Метод систем итерированных функций (IFS — Iterates Function System) был разработан Майклом Барнсли на основе сжимающих аффинных преобразований, которые мы рассмотрим подробно в главе III. Пока иллюстрируем этот метод простым примером.

Дано: равносторонний треугольник с координатами углов А (0,0), В (1,0), С (1/2,3^1/2/2),Z₀и произвольная точка внутри этого треугольника — игральная кость, на гранях которой имеется по две буквы A, В и С.

Шаг 1. Бросаем кость. Вероятность выпадения каждой буквы составляет 2/6 = 1/3.

• Если выпала буква А — строим отрезок z₀ - А, на середине которого ставим точку z₁.

• Если выпала буква В — строим отрезок z₀ - В, на середине которого ставим точку z₁.

• Если выпала буква С — строим отрезок z₀ - С, на середине которого ставим точку z₁.

Шаг 2. Бросаем кость еще раз.

• Если выпала буква А — строим отрезок z₁ - А, на середине которого ставим точку z₂.

• Если выпала буква В — строим отрезок z₁ - В, на середине которого ставим точку z₂.

• Если выпала буква С — строим отрезок z₁ - С, на середине которого ставим точку z₂.

Повторяя операцию много раз, мы получим точки z₃, z₄, ..., z_n. Особенность каждой из них в том, что точка находится точно на полпути от предыдущей до произвольно выбранной вершины. Теперь, если отбросить достаточно большое количество точек, например, от z₀ до z₁₀₀, то остальные при достаточно большом их количестве образуют структуру «салфетки Серпинского». Чем больше точек, чем больше итераций, тем явственнее является наблюдателю фрактал Серпинского. И это притом, что процесс идет, казалось бы, случайным путем (благодаря игральной кости). «Салфетка Серпинского» представляет собой своего рода аттрактор процесса, то есть фигуру, к которой стремятся все траектории, построенные в этом процессе при достаточно большом количестве итераций. Фиксация образа при этом представляет собой кумулятивный, накопительный процесс.

Каждая отдельная точка, быть может, никогда и не совпадет с точкой фрактала Серпинского, но каждая следующая точка этого организованного «по случаю» процесса притягивается ближе и ближе к точкам «салфетки Серпинского». При этом радиус попадания каждой следующей точки в окрестность точки фрактала Серпинского уменьшается экспоненциально. Например, так. На 10-м шаге размеры радиуса попадания составляют 2^-10 или 10^-3 метра. Одна тысячная метра — миллиметр. Такое различие вполне различимо невооруженным глазом. Но уже на 30-м шаге получим размеры 2^-30 или 9 х 10^-10 метра. Для тех, кому эти цифры мало что говорят, скажем, что это примерно равно размеру атома, и заметить такое отличие можно только в самый мощный современный электронный микроскоп. Согласитесь, что такое попадание можно считать точным и полным с практической точки зрения.

Неудивительно, что, брызгая краской на холст без строгих и четких правил, вам не повторить полотен Джексона Поллока.

Для повторения необходимо организованное пространство (холст, краски, кисти), алгоритм действий и еще, самое главное, — дух Джексона Поллока. Дух — это абстрактная, нематериальная субстанция. И если она оставляет свой след, то это символический знак, такой как фрактальная размерность.

Слева направо: окружность, вписанная в пятиугольник; остров Коха; побережье Мальдив

Фрактальная размерность есть число, которое не выводится из геометрических пропорций фрактала, и это отличает ее от пифагорейского инварианта окружности — числа π (Пример 1). Фрактальная размерность не выводится из алгоритма построения фрактала, и это иллюстрируют ветвление деревьев и слияния рек, рассмотренные Леонардо да Винчи (Пример 2). Фрактальная размерность выражает и структуру, и алгоритм, как это интерпретирует пример Мандельброта — формирование бронхиальной системы (Пример 3).