В 1918 году Эмми Нётер опубликовала посвященную Феликсу Клейну статью «по случаю 15-й годовщины присуждения ему докторской степени»[166]. Заглавие статьи можно перевести как «Инвариантные вариационные задачи».

Это скромный заголовок, никак не намекающий на таящиеся на страницах статьи откровения. Продираться через эти страницы нелегко даже сегодня, а в то время это, должно быть, была непростая задача, поскольку автор статьи свободно пользуется терминологией и выводами, принадлежащими передовому краю нескольких областей математики. Даже прославленный математик Корнелий Ланцош, который, без сомнения, был в тот период экспертом по нескольким методам, к которым Нётер прибегла для решения своей задачи, вынужден был признать, что «оригинальная статья Нётер – нелегкое чтение»[167].

Проблема полностью состоит в природе материала и плотности изложения, обусловленной требованиями, предъявляемыми к публикации. Само изложение не противоречит репутации Нётер как человека, способного давать элегантные и ясные объяснения. Хотя она писала для небольшого и весьма искушенного круга своих собратьев-математиков, даже те, кто не работал в рассматриваемой области, могли получить из этой и других ее статей некоторое представление о контексте и целях исследования.

В этой главе мы сначала рассмотрим содержание, значение и роль теоремы Нётер – вышеупомянутого «наиболее фундаментального из физических открытий» (вновь процитирую Фрэнка Вильчека, в 2004 году получившего Нобелевскую премию по физике за теоретическую работу в области физики элементарных частиц)[168].

Затем я опишу, как Нётер пришла к работе над задачей, приведшей ее к теореме, и как она оказалась единственной, кто был способен установить взаимосвязи, результатом которых стало открытие. Я кратко и в общих чертах расскажу об областях математики, которые она необычным образом сочетала, чтобы получить новое знание, выявляя скрытые взаимосвязи между двумя фундаментальными идеями физической науки. Я покажу, как полученные ею результаты в значительной степени помогли нам лучше понять несколько предшествующих веков развития физики и открыли дорогу физике будущего. Мы увидим, как, доказывая свою теорему, Нётер также разрешила ключевой вопрос, центральный для незадолго до того обнародованной общей теории относительности. А затем мы на короткое время вернемся к лихорадочным месяцам, окончившимся публикацией этой теории, и снова увидим, каким образом она стала одним из ее непризнанных соавторов.

Хотя я могу объяснить интуитивно понятное физическое содержание теоремы Нётер, не прибегая к традиционным математическим символам, я не могу, не обращаясь к уравнениям, подробно объяснить, как она доказана. А потому вы не найдете здесь детального изложения ее доводов и методов, потому что такое объяснение выходит далеко за рамки этой книги. Надеюсь, вы простите меня за то, что я опущу математические подробности. Доказательство математического вывода – это математическое доказательство, и его нельзя перевести с языка математики. Это так, даже если выводы (к счастью для нас) имеют убедительное и интуитивно ясное содержание.

Теорема Нётер демонстрирует взаимосвязь между двумя идеями, весьма почитаемыми в физике и которые, в разных обличиях, играют важную роль далеко за ее пределами: симметриями и законами сохранения. Чтобы понять, о чем идет речь в этой теореме и почему она дает начало новым направлениям мысли, нам нужно для начала понять эти две простые идеи.

Идея симметрии бессмертна. Древние греки часто обсуждали ее в контексте философии и математики. Она была с нами на всем протяжении нашей интеллектуальной истории и всегда играла центральную роль во всех науках. Симметрия, разумеется, существует и за пределами науки – в частности, в философии и эстетической теории.

«Большой толковый словарь Уэбстера» (Webster’s Revised Unabridged Dictionary) в его наиболее совершенной редакции 1913 года со свойственной ему элегантностью дает следующие определения симметрии: «Гармоническая соразмерность нескольких частей тела друг с другом; уподобление форм или измерений нескольких частей вещи друг другу; единство и согласие элементов произведения с целым». Словарь добавляет второстепенное значение, касающееся симметрии в биологии: «Закон подобия; сходство структур; правильность форм и внутренней организации; закономерное и однотипное распределение частей: например, тело животного может делиться на структурно симметричные части». Это – хорошие общие определения, но позднее я предложу еще одно, которое будет проще и созвучнее тому, как этот термин используется математиками и физиками.

Симметрия повсюду – в анализе живописи и музыки и в психологических объяснениях нашего восприятия красоты человеческого тела. Она играет описательную и до известной степени объяснительную роль: предполагается, что симметрия доставляет нам удовольствие, поскольку придает разрозненным элементам своего рода логическую структуру. Нас привлекает симметрия в других людях, поскольку это признак здоровья и пригодности к размножению.

Симметрия присутствует даже в моральной философии, ведь чем является Золотое правило, если не апелляцией к принципу симметрии?

В биологии симметрия – как присутствие ее, так и отсутствие, – постоянный источник вопросов и ответов. Расположение органов внутри тела не соответствует характерному для нашей внешности принципу двусторонней симметрии, но почему печень находится справа, а не слева? И почему у небольшого числа людей схема расположения внутренних органов зеркально симметрична той, что свойственна большинству? Симметрия может быть винтовой, а разворачивание спиральной структуры ДНК открыло новую эпоху в истории науки о жизни[169].

Одна из наиболее интригующих загадок на пересечении симметрии с биологией связана с обнаруженной у аминокислот и молекул сахаров в живых организмах хиральностью или отсутствием симметрии относительно правой или левой стороны. Нам всем известно, что, чтобы завинтить винт, его обычно надо вращать по часовой стрелке: это винт с правой резьбой. Но мы также знаем, что временами встречаются винты с левой резьбой; нужно сохранять непредвзятость, если ремонтные работы идут не так, как планировалось. Причина, по которой почти у всех винтов правая резьба, в том, что люди решили сделать это стандартом, чтобы упростить себе жизнь. Преобладание в номенклатуре скобяных товаров винтов с правой резьбой – своего рода симметрия: если бы решение сделать винты с правой резьбой не задало стандарт, можно было бы ожидать, что мы столкнемся с равным числом обоих вариантов. Некоторые из молекул живых организмов также обладают определенной хиральностью, поскольку, как правило, имеют спиралевидную форму наподобие винта; они тоже могут быть закручены влево или вправо. Отступление от симметрии на молекулярном уровне – давняя биологическая загадка: почему все аминокислоты в живых организмах закручены влево, а все сахара – вправо?[170] Симметрия действующих на этом уровне законов, как кажется, не предполагает предпочтения одного вида хиральности другому, поэтому следовало бы ожидать равноценности там, где наблюдается прочная монополия.

В физике и астрономии симметрии всегда отводилось центральное место. Таксономия форм кристаллов объясняется вероятным симметрическим расположением молекул. Движение электронов в этих молекулах, закономерности вибрации литавр и форма облаков – все подчиняется симметричным решениям сходных уравнений. Здесь даже блистательное отсутствие симметрии, возникающее без очевидного, убедительного объяснения, рождает загадку: почему мы живем во Вселенной, состоящей из вещества, а не из антивещества?

