся рядам. Так получаются результаты, ошарашивающие непосвященных в процедуру аналитического продолжения функций комплексного аргумента:

Стоит заметить, что когда физики столкнулись с такими рядами в теории струн и вынуждены были приписать им приведенные выше значения из чисто физических соображений, то они были потрясены не менее. чем читающие эти строки.