Тождество Эйлера называют «величайшим уравнением в истории», «самой знаменитой формулой во всей математике». Гаусс говорил: «Если эта формула сразу не очевидна для студента, то он никогда не превратится в первоклассного математика». «Как шекспировский сонет схватывает саму суть любви, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования математики», – так изысканно выражаются некоторые современные ценители. Как же выглядит эта формула? Очень просто:

е = 2,71828… – основание натуральных логарифмов,

 – мнимая единица,

π — 3,14159…– отношение длины окружности к длине её диаметра, Тождество Эйлера (3), объединяющее три основные математические операции (сложение, умножение и возведение в степень) и пять фундаментальных математических констант, принадлежащих к четырём классическим областям математики (числа 0 и 1 относятся к арифметике, мнимая единица i – к алгебре, число π – к геометрии, а число е — к математическому анализу), часто мистически истолковывалось как символ единства математики.

На самом деле это красивое следствие более фундаментальной формулы Эйлера, имеющей вид

Тождество Эйлера (3) получается из (4) при х = π. Геометрический смысл формулы (4) легко усматривается из показательной записи комплексного числа, лежащего на единичной окружности. Эйлер доказывал (4) путем разложения в степенные ряды правой и левой части формулы, так как интерпретации комплексного числа как точки комплексной плоскости тогда еще не существовало, что напускало дополнительного тумана в (3).

При помощи формулы Эйлера можно определить тригонометрические функции:

Это очень удобно при тригонометрических расчетах поскольку комплексными экспонентами намного проще манипулировать нежели синусоидальными компонентами.