У большинства элементарных частиц, из которых состоим мы и окружающие нас предметы, есть близнецы – частицы антивещества[171]. Такой «близнец» тождественен частице вещества, но обладает противоположным электрическим зарядом. Например, «близнецом» электрона будет частица, называемая позитроном: она обладает той же массой и прочими физическими свойствами, что и электрон, но заряжена положительно. Частицы антивещества можно создавать в ускорителях, и нам даже удалось «собрать» из них атомы антивещества, доказав, что, в принципе, частицы антивещества могут объединяться друг с другом так же, как обычные частицы, образуя более крупные структуры – структуры, которые, предположительно, формируют все, что мы наблюдаем во Вселенной, – в том числе нас самих.

И вот тут возникает загадка: фундаментальные физические уравнения, описывающие поведение элементарных частиц, работают вне зависимости от того, идет ли речь о частицах вещества или антивещества. Однако мы состоим из электронов, протонов и так далее – не из позитронов и антипротонов. Согласно нашим представлениям о Большом взрыве, в момент, когда он произошел, появилось равное количество частиц и античастиц. И опять наблюдаемая реальность, упрямо игнорирующая симметрическое совершенство наших моделей, требует объяснения и ставит перед исследователями вопросы. Это загадочное нарушение симметрии вторит существующей в биологии любопытной склонности аминокислот закручиваться влево, а сахаров – вправо. Исследования продолжаются. Я не пишу о том, какие ответы даются на эти вопросы, поскольку нет ответов, которые объясняли бы все и всех удовлетворили.

Все это – примеры ролей, которые отводились симметрии в науке и философии до теоремы Нётер: симметрия была ориентиром для поиска универсальных закономерностей реальности. Она служила точным описанием и подчас могла помочь в выстраивании решения проблемы. Ее роль была качественной или полуколичественной. Симметрия показывала, чего ожидать, и мотивировала объяснять свое отсутствие там, где она ожидалась.

До появления теоремы Нётер симметрия не была законом. Будь она законом, исключений бы не существовало. Она не определяла поведение Вселенной.

Теорема Нётер наделила симметрию новой ролью. Древняя спутница и ориентир в никогда не завершающихся попытках человека описать наш мир, она обрела новые силы. Теорема объясняла как раз то, как симметрия определяет, что может и не может произойти, о каких бы обстоятельствах ни шла речь. Теорема Нётер повысила статус симметрии: из описания закономерностей реальности она стала силой, активно формирующей ее поведение. Симметрия обрела статус закона.

Теорема была вехой на пути развития критической мысли. Чтобы понять, насколько глубоко было ее влияние, нам нужно для начала в полной мере усвоить само понятие симметрии.

Обобщенная идея симметрии, та самая концепция, которая появляется в теореме Нётер, является расширением привычных, легко визуализируемых примеров, которые немедленно приходят на ум. Слово «симметрия» часто вызывает в памяти бабочку или идеализированное человеческое лицо (которыми нередко иллюстрируют это понятие). Оба эти образа обращаются к нашим эстетическим инстинктам; оба симметричны, поскольку одна половина изображения является зеркальным отражением другой. Следовательно, объект целиком, если разглядывать его в зеркале, остается неизменным.

Простые геометрические фигуры являются воплощением либо этого вида симметрии, либо другого (либо обоих разом): мы можем вращать их под определенным углом, и при этом выглядеть они будут точно так же. Круг можно вращать под любым углом, квадрат – под прямым, правильный прямоугольник – под углом в 180 ^°, а шестиугольник – 60 ^°.

В любом случае мы преобразовали фигуру (в описанных примерах речь шла о вращении или отображении), не вызвав никаких изменений. Это качество – ключ к пониманию обобщенного понятия симметрии: нечто обладает симметрией, если во всех отношениях остается тождественным себе после преобразования. Тип допустимого преобразования определяет тип симметрии.

Усвоив эту идею, можно пойти чуть дальше: то, что воплощает симметрию, необязательно должно быть физическим объектом. И преобразования вовсе не обязаны сводиться к геометрическим операциям.

Пара конкретных примеров облегчит понимание этой концепции, которая на первый взгляд может показаться страшно абстрактной. Представьте себе, что после периода инфляции правительство решает деноминировать валюту страны[172]. Население обменивает банкноты номиналом в миллионы денежных единиц на банкноты номиналом в одну, две, три и т. д. единицы; сумма на каждом банковском счете делится на миллион. В экономике ничего не меняется – только становится проще обсуждать денежные вопросы. На чеках меньше нулей. Денежная единица просто меняет масштаб. Чтобы купить буханку хлеба, нужно работать столько же минут, что и раньше. В данном случае преобразование – изменение единицы измерения денег; то, что остается после этого преобразования тождественным себе – это экономическая система страны. Экономика симметрична в отношении уменьшения денежной единицы. Временами различные правительства пользуются этой симметрией, чтобы уменьшить денежную единицу после продолжительных периодов гиперинфляции.

Другой пример: в США тот этаж здания, на котором расположен вестибюль, где вы оказываетесь, войдя в помещение с улицы, называется первым. Нумерация этажей начинается с единицы (умолчим о нелепом предрассудке, из-за которого 13-й этаж пропускают). В некоторых других странах (например, Франции) первый этаж – это тот, что расположен над вестибюлем. Можно описать эту разницу, представив, где мы помещаем воображаемый нулевой этаж. В США нулевой этаж – это первый подвальный, тогда как во Франции – тот, на котором располагается вестибюль (rez-de-chaussée). Вообразим, как в один прекрасный день Франция решает взяться за ум и принять американскую систему. Разумеется, французские многоквартирные дома и отели не уйдут внезапно под землю и не взлетят; они также не растянутся и не сожмутся. Заключающееся в перемещении нулевого этажа преобразование не повлияет на реальность самих зданий. Их высота и расположение симметричны относительно изменения традиции.

В обоих примерах мы наблюдаем преобразование, не влияющее на реальность: симметрию в более широком смысле слова. Именно этот более широкий смысл я буду с этих пор подразумевать каждый раз, когда говорю о симметрии.

* * *

О симметрии достаточно. Вторая важная идея – это идея закона сохранения, правила, согласно которому сохраняющаяся величина с течением времени не меняет значения. Эта идея еще проще, чем идея симметрии. По сути, глубина теоремы Нётер во многом обусловлена тем, что показывает скрытую взаимосвязь между двумя настолько простыми идеями, которыми в значительной степени пронизана наша реальность и то, как мы ее описываем.

Примером закона сохранения является закон сохранения массы: древняя идея неизменности общего количества вещества. Можно разделить вещество, из которого состоит реальность, на части поменьше, и можно произвольно соединять эти части, получая различные их комбинации. Но общее количество вещества никогда не изменится. Нельзя создать вещество; нельзя убрать его из мира. Можно даже сжечь кусок дерева – но если вы соберете весь дым, пепел и водяной пар, то их общая масса будет равна массе исходного полена. Вещество может менять форму, но количество его неизменно. Возможно, некоторые читатели знают, что закон сохранения вещества не вполне верен; из-за уравнения E = mc² масса и энергия могут превращаться друг в друга. Но я описываю закон сохранения в таком виде, в каком он был известен с древности; можно рассмотреть его следствия, даже если он не способен в точности описать реальный мир. В любом случае закон можно спасти, заменив массу конкретным соотношением массы и энергии.

