Через несколько лет после публикации Калуцы Оскар Клейн (никак не связанный с Феликсом Клейном) самостоятельно пришел к идее пятимерного объединения, поместив ее, однако, в квантовый контекст. В те времена, задолго до появления онлайн-журналов и поисковых систем, повторные открытия были обычным делом. Если в разных формулировках одной и той же идеи было достаточно отличий, приоритет открытия могли признать за обоими авторами[41]. Отсюда и название «теория Калуцы – Клейна», а не просто «теория Калуцы». Кстати, еще одна пятимерная модель объединения появилась раньше, чем у Калуцы: ее предложил в 1914 году финский физик Гуннар Нордстрём, но она была основана на модели гравитации, которая вскоре была отброшена в пользу общей теории относительности.
Оскар Клейн родился в Мёрбю, недалеко от Стокгольма, в религиозной и образованной еврейской семье. Его отцом был уроженец Словакии Готлиб Клейн, почтенный священнослужитель, первый главный раввин Стокгольма. Мать Оскара, уроженка Германии Антония «Тони» Клейн (урожденная Леви), имела академические корни. Он рос, увлекаясь наукой, в том числе биологией и химией, и еще в школе, в возрасте 16 лет, стал с удовольствием заниматься исследованиями под руководством физико-химика Сванте Аррениуса, первого шведского нобелевского лауреата и директора Нобелевского института. Аррениус оставался его наставником на протяжении всей университетской карьеры.
В 1918 году Клейну представилась прекрасная возможность поехать в Копенгаген и поработать с Бором. Бор стал строить квантовый Ксанадупур[42] в этом волшебном северном городе – начиная с игрушечных атомных моделей, напоминающих Солнечную систему с электронами в качестве планет, и заканчивая полноценной квантовой механикой с ее вероятностным описанием фундаментальных явлений. Клейн был рад учиться у великого мыслителя и в итоге стал одним из его ведущих научных ассистентов. В конце 1910‐х и начале 1920‐х годов он постоянно курсировал между двумя скандинавскими столицами, чтобы проводить исследования во всемирно известных центрах, возглавляемых Аррениусом и Бором.
К середине – концу 1920‐х годов в Мичиганском университете в Энн-Арборе (США) образовался новый центр исследований квантовой физики, куда пришли такие известные ученые, как Сэмюэл Гаудсмит и Джордж Уленбек, разработчики концепции квантового спина – представления, что частицы, подобные электрону, обладают дискретным количеством внутреннего момента импульса, который определяет их поведение в магнитном поле. Там Клейн получил должность преподавателя, начав работать осенью 1923 года. В следующем году, обучая студентов теории электромагнетизма, он стал рассматривать вопрос о том, что должно происходить с электронами при совместном воздействии электромагнитного и гравитационного полей.
В 1924 году французский физик Луи де Бройль опубликовал свою блестящую теорию волн материи. Он показал, как объяснить поведение электронов в атомах, используя аналогию со стоячими волнами. Это четко различимые фигуры, образуемые колеблющейся струной или крутящейся веревкой с закрепленными концами. Чтобы строго соблюдалось условие неподвижности, концов на струне должно быть целое число пиков: 1, 2, 3 и т. д. Аналогичным образом волна, соответствующая электрону на орбите вокруг ядра, должна иметь целое число пиков. Это число, как обнаружил де Бройль, с хорошей точностью совпадает с ранее введенным «первичным квантовым числом», которое характеризует возможные орбиты электрона в планетарной модели атома Бора. Немецкий физик Арнольд Зоммерфельд усовершенствовал модель Бора в середине 1910‐х годов, добавив еще два квантовых числа, связанных с моментом импульса. Квантовый спин, введенный в 1925 году, дополнил картину четвертым квантовым числом. Эти четыре квантовых числа определяют квантовые состояния электронов в атомах. Представление электронов в виде стоячих волн, задаваемых первичным квантовым числом, помогло сделать эту идею более осязаемой.
Гипотеза волн материи де Бройля побудила многих молодых исследователей по всему миру по-новому взглянуть на электроны как на обладающие одновременно свойствами волн и частиц и использовать этот дуализм для объяснения их поведения. Клейна увлекла идея обосновать дискретность электрического заряда (его кратность конечной минимальной величине) через связь с волновыми свойствами электронов. Как показал де Бройль, механический импульс электрона обратно пропорционален длине его волны – волновому свойству. Это, однако, никак не объясняло дискретность заряда.
Вспомнив мимоходом брошенное Бором замечание, что четвертого измерения может оказаться недостаточно для объяснения мира частиц, Клейн совершил мысленный прыжок в пятое измерение. Он обнаружил изящный способ связать заряд электрона с волновыми свойствами пятимерного кольца в объединенной теории электромагнетизма и гравитации. При этом он разработал теорию объединения, похожую на теорию Калуцы, но с тем ключевым отличием, что дополнительное измерение было недоступно для прямого наблюдения не из-за произвольных математических ограничений, а из-за сворачивания в крошечную окружность, размер которой сравним с так называемой планковской длиной.
