Тот факт, что отношение длины окружности к ее диаметру есть инвариант (число π), был истолкован пифагорейцами как манифест связности и единства мира. Пугала, впрочем, иррациональность этого числа, его несоразмерность, его неповторимость притом, что оператор расчета представлял собой сплошное повторение. Сначала в окружность вписывался правильный треугольник, потом квадрат, потом шестиугольник, и так далее. Чем больше число сторон вписанного многоугольника n→∞, тем ближе результат к пределу

L/D → π,

т.е. длина окружности конечна: L = πD.

Здесь сам инвариант (число π), будучи символом, представляет собой отношение длины к диаметру окружности π = L/D. Фрактальная кривая, например, остров Коха, отличается от окружности тем, что она, будучи ограниченной, не имеет конечной длины. Кривая Коха в целом и любой ее фрагмент имеют бесконечную длину:

L = lim _n→∞ 4ⁿ/3ⁿ → ∞.

Льюис Ричардсон изучал протяженность береговой линии западного побережья Британии. Эксперименты свидетельствовали, что длина береговой линии возрастает с уменьшением масштаба измерения, в пределе — до бесконечности. В процессе измерения мы имеем дело с функционалом. В математике понятием «функционал» обозначают оператор, который отображает многообразие (пространство) функций в числовое множество. Функционал может быть рассчитан, например, интегрированием функции в определенном диапазоне параметров. В этом смысле результат измерения длины береговой линии есть функционал, и он зависит от процесса измерения.