Принципы сохранения не противоречат интуитивным представлениям – так же, как и симметрия. Некоторые люди поддаются соблазну считать, будто их удача подчиняется тому же закону. Если с ними случается что-то хорошее, они переживают, ожидая неприятностей; следующая за этим неудача подтверждает их убеждение, что каждый счастливый случай должен быть уравновешен другим, противоположным по вектору. Сходный предрассудок известен специалистам по теории вероятности под названием ошибка игрока. Она представляет собой символ веры, разделяемый многими завсегдатаями казино. Эти люди, например, верят, что если на конкретном колесе рулетки выпало красное, то это как-то повышает шансы на то, что в следующий раз выпадет черное. Это убеждение, на котором основаны бесчисленные и беспочвенные системы размещения ставок, вырастает из незыблемой уверенности, будто должна существовать некая причинно-следственная сила, уравнивающая шансы: закон сохранения вероятностей. Разумеется, ошибка игрока и другие сходные предрассудки – это примеры целиком вымышленных законов сохранения, но их вездесущность показывает, как принципы сохранения укоренены в наших представлениях о том, как должен функционировать мир.

В качестве последнего примера приведу более обоснованный закон сохранения. Так называемый момент импульса, по сути, показывает, какую силу нужно применить, чтобы предмет перестал вращаться. Если вращающаяся вещь состоит из нескольких частей, момент ее импульса будет тем выше, чем быстрее крутятся эти части, чем они тяжелее и чем дальше они от центра вращения. Каждый видел вращающихся фигуристов, которые будто по волшебству начинают крутиться быстрее, стоит им сложить руки на груди. В этот момент вы наблюдаете сохранение момента импульса: чем ближе масса рук к центру вращения, тем быстрее вращается фигурист, чтобы момент импульса оставался тем же. Это не волшебство, а действие физического закона сохранения.

* * *

Теорема, которую Нётер доказала в 1918 году, выявила взаимосвязь между симметриями и законами сохранения. Однако остановиться на этом значит преуменьшить ее значение: теорема Нётер не просто показывает, какова связь между этими двумя идеями, но и доказывает, что это не две разные идеи, а одна и та же – и так было всегда.

Уже в самых ранних документальных свидетельствах долгой истории наших попыток упорядочить мироздание в той или иной форме присутствовали идеи симметрии и законов сохранения. Симметрия мыслится как идеал человеческого творчества и характеристика фундаментальной структуры реальности. Сохранение подразумевает представление о стабильности в условиях перемен, о том, что сберегается среди обманчивого круговорота случайности.

В век науки два этих древних принципа были точно сформулированы и получили математическое описание. Они превратились в инструмент вычислений, при этом так никогда и не утратив статуса великих символов фундаментальной структуры реальности.

До того, как Нётер сформулировала свою теорему, казалось, что симметрия и законы сохранения воплощают в себе разные аспекты этой фундаментальной структуры. Теорема же с математической точностью доказывает, что симметрия – это то же самое, что законы сохранения.

Теперь нам нужно уточнить, что значит «быть тем же самым». Я следовал общепринятой практике, называя теоремой Нётер то, что на самом деле является четырьмя теоремами, доказанными в одной статье 1918 года. Эти четыре теоремы представляют собой два математических утверждения и два утверждения, к ним обратных. Разница между первыми двумя утверждениями скорее техническая – они касаются разных классов симметрии; здесь нам нет нужды на этом останавливаться. Но чтобы в полной мере оценить значение теоремы Нётер, нам следует пояснить, что значит обратное утверждение.

Обратное утверждение – это утверждение, элементы которого меняются местами. Например, возьмем утверждение: «Все греческие философы смертны». Согласны вы с этим или нет, давайте сочтем его истинным. Обратным утверждением будет: «Все смертные – греческие философы», – я надеюсь, вы согласитесь, что оно ложно, даже если исходное утверждение истинно. Удивительно, как часто (обычно в ситуациях, когда изъян в логике не столь заметен) встречаешь людей, ошибочно полагающих, что утверждение и обратное утверждение тождественны.

В написанной в 1918 году статье Нётер доказывается, что каждой симметрии соответствует некий закон сохранения. В ней показано, как вывести закон сохранения из симметрии. Доказывается в ней также и обратное: что для любого закона сохранения существует соответствующая симметрия. Именно это я и имею в виду, говоря, что Нётер доказала, что это не две, а одна и та же идея: если каждая из них предполагает другую, то одна без другой невозможна. Симметрия и законы сохранения во всех отношениях являются одним явлением, рассматриваемым под разными углами.

Симметрии, о которых идет речь в статье Нётер, – это симметрии физических систем, которые можно определенным образом описать. Но это довольно-таки широкий класс систем, к которому помимо общей относительности (предметная область, вдохновившая Нётер на ее исследование) принадлежит любая фундаментальная физическая теория. Этот класс включает также другие типы систем, не относящиеся к предметному полю физики, которые, однако, можно описать, используя похожие математические механизмы; о некоторых из них мы поговорим в восьмой главе.

Я уверен, что именно это – существование этих теорем и обратных к ним утверждений – внушает многим физикам и другим людям, размышляющим над этими вопросами, благоговейный трепет и ощущение, будто перед ними разверзлась бездна. Будь верны лишь два прямых утверждения, это уже было бы чрезвычайно важно для физики и ее истории. Но именно тождество симметрий и законов сохранения убеждает нас в том, что мы достигли нового понимания красоты и гармонии в природе.

Рассмотрим пример. Одна из фундаментальных и интуитивно понятных симметрий в физике – это симметрия временно́го сдвига; идея в том, что можно начать отсчет времени в любой удобный момент, и это не повлияет на предсказания, которые физика делает относительно поведения, развития и изменения вещей. Эта идея настолько очевидна, что большинство людей об этом не задумываются. Разумеется, если мы изменим, например, год, с которого ведется отсчет в нашем календаре, то это не повлияет на саму историю – на то, что произошло, или на то, сколько времени заняло то или иное событие. То, что не имеет значения, с какого момента начинать отсчет времени – пример симметрии, поскольку мы наблюдаем преобразование, не имеющее последствий. Это то же самое, что и упомянутая ранее нумерация этажей здания, или тот факт, что выбор между французской и американской традициями не является принципиальным.

В случае симметрии временно́го сдвига теорема Нётер демонстрирует нечто неожиданное: то, что она равносильна закону сохранения энергии. И поскольку теорема включает обратное утверждение, то дело не в том, что симметрия временно́го сдвига просто предполагает закон сохранения энергии – или наоборот. Симметрия временно́го сдвига является законом сохранения энергии.

Энергия

После того, как в конце 1915 года Гильберт отказался от каких бы то ни было притязаний на приоритет в создании общей теории относительности, страсти улеглись, и они с Эйнштейном снова стали друзьями, Гильберт занялся оставшейся без решения задачей. Он несколько раз попытался показать, что общая теория относительности подчиняется закону сохранения энергии, но не преуспел. К этому моменту ученые согласились, что любая обоснованная физическая теория должна подчиняться закону сохранения энергии: ему подчинялись важнейшие и фундаментальные теории Ньютона, объяснявшие движение, и теории Максвелла, описывавшие электричество и магнетизм. То был закон. Точно так же, как деньги не могут появиться на вашем счете или пропасть с него, если их не вносили или не снимали, энергия может возникнуть или исчезнуть из пространства только в том случае, когда ее движение можно объяснить.

Здесь мне нужно несколько точнее описать две формы сохранения энергии. Мы можем говорить о них как о всеобщем и локальном законах сохранения энергии.