Планковская длина – это одна из естественных единиц измерения, введенных немецким физиком Максом Планком в 1899 году в попытке упорядочить определения физических величин. Будучи равной примерно 10–35 метрам, она настолько мала, насколько это вообще возможно в теоретической физике – гораздо меньше, чем все, что можно непосредственно измерить. В сгустке заряженной материи размером с планковскую длину гравитационные и электромагнитные силы будут сопоставимы по величине. В более привычных для нас масштабах гравитация гораздо слабее. Планковская длина также задает масштаб, в котором квантовые эффекты, вероятно, станут проявляться в гравитации, подобно тому, как это происходит с электромагнетизмом на гораздо бóльших масштабах. Поскольку явления, происходящие в планковском масштабе, были бы необнаружимы, Клейн не видел проблем с пятым измерением такого размера.
Представьте, что вы смотрите с воздуха на склад садовых принадлежностей, где разбросаны длинные тонкие резиновые трубки: одни сплошные, другие полые. С высоты трубки кажутся одномерными, как палки, и трудно что-то сказать об их внутреннем устройстве. Их поперечные сечения слишком малы, чтобы их разглядеть. Тем не менее пустота некоторых трубок позволяет им выполнять практическую функцию – по ним можно прокачивать воду. Так же и здесь: хотя в теории Клейна пятое измерение экспериментально обнаружить нельзя, оно играет в ней ключевую роль.
Клейн обосновал, почему заряд дискретен, то есть кратен фиксированной величине, связав его с импульсом в пятом измерении. Он обобщил идею де Бройля, согласно которой импульс обратно пропорционален длине волны, и заявил, что импульс в пятом измерении обратно пропорционален длине волны в этом измерении. Если электроны – это стоячие волны в свернутом до планковских размеров пятом измерении, то в его окружность должно вписываться целое число волн. Это заставляет пятимерный импульс, а значит, и заряд, быть кратным фиксированному значению, что и объясняет дискретность электрического заряда.
Поначалу Клейн был очень воодушевлен этой идеей. Он очаровывал своих коллег, рассказывая, что она может связать воедино всю современную физику. Хорошо знавший его Уленбек вспоминал:
Я до сих пор помню один момент после долгой дискуссии с Клейном, в ходе которой он рассказывал о своей пятимерной теории относительности и о том, как из нее выводятся квантовые свойства. Понимаете, отталкиваясь от требования периодичности в пятом измерении, можно было получить квантовые принципы. Я был очень взволнован и сказал им [моим друзьям]: «Очень скоро мы… [получим] формализованный мир. Мы будем знать всё! Всё будет известно к тому времени». Что ж, это было прекрасное преувеличение[43].
После возвращения в Копенгаген в 1926 году Клейна ждал шок. Физик Вольфганг Паули, который часто с удовольствием указывал на недостатки чужих теорий, узнал о его работе и напрямик сообщил ему о более ранней идее Калуцы, который тоже опирался на необнаружимое пятое измерение. Впервые просмотрев статью Калуцы, Клейн словно попал под поезд. В голове у него крутилась мысль, что вся его кропотливая работа лишь повторяет чужую идею, которую он мог бы легко найти, если бы ему подсказали, где искать. Однако, когда ему удалось взять себя в руки, он понял, что между двумя работами есть существенные различия. И это не только его механизм сворачивания пятого измерения в крошечную окружность, но и точность некоторых вычислений, которая была выше, чем у Калуцы, делавшего приближенные расчеты. Удовлетворившись тем, что его работа достаточно оригинальна, Клейн решил опубликовать ее.
То, что физики сегодня называют теорией Калуцы – Клейна, в итоге сохранило идею Клейна о свернутых дополнительных измерениях. С тех пор как число известных фундаментальных сил удвоилось за счет добавления к гравитации и электромагнетизму сильного и слабого ядерных взаимодействий, в новых теориях, включающих механизм Калуцы – Клейна, к обычному пространству-времени, как правило, добавляются шесть крошечных дополнительных свернутых измерений, а в некоторых случаях и еще одно большое, несвернутое, измерение, недоступное по другим причинам, и всего получается десять или одиннадцать измерений. К таким современным теориям относятся супергравитация, теория суперструн и М-теория.
Обобщение кольца на более высокую размерность – это форма бублика, или тора. Тор в трехмерном пространстве представляет собой фигуру, заданную двумя перпендикулярными окружностями: внешней, которая обозначает область, занимаемую бубликом, если положить его на тарелку, и внутренней, соответствующей его поперечному сечению. Тор можно определить для любого числа измерений, добавляя больше окружностей, перпендикулярных остальным.
Процесс, в ходе которого отдельные, но не все, измерения в многообразии сворачиваются, называется компактификацией. Выполнить компактификацию можно разными способами, и маленькие многомерные бублики – это лишь одна из многочисленных возможностей. Чаще всего компактификация порождает так называемые многообразия Калаби – Яу: многомерные пространства с особыми геометрическими свойствами, названные в честь математиков Эудженио Калаби, который предположил их существование, и Шин-Туна Яу, который подтвердил гипотезу Калаби и определил их свойства. Свернутые в высших измерениях в различные формы, они больше похожи на крендели или клубки веревок, чем на бублики. Их математические свойства прекрасно подходят для моделей суперструн, в которых реализуются различные симметрии квантовых теорий поля, описывающих сильное и электрослабое (электромагнитное, объединенное со слабым) взаимодействия. Теория Калуцы – Клейна процветала в ходе поисков куда более масштабного объединения взаимодействий и разрослась гораздо шире своих первоначальных ростков.