Фракталы – весьма экзотичные математические объекты, введенные в научный обиход французским математиком Бенуа Мандельбротом в 1982 году. Слово фрактал является производным от слова латинского fractus – дробное (не целое). Этим словом принято называть математические объекты, имеющие нецелую размерность. Математикам такие объекты известны уже более века, но только после работ Мандельброта, который привел многочисленные примеры фракталов, окружающих нас буквально на каждом шагу, они из математических изгоев превратились в модный тренд.

Почему мы считаем, что поверхность листа бумаги, на котором записан данный текст, является двумерной, а линии, образующие буквы текста, одномерны? Определить размерность множества можно многими способами. Можно, например, сказать, что плоскость листа двумерна потому, что любая точка на листе бумаги задается ровно двумя числами (координатами точки). Это так называемая топологическая размерность плоскости D.

Размерность листа бумаги по Хаусдорфу определяется более замысловато. Покроем плоскость сеткой из квадратиков так, чтобы каждая точка листа бумаги попадала внутрь одного из квадратов. Обозначим сторону квадрата буквой а, а число квадратов, внутрь которых попадает хотя бы одна точка листа бумаги, через N(а). Тогда хаусдорфова размерность множества (листа бумаги) определяется по формуле

Она стремится к определенному значению, которое и называется хаусдорфовой размерностью множества d Для листа бумаги d = 2, что совпадает с топологической размерностью D = d = 2.

Будем называть фракталом такое множество, хаусдорфова размерность которого не равна топологической d≠D.

Очевидно, как следует изменить построения, чтобы находить размерности множеств, расположенных не на плоскости, а лежащих на прямой или в трехмерном пространстве. В случае пространства нужно использовать для покрытия кубики с длиной ребра а, на прямой пользоваться отрезками длиной а. Все остальные подсчеты не зависят от того, где расположено рассматриваемое множество (на прямой, на плоскости или в пространстве). Обсудим теперь некоторые примеры фракталов.

Канторово множество

Возьмем отрезок единичной длины и выбросим из него среднюю треть. Также поступаем с каждым из оставшихся двух отрезков (делим на три равные части и выбрасываем среднюю часть).

Продолжаем этот процесс до бесконечности. То «сплошь дырявое» множество, что остается от отрезка после бесконеч ного числа выбрасываний, называется канторовым множеством. Подсчитаем суммарную длину всех выброшенных отрезков. Она равна

(Мы воспользовались школьной формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии с показателем q = 2/3 и первым членом b₁ = 1/3). Следовательно, суммарная «длина» оставшегося канторова множества равна нулю и его топологическая размерность D = 0 (это точки!).

Подсчитаем теперь его хаусдорфову размерность. В начальный момент для покрытия достаточно 1 отрезка единичной длины, на первом этапе 2 отрезка длиной 1/3, на втором этапе 4 отрезка длиной 1/9 и т. д. В общем случае на п – том этапе потребуется 2^п отрезков длиной 1/3^п каждый. Логарифмическое отношение легко вычисляется. Поскольку зависимость от длины отрезка разбиения исчезла, то предельный переход не нужен и хаусдорфова размерность канторова множества

Канторово множество оказалось фракталом и занимает промежуточное место между точкой (d = 0) и линией (d = 1)!

Кривая Коха

Эта кривая строится аналогично канторову множеству, только теперь после выбрасывания средней части соединяем внутренние концы получившихся отрезков ломаной, состоящей из двух звеньев длиной 1/3 каждое. С каждым из четырех отрезков полученной ломаной поступаем аналогично: выбрасываем среднюю треть и надстраиваем ломаную из двух звеньев. Эту операцию продолжаем до бесконечности (первые три шага показаны на рисунке). В результате получаем «бесконечно изломанную» кривую, называемую кривой Коха.

Топологическая размерность такой кривой очевидно равна единице D = 1. Легко считается и хаусдорфова размерность кривой. На п – том шаге длина отрезка ломаной а_п =1/3ⁿ, а число таких отрезков N(а_n) = 4 ⁿ. Отсюда d = ln  4/ln3  ≈ 1,26. Следовательно, кривая Коха – фрактал и занимает промежуточное место между обычной линией (d = 1) и плоскостью (d = 2).

Ковер Серпинского

Этот фрактал получается из единичного квадрата следующей процедурой. Квадрат делится на 9 равных квадратов и средний квадрат выбрасывается. Далее те же действия повторяются со всеми 8-ю оставшимися квадратами, и так до бесконечности. Первые три шага построения приведены на следующем рисунке:

«Бесконечно дырявый» ковер Серпшского является частью плоскости, и его топологическая размерность D = 2. Элементарный подсчет хаусдорфовой размерности дает d = ln 8п3 ≈1,89.

После работ Мандельброта физики стали обнаруживать фракталы почти во всех областях макроскопической физики. Фракталами оказались береговые линии (d = 1,52), облака (d ≈ 1,4), деревья (d ≈2), бронхи (d≈ 3), артерии (d = 2,7). Большинство естественных ландшафтов и природных объектов (почва, растительный покров, минералы) являются фракталами с хаусдорфовой размерностью d в диапазоне от 1,4 до 2,0. В настоящее время фракталы широко используются не только в физике, но и в информатике и даже в живописи. Кроме чисто научного значения большинство фракталов обладает и эстетическими достоинствами – они перебрасывают мостик между наукой и искусством. В конце концов, они просто красивы.