Всеобщий закон в той или иной степени знаком каждому. Обычно его формулируют примерно так: в изолированной системе общее количество энергии с течением времени не может изменяться. Когда некое число (имеется ли под ним в виду количество энергии или что-то иное, вычисляемое исходя из свойств системы) со временем не меняется, мы называем его сохраняющейся величиной. Утверждение, что суммарная энергия не может измениться со временем – это утверждение, что энергия сохраняется.

Физика определяет различные формы энергии. Закон сохранения энергии означает, что по мере развития изолированной системы некоторое количество одной формы энергии может быть преобразовано в иную ее форму, а подчас – вернуться в первоначальную и т. д., но суммарная энергия измениться не может.

В формулировке закона сохранения энергии мы заботливо оговариваем, что речь идет об изолированной системе, поскольку если мы допустим ее взаимодействие с внешним миром, все пойдет прахом. В целом эти взаимодействия с внешним окружением (отсутствие изоляции) будут предполагать, что какая-то энергия поступает в систему и выводится из нее, а потому не стоит ожидать, что энергия системы останется неизменной.

В качестве примера изолированной системы возьмем миллиард шариков, катающихся по столу и временами сталкивающихся и меняющих направление. Разумеется, в реальности не существует абсолютно изолированных систем. Слышите стук, с которым сталкиваются шарики? Эти звуковые волны выводят из системы энергию, которая уже не вернется назад. Но один из элементов искусства физики и выдумывания идеализированных примеров, с помощью которых ее можно объяснить, состоит в том, чтобы сосредоточиться на самом главном, игнорируя небольшие отклонения от идеализированной картины. Постараемся не обращать внимания на маловажные факторы. Количество энергии, выводимой этими звуковыми волнами, совсем невелико – оно лишь незначительно потревожит систему. Гораздо сильнее на нее влияет трение, которое невозможно игнорировать и которое усложняет картину несколько сильнее, чем было бы удобно для нашего анализа. Вам известно, что трение важно, ведь (если только, в отличие от Гильберта, вы не избегали всю жизнь бильярдных) вы знаете, что любой конкретный шар не будет вечно кататься по столу и отскакивать от его бортов, но очень быстро снизит скорость и остановится.

Но мы, физики, изобрели способ полностью исключить влияние трения и всех остальных связанных с ним сложных явлений: мы просто говорим, что речь идет об идеальном бильярдном столе. В этом и многих других случаях одним лишь словом идеальный мы можем побороть всех драконов теплоты, трения, рассеяния энергии и игнорировать любые иные ее формы помимо энергии движения и других ее видов, о которых поговорим в этой главе чуть ниже.

Постулировав идеальную систему, мы можем вновь взяться за дело – на сей раз с большей осторожностью. В качестве примера изолированной системы можно взять миллиард шариков, катающихся по идеальному столу и временами сталкивающихся и меняющих направление. Мы будем игнорировать воздействие трения и других явлений. В данном случае мы наблюдаем лишь за одной формой энергии: кинетической энергией системы, которая представляет собой сумму кинетической энергии всех шариков.

Кинетическая энергия – это современный термин для обозначения энергии движения, которую мы можем вычислить, зная массу и скорость объекта. Эта форма энергии пропорциональна массе объекта и квадрату его скорости, что объясняет, почему врезаться на машине в дерево на скорости 60 километров в час гораздо хуже, чем на скорости 30 километров в час.

В идеальном случае (когда не происходит утраты энергии из-за звука, тепла или каких-либо иных факторов, не учитываемых в нашей идеальной модели), если нам известна кинетическая энергия системы в любой конкретный момент времени, то мы знаем, какой она будет в любой другой – предшествующий или последующий – момент времени, поскольку эта величина никогда не меняется. Происходит это потому, что существует закон сохранения энергии, а кинетическая энергия – единственный вид энергии в этой системе.

Если мы знаем, что на бильярдном столе действует закон сохранения энергии, то нам гораздо проще решать определенного рода задачи – в особенности потому, что все шары (в известных мне играх в пул или бильярд) обладают одинаковой массой, что дает возможность сосредоточиться на их скоростях. Например, представим, что я поместил два шара рядом или вплотную друг к другу и ударяю по третьему шару так, чтобы он с известной скоростью оказался как раз между ними. Я наблюдаю, как третий шар попадает в намеченное место, а два первых разлетаются в стороны, и задумываюсь, можно ли вычислить скорости этих двух изначально покоившихся шаров.

Для этого можно воспользоваться детальным вычислением силы физического воздействия и ньютоновскими законами движения, но закон сохранения энергии делает задачу гораздо проще. Из геометрической симметрии, заявленной в условии задачи, нам понятно, что скорости первых двух шаров в итоге должны быть равны. А из закона сохранения энергии мы знаем, что после столкновения энергия на столе должна быть равна энергии, которой я наделил третий шар. Очевидно, что в процессе моего взаимодействия с шарами система не является изолированной, но после того, как я совершаю удар и отступаю от стола, система развивается в изоляции – по крайней мере, согласно правилам игры. Используя лишь этот закон и зная, как обозначается кинетическая энергия, я могу вычислить в уме, что скорость каждого из первых двух шаров будет равна скорости третьего, разделенной на квадратный корень из двух (очень надеюсь, что это верно). Законы сохранения энергии – действенный метод решения задач.

Еще один пример покажет, как закон сохранения энергии работает, когда в системе больше одного вида энергии. Если существуют пружины, электричество, тяготение или другие источники силы (отличающейся от мгновенных сил – как, например, те, что возникают вследствие идеального столкновения бильярдных шаров), то суммарная кинетическая энергия системы не сохраняется. Нам нужно добавить к энергии движения то, что зовется потенциальной энергией – под ней понимается запасенная кинетическая энергия, которая может быть возвращена массам при возобновлении движения.

Изучая пружины, мы можем наблюдать потенциальную энергию в их сжатии или растяжении, отклонении от положения покоя. Но в случае силы тяготения или электричества идея несколько более абстрактна. Мы видим изменения потенциальной энергии в конфигурации системы, то есть в положении частей, из которых она состоит.

Примером тому является пушечное ядро, которым выстреливают строго вверх. Изначально ядро обладает огромным количеством кинетической энергии, но по мере подъема его замедляет сила земного притяжения, пока, достигнув наивысшей точки, оно на мгновение не оказывается в состоянии покоя. По мере замедления ядра на пути к этой высшей точке энергия пушечного ядра снижается, но общая энергия системы «пушечное ядро – земля» остается неизменной, поскольку энергия ядра накапливается в форме потенциальной энергии. Эта потенциальная энергия становится максимальной в момент, когда ядро оказывается в состоянии покоя в высшей точке своего пути, а его кинетическая энергия равна нулю. Потенциальная энергия тотчас же начинает снова превращаться в кинетическую по мере того, как падающее ядро набирает скорость. Когда оно достигает земли, его кинетическая энергия, а вместе с ней и скорость будет равна той, с которой оно изначально вылетело из ствола орудия. (Все эти наблюдения не учитывают трение воздуха и иные пути рассеяния энергии.)

Как и в случае с бильярдными шарами, решать задачи с пушечными ядрами практически всегда проще, используя закон сохранения энергии, а не вычисляя силы и решая дифференциальное уравнение, соответствующее второму закону движения Ньютона.

Возможно, нам так хорошо знаком закон сохранения энергии, что мы принимаем его как нечто само собою разумеющееся. Но Ньютон об этом законе не знал, и в своем окончательном виде закон был открыт почти через 200 лет после того, как тот обнародовал свои законы движения.

