Логистика и некоторые направления в ней. – Теория квантификации сказуемого. – Логистика Буля. – «Алгебра логики» – Логистика отношений. – Течения логистики отношений. – Отличия логистики от логики. – Комбинационная логика

67. Наряду с логикой в прошлом столетии была окончательно обоснована много раз уже упоминавшаяся нами логистика («логическое исчисление», «математическая логика», «символическая логика» и т. п.)

Неоднократно отмечались выше те особенности логики, которые роднят ее часто с математикой и наводят математический ум на мысль о возможности широкой разработки логического исчисления. Особенно приводит к этой мысли узкоформальная логика, с ее отвлечением от действительности, количественными отношениями объемов в суждении, обильным пользованием символами и т. д. Попытки логического исчисления делались давно, их делал еще Лейбниц, но окончательно обосновано оно было в прошлом веке английским математиком Булем.

Немецкий философ, логик и математик Г. В. Лейбниц (1646–1716) попытался построить первые логические исчисления. Он полагал, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками и привел правила. Он хотел создать универсальный язык, с помощью которого споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычисления.

Английский математик и логик Джордж Буль (1815–1864) развивал идеи логики в качестве универсального языка исчислений Лейбница. Он считается основоположником математической логики в качестве самостоятельной дисциплины. Исчисление Буля известно как алгебра логики, где акцент сделан на изучении свойств логических операций. Главной задачей создаваемой им алгебры логики в своих основных работах («Математический анализ логики», а также «Исследование законов мышления») Буль считал вычисление истинности или ложности суждений.

С тех пор логистика сделала огромные успехи. Любопытно, что в развитии своем она повторяет некоторые важные различия направлений, отмеченные нами в логической теории умозаключения. Так чаще всего она основывается на отношениях объемов понятий («алгебра логики»). Было показано, что она может быть основана на отношениях содержаний понятий (Гуссерль). Наконец, наибольшее значение в настоящее время приобрела логистика отношений, являющаяся отчасти параллелью к логике отношений.

68. Ближайшим толчком, побудившим основателя логистики, Буля, к его работе, была теория английского логика Гамильтона о квантификации сказуемого, обращавшая суждение в «уравнение» – Обыкновенно в логике квантифицируют (т. е. указывают объем, в каком оно взято в суждении) подлежащее суждения. Этим достигается определение так называемого количества суждения. Суждение «люди смертны» – для точного мышления не ясно. Надо указать, все люди, или некоторые, или большинство. Это и будет квантификацией подлежащего. – Указания, в каком объеме взято в суждении сказуемое, обычная логика не требует. Но Гамильтон показал особенно отчетливо, что подобная квантификация очень небесполезна для логики, значительно увеличивая число возможных форм силлогизма и упрощая теорию. При квантификации сказуемого суждение вполне отчетливо принимает вид количественного равенства (объемов подлежащего и сказуемого). Мысль «люди суть смертные существа» получает форму: «люди части смертных существ». Словом, суждения с квантифицированным сказуемым «есть просто уравнение» (Гамильтон).

Эта мысль Гамильтона и послужила толчком для Буля к разработке «логических уравнений» с помощью математических методов. Словесные символы подлежащего и сказуемого он заменил буквами, принял особые символы для обозначения «логических действий» и построил тщательно разработанную систему логического исчисления. Вот простейшие, элементарные сведения об его методе.

69. Суждение выражается буквенными символами, в форме уравнения, причем знаком квантификации сказуемого служит V (например – X = VY). – Знак плюс (+) означает соединение однородных символов. Например понятия «люди и звери» можно обозначить так: Х + Y. – Знак умножения соединяет вещь с ее признаками. Например, понятие «Добрые люди» можно символизировать так: ХУ. – Знак минус означает «исключая, кроме». Например понятие: «все люди кроме европейцев» можно означить через Х – Y. – Если все вообще мыслимые предметы обозначить в совокупности чрез I, то можно всегда символизировать отрицательный класс к любому данному. Например, если «люди» означены символом X, то «все, что не люди», можно обозначить символом I – Х.

Каждое логическое уравнение можно подвергать преобразованиям, дающим новые сочетания мыслей. Обозначили, например, понятие светила – X, солнца – Z, планеты – Y.

