Что называется, числом? Понятие числа является центральным в математике. Но само это понятие настолько многогранно, что даже специальный раздел математики, называемый «Теория чисел», охватывает далеко не большую часть того, что подразумевается под этим понятием различными научными школами. Более того, с течением времени появляются все новые математические объекты, претендующие называться числами. Знаменитый математик Леопольд Кронекер (1823–1891) создал афоризм: «Господь сотворил целые числа; остальное – дело рук человека». Большие числа, которые так любили древние индусы, в теории множеств получили новое дыхание. Оказывается, существуют бесконечные, но разные числа со своей арифметикой, непохожей на школьную. Бесконечные (трансфинитные) числа-продукт теории множеств.

Покажем, что множество натуральных чисел N = {1, 2, 3…} можно построить из ничего, то есть из пустого множества(множества в котором нет элементов). Ему естественно сопоставить нольОбразуем новое множество {}, содержащее только один элемент – само пустое множество, ему сопоставим единицу . Продолжая этот процесс, мы сопоставим натуральному ряду N последовательность множеств, составленных из пустого множества то есть

Последовательность (1) образует упорядоченное множество, так как в нем указано, какой элемент следует за каким. Это записывается так: х' < х (х следует за х'). Два упорядоченных множества X и Y называются подобными или имеющими один и тот же «порядковый тип», если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов, то есть такое, что для любых х и х' из X и соответствующих им элементов у и у' из Y, из условия х' < х следует, что у' < у. Все конечные упорядоченные множества, содержащие одинаковое число элементов, подобны между собой. Поэтому порядковые типы конечных упорядоченных множеств можно отождествить с натуральными числами, которые появляются, таким образом, как порядковые числа (тогда как, характеризуя количество элементов множества, те же натуральные числа выступают в другом своём аспекте – количественных чисел). Порядковые типы бесконечных упорядоченных множеств называются трансфинитными (лежащими за бесконечностью) числами. Этих чисел бесконечно много, и они образуют бесконечную иерархию. Через со обозначается первое трансфинитное число – наименьшее бесконечно большое порядковое число, лежащее после всех натуральных чисел (1). Далее идут со + 1,со + 2,со + 3….;

Потом идут степени трансфинитных чисел. Так, трансфинитное число ω² можно условно изобразить в виде схемы, где каждая черта отвечает трасфиниту вида ω · m + n где тип – натуральные числа из N.

Вся последовательность трансфинитов уходит в очередную бесконечность, и цепочка приобретает вид

Удобно представить эту бесконечность в виде приведенной ниже круговой диаграммы, где дано условное изображение порядковых чисел от 0 до ω^ω Бесконечные порядковые числа, то есть трансфинитные числа удается разместить на ней наглядным образом. Каждый оборот спирали соответствует одной степени ω. Как мы видим, бесконечность оказалась весьма структурированной.

Для трансфинитных чисел строится своя корректная арифметика, но при этом оказывается, что как сложение, так и умножение трансфинитов некоммутативно, так, например, 1 + ω = ω ≠ ω +1, 2 · ω = ω ≠ ω · 2

Подробное изложение арифметики трансфинитных чисел и трансфинитной индукции мы опустим.