Поскольку закон сохранения энергии еще не был частью научного знания, его не существовало и в более широком культурном контексте. Шекспир был в общих чертах знаком с научными открытиями своего времени[173]. Если бы частью мировоззрения человека XVII столетия была необходимость соблюдения закона сохранения энергии, он, несомненно, не написал бы в 154 сонете: «Согреться может от любви вода, / Любви ж не охладить ей никогда», – поскольку понимал бы, что если одно вещество передает энергию другому, то первое должно потерять то же количество энергии, которое второе приобретает[174].[175]

К 1915 году закон сохранения энергии стал восприниматься как универсальный закон мироздания. По крайней мере, об исключениях из него никто не знал.

Помимо простых классических систем наподобие тех, что рассматривались в предшествующих примерах, закон сохранения энергии (и импульса) соблюдается и в случае более сложных теорий поля (о которых рассказывалось в предыдущей главе) – например, электромагнетизма и гидродинамики. В теориях поля закон сохранения энергии принимает форму локального закона сохранения энергии, а не более простого всеобщего закона сохранения энергии, о котором только что шла речь. Разумеется, всеобщий закон сохранения энергии остается справедливым, и его можно вывести из локального, но локальный тоже должен соблюдаться.

В случае, например, электродинамики нам все еще нужен способ выразить идею, что энергия не создается и не разрушается. Этого мы должны добиться, даже когда энергию невозможно аккуратно распределить между отдельными объектами (например, бильярдными шарами, летающими по нашей системе) или легко распознать (как, например, определяемую положением пушечного ядра).

Действующие на локальном уровне законы сохранения строже, чем всеобщие. Они требуют не только того, чтобы общее количество энергии не изменялось с течением времени, но и чтобы в любой области пространства внутри системы изменение энергии объяснялось ее притоком или оттоком из этой области. Иными словами, действующие на локальном уровне законы сохранения энергии формализуют идею, что энергия не может создаваться или уничтожаться. И это требование применяется не только к целому, ко всей системе, но и к любой части системы, сколь бы большой или микроскопически малой она ни была.

Тот факт, что общая теория относительности, по всей видимости, на локальном уровне не подчинялась принципу сохранения энергии, был проблемой, не дававшей Гильберту покоя. Насколько они с Клейном понимали, новая теория тяготения не соблюдала этот основополагающий принцип природы. Казалось, что, вопреки закону, энергию можно было создать и уничтожить[176].

Естественно, что это казалось им существенным недостатком – настолько серьезным, что они спрашивали себя, не допустили ли ошибку в расчетах или, быть может, в их рассуждения вкралась какая-то фундаментальная концептуальная путаница. Но, хотя Гильберт снова повторял вычисления, а его коллеги пытались разобраться в проблеме, она казалась неразрешимой. Эта ситуация могла привести к парадоксам. Когда начали говорить о возможности существования гравитационных волн, оказалось, что объект мог при потере энергии наращивать скорость, излучая гравитационные волны вместо того, чтобы, как следовало бы ожидать, замедляться.

Гёттингенские математики были готовы принять в качестве модели материальной реальности теорию, радикально отличающуюся от всего, что было предложено ранее, и общая теория относительности, несомненно, соответствовала этому описанию. Идея Эйнштейна превратила саму структуру пространства и времени в актера на подвижной сцене, подверженного постоянным изменениям точно так же, как планеты и иные массы, движущиеся сквозь то, что некогда считалось неизменными декорациями Космоса. Они могли со всем этим согласиться, как и по крайней мере часть небольшой фракции сообщества физиков, способных это понять. Но нарушение закона сохранения энергии стало бы камнем преткновения – во всяком случае, в рамках представлений, ставших общепринятыми в рамках физических наук. Если бы эта очевидная проблема не разрешилась, общая теория относительности могла бы рассматриваться как удивительная математическая диковинка, но ее никогда бы всерьез не сочли описанием реального мира.

Гильберт был не первым, кого тревожила проблема сохранения энергии в общей теории относительности. Сам Эйнштейн периодически возвращался к ней, пока в течение приблизительно восьми лет разрабатывал свою теорию. Он не нашел удовлетворительного решения, которое работало бы с окончательной, верной версией уравнений гравитационного поля.

Клейн также обращался по поводу проблемы с энергией в общей теории относительности к Карлу Рунге, уважаемому специалисту по математической физике. Те, кто изучал элементарные численные методы, встречались с методом Рунге – Кутты; речь как раз об этом Рунге. Его способность столь глубоко погрузиться в изучение теории Эйнштейна так скоро после ее распространения определенно указывает на исключительную искушенность в математике.

Рунге полагал, что нашел способ подчинить общую теорию относительности локальным законам сохранения[177]. Впечатленный концепцией Рунге, Клейн показал ее Нётер. Но та немедленно увидела, что идея Рунге не сработает, и сообщила Клейну печальные новости.

Таким образом, в 1916 году положение закона сохранения энергии в общей теории относительности было запутанным и шатким.

* * *

Гильберт и Клейн очень хотели заполучить Нётер в Гёттинген отчасти из-за того, что она была эксперткой в области теории инвариантов, в особенности в тех ее аспектах, что все еще их интересовали. Гильберт, разумеется, уже испытывал острое любопытство по поводу работы с тяготением, которой Эйнштейн занимался в 1914 году, и с 1912-го пытался уговорить того посетить Гёттинген. Неясно, предвидел ли Гильберт, в частности, то, что сам он будет изучать общую теорию относительности, став специалистом в этой области, и, более того, что ему пойдет на пользу сотрудничество с Нётер. Это кажется маловероятным. Нет признаков, что Гильберт брался за перо, чтобы поработать над эйнштейновой версией тяготения до того, как физик, наконец, приехал и прочитал свои лекции. Как мы видели из писем Нётер, Гильберт начал работать над общей теорией относительности немедленно после этих лекций и с самого начала обратился к ней с многочисленными математическими загадками этой теории. Когда он налетел на стену проблемы сохранения энергии, ему стало ясно, что для ее решения можно использовать некоторые методы теории инвариантов. Он попросил Нётер посмотреть, не удастся ли ей пробиться сквозь эту преграду.

Хотя Нётер не особо интересовалась физикой, к делу она основательно подготовилась. В последующие годы она заработает репутацию методичного ученого, хорошо знакомого с литературой – как новейшей, так и имеющей историческое значение – по каждой области математики, которой она занималась. Ее статья 1918 года демонстрирует, что она очень хорошо понимала, каковы будут физические выводы из нее; она знала, что эта статья имеет значение как для точных наук, так и для чистой математики. Она ссылается на ее связь с общей теорией относительности, упоминая о нескольких частных случаях своих теорем, которые обнаружила в исторической литературе по механике. Она никак не могла знать, что физики и математики, работавшие не столь добросовестно, как она, в будущем, вплоть до сегодняшнего дня, будут «открывать» частные случаи ее теоремы и каждый раз верить, будто нашли нечто новое[178].

Сегодня мы располагаем более общей идеей симметрии: симметрия – это качество, остающееся неизменным в объекте после преобразования. Равным образом физическая теория обладает симметрией, если все определяющие ее уравнения или следствия из них остаются неизменными после проведения преобразования. Возьмем механику Ньютона. Она состоит из нескольких понятий и законов движения. Второй закон сводится к дифференциальному уравнению, которое мы решаем, чтобы описать движение пушечного ядра или какого-либо иного тела. Уравнение содержит переменную для времени, переменную для каждого пространственного измерения и переменные для масс объектов. Оно также учитывает задействованные силы, будь то сила тяготения или любые другие. Закон устанавливает отношение между этими силами и изменением скоростей объектов, причем эти скорости являются изменениями положения объектов с течением времени.

