4.1. Задача Ари Штернфельда

Произошло это по следующим причинам: уменьшение орбитальной скорости ракеты привело к тому, что сократилась длина орбиты и период обращения ракеты-носителя стал короче соответствующего периода спутника. Угловая скорость перемещения ракеты по небосводу стала, таким образом, больше скорости перемещения спутника, и поэтому для наблюдателя с Земли ракета-носитель обогнала спутник. При этом она постоянно двигалась по более низкой орбите.

4.2. Парадокс геостационарного спутника

Дело в том, что при старте с поверхности Земли улетающей вдаль ракете не нужно поднимать запас топлива на геостационарную орбиту. Все (сгоревшее) топливо остается внизу, в глубокой потенциальной яме, что и дает выигрыш в результирующей скорости.

4.3. Летим к Солнцу!

Выгоднее стартовать в полдень с экватора в сторону вращения Земли, то есть на восток, чтобы использовать скорость вращения планеты (0,5 км/с) для компенсации ее орбитальной скорости (около 30 км/с). Это позволит с меньшими затратами топлива перейти с круговой орбиты на эллиптическую и приблизиться если уж не вплотную к Солнцу, то хотя бы к Венере для последующего гравитационного маневра.

4.4. Астероид-загадка

Большая полуось орбиты астероида составляет (1 + 9,5)/2 = 5,25 а.е. Согласно третьему закону Кеплера орбитальный период равен 5,25^3/2 = 12 лет.

4.5. Метод лучевых скоростей

Бо́льшая часть массы планет нашей Солнечной системы сосредоточена в Юпитере, поэтому именно он оказывает основное гравитационное влияние на Солнце, которое в 1000 раз его массивнее. Оба они обращаются вокруг общего центра масс, причем Солнце в 1000 раз ближе к нему, чем Юпитер. Поскольку по орбите Юпитер движется со скоростью V_Ю = 13 км/с (это значение можно взять из справочника или вычислить самостоятельно, зная радиус орбиты Юпитера 5,2 а.е. = 779 млн км и его орбитальный период 11,9 лет), скорость обращения Солнца вокруг центра масс составляет V = V_Ю M_Ю /М = 13 м/с. С такой амплитудой будет изменяться радиальная скорость Солнца для удаленного наблюдателя, если он находится в плоскости орбиты Юпитера. Если же эта плоскость наклонена к его лучу зрения на угол β, то проекция лучевой скорости Солнца на луч зрения наблюдателя составит 13 м/с × cos β. Из условия 13 м/с × cos β > 10 м/с находим ограничение на угол: β < 40°. Поскольку плоскость орбиты Юпитера практически совпадает с эклиптикой (плоскостью орбиты Земли), то угол β практически равен эклиптической широте. Следовательно, если звезда, у которой живут «братья по разуму», имеет эклиптическую широту |β| < 40°, то у них есть шанс заметить периодическое движение Солнца и сделать вывод о наличии у него планетной системы (ну, или, по крайней мере, одного Юпитера). Правда, измерение радиальной скорости Солнца придется проводить довольно долго – более одного орбитального периода Юпитера, то есть более 12 лет.

Отметим, что, когда эта задача впервые была сформулирована в начале 2000-х гг., указанная в ее условии точность измерений (10 м/с) вполне соответствовала уровню развития астрономии тех лет. Однако к настоящему времени (2025 г.) уровень существенно возрос, и уже можно ориентироваться на точность измерения лучевой скорости в 20 см/с. Если у наших «братьев по разуму» произошел такой же прогресс, то каким будет при этом критическое значение угла β?

4.6. Астрометрический метод

Как мы уже знаем, практически вся масса нашей планетной системы сосредоточена в Юпитере, поэтому в подобных задачах можно рассматривать двойную систему Солнце – Юпитер, обращающуюся вокруг общего центра масс. Расстояние Солнца от центра масс r = r_ЮM_Ю/M, где r_Ю – расстояние Юпитера от центра масс, практически совпадающее с радиусом его орбиты (5,2 а.е. = 779 млн км). Тогда амплитуда углового перемещения Солнца при наблюдении с α Кентавра при расстоянии до нее D будет α = r/D = r_Ю(М_Ю/М)/D рад (поскольку угол, очевидно, очень мал, значения арксинусов и арктангенсов можно заменять значениями их аргументов, если углы выражены в радианах). В угловых секундах это будет

α = 206 265˝r/D = 206 265˝r_Ю(М_Ю/М)/D.