Тогда суждение: «все сведения суть или планеты или солнца» примет вид: X=Y+Z.

Преобразуем его.

X – Z = Y,

т. е. все светила, кроме солнца, суть планеты

Z = X – Y

Солнца суть все светила, исключая планет и т. п.

Главная задача, которую помогает решить логистика Буля, состоит в следующем.

Дано несколько посылок. Взять какой-либо термин из них и узнать о нем все, что можно о нем узнать из этих посылок; так сказать, выжать из них все, что его касается. – При решении этой задачи Буль достигает огромных обобщений по сравнению с теорией обычной узкоформальной логики. Так, силлогизм он рассматривает как исключение одного термина (среднего термина) из системы трех терминов. Но силлогизм только частный случай другой всеобъемлющей задачи: «исключить все средние термины из предложений, каково бы число тех и других ни было, и каковы бы ни были их связи», которую должна решить логистика.

70. Логистика Буля разработана чисто математически. Это часть математики, в сущности – настоящая алгебра, при том лишь условии, что символы ее имеют только два количественных значения: 0 и 1. Это и «алгебра единицы и нуля», и в то же время логистика. Каждую формулу ее можно истолковать двояким образом: 1) количественным – подставив вместо символов 0 и 1; 2) качественным, логистически, подставив вместо символов обозначаемые ими по условию понятия.

71. Этот чисто математический характер разработки логического исчисления не удовлетворял многих из последователей Буля. Отсюда ряд видоизменений логистики.

Наиболее заметное из них состоит в том, что взгляд на суждение как на уравнение был оставлен, и было принято обычное понимание суждений объемной логики. Так суждение «негры – люди» символизируется не как X=VY, а с помощью знака подчинения понятий; например, <, и принимает вид Х < Y. При этом тот же знак означает и логическое следование одного суждения из другого. Так что каждое отношение а < b можно истолковать двояким образом: 1) понятие а подчинено понятию b, 2) суждение а имеет своим логическим следствием суждение b. – Принцип силлогизма в подобной системе логистики («алгебре логики») выражается так: (а < 7) (6 < с) < (а < с). Эта формула, естественно, тоже имеет два истолкования: 1) если всякое a есть b и всякое b есть c, то всякое a есть c – принцип категорического силлогизма и 2) если из a следует b, и из b следует c, то из a следует c – принцип условного силлогизма (Кутюра).

В логике принцип условного силлогизма гласит, что в таких силлогизмах можно заключать только от утверждения основания к утверждению следствия и от отрицания следствия к отрицанию основания, но нельзя делать выводы от утверждения следствия к утверждению основания и от отрицания основания к отрицанию следствия. К примеру, силлогизм «Если дождь идет, то трава мокрая. Дождь идет. Следовательно, трава мокрая» является условным. В этом силлогизме в меньшей посылке содержится утверждение основания, вследствие чего утверждается также и следствие, потому что в данном случае основание есть причина следствия.

72. Наряду с этой так называемой алгеброй логики, соответствующей обычной объемной логике и достигающей по сравнению с ней огромных обобщений, возникла и существует другая ветвь логистики, имеющая большее значение, «наука величественно огромная, богатая средствами выражения и могучими методами вывода» (Шредер). Это «логистика отношений» (часто неправильно ее называют «логикой отношений», вообще логисты склонны называть логистику логикой, часто – «новой логикой», и думать, что она должна заменить логику).

Начало логистике отношений вполне определенно положено американцем Чарльзом Пирсом; систематически оно разработано впервые немцем Шредером; наиболее полная разработка ее в настоящее время принадлежит английскому математику Б. Расселу. – Она отличается от алгебры логики тем же, чем отличается отчасти настоящая логика отношений от объемной логики: она имеет дело не с отношениями объемов понятий, но вообще со всякими отношениями вплоть до отношений родства. Все это служит предметом «логического исчисления».