Например, переменная времени возникает во втором законе только в выражении, отсылающем к ее изменению. «Чистой» переменной времени там нет. Это означает, что мы можем добавить к переменной времени любое постоянное значение или – делая то же самое, – изменить точку отсчета времени, и ни одно из предсказаний второго закона ньютоновской механики не изменится. Временно́й сдвиг просто игнорируется уравнением. Иными словами, если сегодня вам нужен час, чтобы добраться на работу, ровно тот же час потребуется вам и тогда, когда из соображений экономии электроэнергии будут переведены часы, и те произвольно установленные числа, которые мы называем, когда нас спрашивают, который сейчас час, станут на единицу меньше.

То, что обсуждалось выше, означает, что классическая механика является симметричной при временно́м сдвиге (сдвигом физики называют изменения переменной). И эти постоянные сдвиги времени и в самом деле определяют тот тип структурной симметрии, к которому применима теорема Нётер. В случае симметрии временно́го сдвига теорема Нётер сообщает, что соответствующая сохраняющаяся величина – это суммарная энергия. По мере эволюции физической системы различные типы существующей в ней энергии могут превращаться друг в друга, но их совокупность, суммарная энергия, с течением времени останется неизменной.

Почему это важно? В конце концов нам уже известен закон сохранения энергии. Как упоминалось выше, мы «знали» об этом законе природы, но не о том, почему он был в принципе верен. Закон сохранения энергии обладает полуэмпирическим статусом. Его можно доказать для некоторых систем. Например, в случае выстрела из пушки можно доказать, что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной. Что касается иных систем, ученые просто предполагают, что закон сохранения энергии должен соблюдаться, поскольку исключения из него пока не найдены. Поэтому ожидалось, что он будет соблюдаться также в рамках общей теории относительности.

Теорема Нётер показывала, что в любой системе, для которой характерна симметрия относительно смещения времени, энергия сохраняется. Это открытие превратило смутную концепцию сохранения энергии в фундаментальный элемент реальности, необходимое свойство любой вселенной, чьи основополагающие симметрии соответствуют нашим самым фундаментальным интуициям. Поскольку для всех известных физических теорий характерна симметрия временно́го сдвига, теорема Нётер доказывала, что закон сохранения энергии был и в самом деле универсальным. Это превращало закон из полуэмпирического наблюдения в математическую истину.

Другим примером простого применения теоремы Нётер является симметрия пространственных сдвигов. Точно так же, как не имеет значения произвольный момент, с которого мы начинаем отсчет времени, не должно иметь значение и начало отсчета любой пространственной системы координат. В уравнениях движения чистые пространственные координаты не фигурируют. Иными словами, ньютоновская механика является гомогенной в отношении пространства. Если пустить в дело теорему Нётер, то станет очевидно, что симметрия пространственной гомогенности равнозначна закону сохранения импульса.

Закон сохранения импульса – закон сохранения, который был известен до закона сохранения энергии, – подразумевается законами Ньютона. Это – закон сохранения, объясняющий, почему взлетают ракеты и почему, стреляя из ружья, вы чувствуете отдачу в руках или плече. Импульс извергаемого ракетой топлива или вылетающего из ружья патрона должен быть уравновешен противоположным по вектору равным импульсом. Простая версия этой идеи выражена в наиболее известном из законов Ньютона: каждому действию всегда есть равное и противоположное противодействие.

Но открытие Нётер показало, что сохранение импульса было чем-то большим, чем просто особым свойством ньютоновской механики. Вместо этого оно оказалось универсальным и необходимым свойством любой пространственно гомогенной теории. Лишенная такой симметрии теория предполагала бы, что выводы из нее – законы природы, – будут каким-то образом различаться между собою в зависимости от места. Поскольку это противоречит нашей интуиции, мы, естественно, ожидаем, что любая состоятельная физическая концепция будет соблюдать симметрию пространственной гомогенности. Продемонстрированный теоремой Нётер факт, что из симметрии следует закон сохранения импульса, превратил этот закон сохранения в элемент, который мы ожидали бы встретить в любой физической теории. И, как и с законом сохранения энергии, закон сохранения импульса был бы свойством любой вселенной, отвечающей нашим наиболее фундаментальным интуициям относительно пространственных симметрий.

Последний пример, иллюстрирующий теорию симметрии Нётер, касается симметрии вращений – симметрии, присущей кругу. Метод Нётер показывает, что эта форма симметрии предполагает сохранение момента импульса.

Симметрия вращения называется также пространственной изотропией. Теория, не соблюдающая эту симметрию, допустила бы идею эксперимента, дающего новые результаты, когда его повторяют после вращения лаборатории. Это кажется неприемлемым, а потому сохранение момента импульса, как и другие законы сохранения, можно теперь рассматривать как следствие интуитивных пространственно-временных симметрий, которые приходится соблюдать любой рациональной теории.

Отметим, что эти симметрии являются симметриями, присущими теориям, что отражается в симметричности их уравнений. Очевидно, что, если вы проводите эксперимент дважды в различных местах, где разные условия влияют на конечный результат, это не означает, что изменились законы природы. Эта дискуссия подразумевает идею, что, например, сдвиг в пространстве означает только изменение места в пространстве, тогда как любые другие значимые факторы остаются постоянными.

Временно́й сдвиг, пространственный сдвиг и симметрия вращения – всего лишь три примера симметрий, которые благодаря теореме Нётер оказались связаны с известными законами сохранения. Теорема доказывает, что любая симметрия ведет к закону сохранения, даже если у него нет названия или он неизвестен. Предположительно, теорему можно использовать для открытия новых законов сохранения (что и было сделано, как мы узнаем из седьмой главы).

Поскольку Нётер доказала также утверждения, обратные своим теоремам, мы знаем не только то, что конкретная симметрия предполагает конкретный закон сохранения, но и что закон сохранения предполагает симметрию. Если вам известно, что у вас есть сохраняющаяся величина, то вы также знаете, что в теории присутствует симметрия – возможно, скрытая, возможно, неизвестная. Но она должна там быть.

Как я расскажу в седьмой главе, большинством ученых теорема Нётер усваивалась медленно. Есть история, отчасти показывающая, как неторопливо распространялась осведомленность о теореме. В одном интервью Вернер Гейзенберг вспоминал, как задолго до описываемых событий в некой статье была предпринята попытка разрешить возникающую в ходе экспериментов загадку из области физики элементарных частиц. Данные означали, что энергия не сохраняется. Автор статьи предположил, что энергия может сохраняться лишь «статистически», а не в точном смысле слова. Когда Вольфганг Паули (один из самых выдающихся теоретиков того времени) услышал об этом, он сказал: «Что ж, это слишком опасно. Вы покушаетесь на то, на что покушаться не следует».

Гейзенберг продолжает: «Конечно, много времени спустя физики поняли, что законы сохранения и свойства симметричности – одно и то же. А потому, если вы затрагиваете принцип сохранения энергии, то, значит, говорите и о сдвиге во времени. А на это, конечно, никто бы не осмелился покуситься. Но в те времена такая взаимосвязь не была очевидной. То есть понятно, что она была очевидна для Нётер, но не для рядового физика»[179].