Вспомним, что годичным параллаксом объекта называют угол p, под которым от него виден отрезок в 1 а.е. (радиус земной орбиты): в угловых секундах p = 206 265˝(1 а.е. / D). Поэтому в формуле для α вместо расстояния (D) можно использовать параллакс: α = p (r / 1 а.е.) = p (r_Ю / 1 а.е.) М_Ю/М. Положив М/М_Ю = 1000, получим

α = 0,751˝ × 5,2/1000 = 0,004˝.

Это значение в два с половиной раза меньше указанной в условии задачи предельной точности измерений (0,01˝). Значит, пользуясь этим методом, астрономы из системы α Кентавра не узнают, что у Солнца есть планеты.

4.7. Падаем на Солнце

Поскольку радиус земной орбиты намного больше радиуса Солнца, мы можем упростить постановку задачи и вычислить время падения Земли до центра притяжения, то есть до центра Солнца. Падение по радиусу-вектору к Солнцу с расстояния R можно представить как движение по предельно сжатому эллипсу с большой полуосью а = R/2. Время падения t равно половине орбитального периода Р на этой орбите. Значение P легко определяется из третьего закона Кеплера. Представим падение Земли на Солнце как ее движение по эллиптической орбите с афелием, равным 1 а.е., и перигелием, равным нулю. Тогда большая полуось орбиты будет равна 0,5 а.е., а время полуоборота

T = 0,5 × 1 год × 0,5^3/2 = 65 сут. ≈ 2 мес.

Скорость найдем из закона сохранения энергии (гравитационная + кинетическая). Скорость падения издалека (из «бесконечности») на поверхность небесного тела радиуса R равна второй космической скорости на этой поверхности:

V_∞ = (2GM/R)^1/2 = 618 км/с.

Можно уточнить это значение, учтя, что падение происходит с расстояния 1 а.е.:

V = [2GM(1/R – 1/1 а.е.)]^1/2 = 617 км/с.

4.8. Выстрел с поверхности Солнца

Формально, двигаясь с постоянной начальной скоростью, снаряд преодолел бы это расстояние от Солнца до Земли за три с половиной года. Однако, учитывая, что вторая космическая скорость на поверхности Солнца (2GM/R)^1/2 = 618 км/с, а скорость снаряда 1,5 км/с, ясно, что снаряд вообще не покинет Солнце. Поэт Гебель не подумал об этом.

4.9. Геоцентрический рисунок

Оба древнегреческих ученых были бы крайне удивлены и расстроены отсутствием у наших с вами современников элементарных астрономических знаний. Любому наблюдателю неба известно, что обе внутренние планеты – Меркурий и Венера – никогда не удаляются от Солнца на такое большое угловое расстояние. Максимальная элонгация Меркурия составляет 28°, а Венеры 47° (иногда 48°).

Рис. 57. Конфигурации внутренних и внешних планет

Рис. 58. Средние максимальные западные элонгации Меркурия и Венеры

Приведенный в условии задачи рисунок не уникален – к сожалению, подобные встречаются нередко. Ниже примеры из разных современных книг.

Греки хорошо знали, что восточная и западная элонгации Меркурия и Венеры практически симметричны относительно направления на Солнце. К счастью, среди современных иллюстраций геоцентрической системы мира есть и положительные примеры.

Рис. 59. Неправильная схема геоцентрической системы мира

Рис. 60. Самая ужасная схема геоцентрической системы мира

Рис. 61. Ошибочная схема геоцентрической системы мира

Рис. 62. Почти верная схема геоцентрической системы мира

Приведенный рисунок не идеален, но всё же центры эпициклов Меркурия и Венеры лежат строго в направлении на Солнце, что правильно.

4.10. Эпициклы

Размеры эпициклов на иллюстрациях не могут быть произвольными. Они хотя бы приблизительно должны соответствовать видимому движению светил. На этой картинке все эпициклы одинаковые. Но Меркурий изображен ближе к Земле, чем Венера, а значит, его максимальная элонгация будет больше. На самом же деле она почти вдвое меньше. Вот пример правильного рисунка.

Рис. 63

4.11. Стационарные спутники

Таких спутников нет, поскольку их движение было бы неустойчивым. Приливное и атмосферное торможение переводило бы их на более низкую орбиту с более коротким периодом, отчего это торможение лишь усиливалось бы. В результате такие спутники падали бы на планету.

А искусственные геостационарные спутники имеют двигатели коррекции, работа которых помогает поддерживать высоту орбиты и географическую долготу положения спутника на орбите, чтобы он всегда «висел» над выбранной для него точкой земного экватора.