Рассел Б. (1872–1970) – английский философ, логик и математик. Основной вклад Б. Рассела был сделан в логику и в основы математики. Он включает в себя открытие парадокса Рассела (также известного как парадокс Рассела – Цермело), развитие теории типов, отстаивание логицизма, то есть такой точки зрения, согласно которой математика в каком-то значимом смысле сводится к формальной логике. Б. Рассел обнаружил парадокс, носящий его имя, в 1901 году, во время работы над «Началами математики» (1903). Парадокс множеств возникает в связи с множеством всех множеств, которые не являют самих себя. Такое множество, если оно существует, будет членом себя тогда и только тогда, когда оно не является членом самого себя. Суть парадокса: есть множество, состоящее только из «обычных» множеств, и нужно решить, содержит ли оно себя в качестве элемента. Если множество «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества – это те, которые себя не включают. Если множество «необычное», то оно не может включать себя в качестве элемента, но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество. В любом случае получается противоречие. Парадокс знаменателен тем, что, используя классическую логику, все предложения влекут за собой противоречие. Таким образом, открытие Рассела вызвало к жизни труды других ученых-логиков, дало основание развитию теории множеств, а также философии и основаниям математики.

73. Логистика Рессела содержит три отдела: а) исчисление предложений; б) исчисление классов; в) исчисление отношений. Объединяющей основой служит понятие «предложительной функции». Положим, нам дано предложение: «Сократ – человек». Поставим вместо определенного объекта (Сократ) неопределенный объект Х, «пустое место», которое можно всегда заполнить любым соответственным термином.

Получится – «Х человек». Это будет предложительная функция (с одной переменной). Стоит подставить в нее любое значение Х, – и она обратится в предложение. – Если мы заменим в предложении «Павел любит Ивана» через неопределенные Х и У, получим функцию с двумя переменными или отношение: Х любит У. Отношения можно складывать, умножать и т. д. Но действия с ними во многом отличаются от действий алгебры логики (с классами и предложениями.

Разработка логистики идет в настоящее время широко и различными путями. Так, предложена логистика «способов действия» (Ройс), возможных «для каждого разумного существа, которое вообще может действовать и размышлять над своими собственными возможными способами действия» (каковы, например, «петь», танцевать» и т. п.). – В связи с огромными обобщениями, возможными для логистики, возникают предположения о логике как «науке о всеобщем порядке – учении о формах каждой упорядоченной области реальных и идеальных объектов» (Ройс) и т. п.

74. Логистику в полном ее развитии трудно резко отграничить от математики – в свою очередь очень расширившей понимание своих задач, переставшей быть наукой только о количественных отношениях. Вопрос об отношении ее к математике решается различно. – От логики отграничивают логистику следующие главные признаки: 1) характер исчисления, свойственный логистике, 2) задачи и метод. Логика изучает существующие уже и вновь появляющиеся методы и формы знания, значит, основывается на опыте. Логистика творит свои методы и комбинации методов. – В частности логика отношений отличается от логистики отношений еще тем, что она есть вид логики, в то время как последняя – часть логистики. Она имеет дело с отношениями, а последняя обычно с относительными понятиями.

75. Оригинальное положение между логикой и логистикой (впрочем, гораздо ближе к последней) занимает так называемая комбинационная логика (Джевонс, Кинс). Она не имеет характера исчисления, но в то же время является сама по себе методом исследования. – Главная задача ее та же, которую мы видели у Буля. Дано несколько посылок. В них встречается класс Х. Требуется узнать об этом классе все, что можно вообще узнать о них из этих посылок.

Поступает Джевонс так: а) Берет все термины посылок и отрицательные к ним термины и составляет таблицу всех математически возможных их комбинаций. Два термина дадут, очевидно, четыре сочетания; три – восемь; четыре –16 и т. д.

б) Сравнивает эти комбинации с посылками. Окажется, что многие из этих комбинаций противоречат тем сочетаниям терминов, которые утверждаются в посылках. Их нужно вычеркнуть.

в) Оставшиеся после такого просеивания комбинации и есть желаемая характеристика термина, как видно, работа эта чисто механическая, тем более что термины символизируются буквами алфавита. Это дает возможность упростить работу с помощью разных технических приспособлений. Так, Джевонс устроил для ее облегчения особые «логические счеты» и, наконец, «логическую машину». На особой доске, на подвижных табличках, написаны все возможные сочетания терминов и их отрицаний (в буквенных символах). Внизу клавиатура, клавиши которой обозначают отдельные термины, их отрицания и знаки = и +. Сочетания терминов, данные в посылках, «разыгрывают» на этих клавишах. Все несовместимые с ними сочетания на доске устраняются сами собою и остаются только те, которые характеризуют желаемый термин.