* * *

В предыдущей главе мы видели, как в специальной теории относительности пространство и время, которые в ньютоновской физике являются разными вещами, превратились в единый математический объект, четырехмерное пространство-время. До Эйнштейна физики считали энергию и импульс разными вещами. Оба сохранялись независимо друг от друга, и Нётер показала, как отдельные законы сохранения эквивалентны отдельным видам симметрий: закон сохранения энергии – временному сдвигу, а закон сохранения импульса – пространственному. Но в рамках специальной теории относительности, поскольку пространство и время больше не являются отдельными явлениями, из теоремы Нётер следует, что энергия и импульс также могут не быть отдельными явлениями.

И это соответствует истине. В специальной теории относительности энергия и импульс были объединены в то, что называется четырехвектором энергии-импульса. Это несуразное имя он получил из-за того, что состоит из четырех компонентов: один – энергия, а еще три – это три компонента импульса в трехмерном пространстве. Поэтому новый математический объект, появляющийся в статье Нётер для выражения сохраняющейся величины в общей теории относительности, не принадлежал к совершенно неведомому физикам типу – они уже привыкли сочетать энергию с импульсом. По сути, когда специальная теория относительности применяется к таким непрерывным полям, как электромагнитное, или к жидкостям, сразу появляется схожий или более простой тензор[180].

Существовавшие до Эйнштейна законы сохранения энергии и импульса, представлявшимися двумя разными, независимыми явлениями природы, объединились в единый закон сохранения релятивистской энергии-импульса. Вы поймете, что этого не могло не произойти, если задумаетесь об уравнении E = mc². Теперь сама масса была иной формой энергии. Два фотона (квантовые частицы света), у которых нет массы, на самом деле могут столкнуться и превратиться в две элементарные частицы, обладающие массой – электрон и позитрон[181]. Нельзя объяснить этот процесс или предсказать его исход, используя законы сохранения энергии и импульса по отдельности.

В общей теории относительности ситуация значительно сложнее. Мы все еще можем помыслить нечто вроде четырехвектора энергии-импульса, объект, родственный тому, что возникает в специальной теории относительности. Однако более ранняя теория Эйнштейна не требовала полностью заменить ньютоновский закон всемирного тяготения или геометрию Евклида. В общей теории относительности «сила» тяготения заменяется свойствами искривленного пространства-времени. Кривизна пространства-времени определяется содержащимися в нем массой и энергией-импульсом. И вот тут все становится по-настоящему сложным: искривленность пространства-времени заставляет вещи перемещаться, что, в свою очередь, изменяет его кривизну. Кроме того, сама искривленность пространства-времени является результатом своего воздействия на энергию-импульс. Эта сложная взаимозависимость как раз и делает столь сложным решение уравнений гравитационного поля. Энергия-импульс и искривленность пространства-времени находятся друг с другом в нелинейной зависимости, и одно порождает другое. Согласно выразительной формулировке физика и эксперта по гравитации Джона Уилера, «пространство-время приказывает веществу, куда двигаться; вещество приказывает пространству-времени, как искривляться». Чтобы распутать эту паутину, понадобился исследователь с математическим талантом Эмми Нётер.

Нётер протаранила стену, в которую уперся Гильберт. Она смогла показать Клейну и Гильберту, что они заблуждались не так сильно, как можно было подумать. Они не сумели сформулировать локальный закон сохранения энергии, поскольку такого закона не могло быть.

* * *

Доказав абсолютную равнозначность энергии и симметрии временно́го сдвига, теорема Нётер оказывается определением энергии – понятия, которое до ее появления обычно определялось неточно и ad hoc.[182]

Феза Гюрши был турецким математиком и физиком, который провел в области математической физики фундаментальное исследование применимости понятия симметрии к квантовой теории и общей теории относительности[183]. Согласно Гюрши, «до появления теоремы Нётер принцип сохранения энергии был окутан тайной <…> простая и фундаментальная математическая формулировка Нётер много сделала для расколдовывания физики»[184].

Нередко при введении в физику новых величин какая-либо форма энергии определялась с точки зрения новой величины. Не всегда было очевидно, какую форму должна принять эта энергия, но ей нужно было подчиняться нерушимому закону сохранения и правильным образом сочленяться с иными физическими понятиями – например, силой и работой. Поэтому, например, описывая в своей монографии открытый им новый синтез электричества и магнетизма, Джеймс Максвелл посвятил несколько страниц выяснению как раз того, какую форму должна принять энергия электромагнитного поля[185].

Не всегда было ясно, как определять энергию, поскольку до Нётер непонятно было, что такое энергия. В современной физике понятие энергии вытекает из теоремы Нётер. Если физической системе свойственна симметрия временно́го сдвига, то мы говорим, что она обладает энергией, и выясняем, какую форму приняла энергия, применяя теорему: энергия в системе – это величина, подчиняющаяся закону сохранения, который, как показывает теорема Нётер, эквивалентен симметрии. Теорема Нётер устраняет путаницу и двусмысленность. Если симметрия временно́го сдвига отсутствует (как обстоит дело с общей теорией относительности), то нам известно, что никакую энергию определить нельзя.

Специальная теория относительности Эйнштейна предполагает всевозможные причудливые и удивительные явления – например, замедление часов и сжатие пространства; ничего подобного нет в ньютоновской механике. Однако нам известно, что физика Ньютона и сегодня работает столь же безупречно, что и века́ назад. Реальность не начинает внезапно вести себя иначе потому, что кто-то изобрел новую физику. Разрешение этого противоречия состоит в том, что предсказания, которые делает специальная теория относительности, согласуются с предсказаниями физики Ньютона при граничном условии: что все скорости гораздо меньше, чем скорость света. Никто не наблюдал замедление времени или какие-либо другие неньютоновские эффекты потому, что они слишком незначительны, чтобы их измерить. Разумеется, сейчас мы можем их измерить, и они прекрасно согласуются с эйнштейновской версией реальности.

В общей теории относительности подходящим граничным условием является слабая гравитация. Если мы находимся в месте, расположенном очень далеко от любых огромных концентраций массы и энергии, гравитация будет весьма слаба, а пространство-время – практически плоским. Геометрия Вселенной будет очень близка к евклидовой, которую мы изучали в средней школе. Сумма углов треугольника будет равна 180 °. Отклонение от эллиптической орбиты легко наблюдать только в случае Меркурия, поскольку, будучи ближайшей к Солнцу планетой, он испытывает на себе самое сильное притяжение – наибольшее искривление пространства-времени.

В конечных областях плоского или практически плоского пространства-времени принцип сохранения энергии будет почти безупречно соблюдаться – точно как во Вселенной Ньютона. Поскольку бо́льшая часть пространства-времени является почти плоской, мы многое можем вычислить, как если бы локальный закон сохранения энергии соблюдался, даже если из уравнений следует, что в целом это не так.

Этот факт использовался, когда впервые были обнаружены гравитационные волны – одно из явлений, предсказанных общей теорией относительности (и у которого была собственная непростая история). Подобно тому, как ускоряющиеся заряды испускают электромагнитные волны, ускоряющиеся массы испускают волны искажений пространства-времени, которые мы называем гравитационными волнами. По сути, это вибрации в геометрии пространства-времени, путешествующие сквозь Вселенную со скоростью света. Возможно, вы помните потрясающие новости 2015 года, что в ходе эксперимента LIGO были обнаружены гравитационные волны[186]. Экспериментаторы засекли их, непосредственно замеряя искажения пространства-времени, в результате которых колебалась длина объекта. Точность измерений, потребных для выявления столь малых искажений пространства-времени, поразительна. О результатах много писали в газетах. Например, в статье New York Times сообщалось: «Обнаружены гравитационные волны, подтверждающие теорию Эйнштейна»[187]. К сожалению, из большинства заголовков прямо или косвенно следовало, будто в ходе этого эксперимента гравитационные волны были обнаружены впервые, но это не так. Эта находка достижением, имевшим историческое значение, поскольку волны впервые были обнаружены[188] быланепосредственно.

Однако на самом деле гравитационные волны были впервые замечены в 1974 году, когда два астронома, Рассел Халс и Джозеф Тейлор, открыли пару (по всей видимости) нейтронных звезд, быстро вращающихся друг вокруг друга[189]. Теперь эта двойная система называется в их честь пульсаром Халса – Тейлора. Астрономы смогли определить, что орбита медленно сокращается, и успешно объяснили это потерей энергии в форме гравитационных волн. Скорость сокращения в точности согласуется с предсказаниями общей теории относительности. 20 лет спустя Халс и Тейлор получили за эту работу Нобелевскую премию. Вышеупомянутая статья в New York Times – редкий пример заметки в массовой печати, где упоминается, что представляет собой пульсар.

Вычисление гравитационных волн на основании мерцания пульсаров и проверка этих вычислений полностью зависят от сохранения энергии: можно было наблюдать, что потеря энергии на орбите полностью уравновешивается энергией, уносимой волнами. Но, несомненно, тяготение и искривленность пространства-времени были сильны вблизи нейтронных звезд; будь это не так, то, для начала, не было бы доступного наблюдению гравитационного излучения. Как можно использовать закон сохранения энергии для проверки предсказаний теории, если энергия не сохраняется, и, в частности, в условиях, когда, как нам известно, закон сохранения энергии не соблюдается даже приблизительно?

Чтобы понять ответ, для начала нужно осознать, что космос велик, и расстояния между объектами в нем громадны. Вблизи вращающихся по орбитам нейтронных звезд пространство-время будет сильно искривлено, и для описания реальности нам понадобится общая теория относительности. Но давайте отступим на сотни световых лет от двух этих массивных объектов, пока на достигнем области, далекой от любых значительных масс, где тяготение слабо, а пространство-время плоско. Теперь нарисуем огромную воображаемую сферу, центр которой будет расположен рядом с пульсарами, а внешняя граница там, где находимся мы. Хотя сфера очень велика, она содержит лишь пульсары; это возможно, поскольку космос необъятен.

Теперь будем отслеживать все гравитационное излучение, пересекающее границу сферы. Оно уносит с собой энергию, уменьшая суммарную энергию, заключающуюся внутри сферы. Хотя, как показала Нётер, в целом в рамках общей теории относительности локальный закон сохранения энергии не соблюдается, он довольно хорошо соблюдается в тех областях Вселенной, где пространство плоско. Следовательно, энергия, пересекающая границы сферы, должна быть уравновешена энергией, утрачиваемой системой двойного пульсара.

Разумеется, никто не создавал никаких гигантских сфер. Но это рассуждение показывает, что, если мы сможем рассчитать энергию, уносимую гравитационными волнами, то сможем вычислить и вытекающее из этого сокращение орбиты – и именно так было впервые продемонстрировано, что гравитационные волны существуют.

Дебаты о самом существовании гравитационных волн продолжались десятилетиями, включив в себя, помимо других эпизодов, бурную реакцию Эйнштейна на то, что рецензент отклонил одну из его статей. В частности, очень продуктивным был шаг, предпринятый Ричардом Фейнманом[190]. Проведя простой мысленный эксперимент со скользящими по стержню бусинами, он убедил толпу физиков, что эти волны могут существовать и должны переносить энергию.

* * *

Теорема Нётер может упростить анализ сложной проблемы. В своих широко известных в узких кругах «Лекциях по физике» (Lectures on Physics) Фейнман ставит вопрос, который характеризует как «парадоксальный» (при этом ясно давая понять, что он таковым лишь кажется)[191].

В мысленном эксперименте Фейнмана металлический диск, часть простого электроаппарата, внезапно начинает вращаться, хотя на него не действует никакой очевидной вращающей силы. Это похоже на то, как если бы фигурист из упомянутого нами выше примера начал вращаться быстрее, не шевеля при этом руками. В любом случае момент импульса возникает без каких бы то ни было предпосылок. Кажется, что при этом нарушается принцип его сохранения.

Решение парадокса, разумеется, в том, что момент импульса в действительности, как и должен, продолжает сохраняться. В начале, когда никакого движения не происходило, он был равен нулю, и он продолжает быть равным нулю и после того, как диск начал вращаться. Поскольку момент импульса остается равным нулю, никак не изменяясь, закон сохранения энергии не нарушается. Но как это возможно, если очевидно, что диск вращается, а потому, несомненно, ему передается какой-то отличный от нуля момент импульса? Объяснение состоит в том, что момент импульса диска уничтожается равным по модулю и противоположным по направлению моментом импульса окружающего диск электрического поля. Плюс и минус складываются, поддерживая изначально нулевой момент импульса. Фейнман предупреждает, что это сложный вопрос – предположительно, поскольку студент может не понимать, что невидимые силовые поля, называемые электромагнитными, сами могут иметь момент импульса.

Однако тот, кто знаком с теоремой Нётер, не только поймет, что у электромагнитных полей есть момент импульса, но также сможет использовать теорему, чтобы в точности его вычислить. Это еще один пример, в котором теорема не только подтверждает закон сохранения энергии (который в данном случае соблюдается из-за симметрии пространственной изотропии), но и определяет форму, которую принимает сохраняющаяся величина. В данном случае теорема Нётер превращает принципиально запутанный вопрос в производимый почти автоматически расчет.

* * *

Благодаря тому, что теорема Нётер прояснила статус законов сохранения в общей теории относительности, из нее следуют выводы, важные для космологии – науки о происхождении и эволюции Вселенной в целом.

Идея закона сохранения энергии вдалбливается в голову любому, кто изучает физику, обычно вне контекста, задаваемого теоремой Нётер. Это упущение происходит по большей части из-за традиции откладывать изучение более общих, основанных на принципе симметрии подходов к физике до перехода к более углубленному ее изучению, обычно в магистратуре или аспирантуре. Углубленно изучая классическую механику, студент может столкнуться с подходами в духе Нётер – обычно в упрощенном виде и без каких-либо упоминаний о самой Нётер[192]. Те, кто знакомился с физикой высоких энергий, неизбежно гораздо подробнее узнаю́т о практическом применении теоремы Нётер. Как объясняется в седьмой главе, теоретические основания этой области науки целиком вырастают из этой теоремы или ее частных случаев. Поэтому большинство студентов бакалавриата (и в значительной степени – более высоких ступеней образования) изучают физику скорее в ньютоновском стиле.

Результатом этой не самой лучшей образовательной традиции становится то, что многие состоявшиеся физики, если они не специализировались в области космологии или изучения гравитации, уверены, что закон сохранения энергии – это нерушимый закон Вселенной. Утверждение, что энергия Вселенной в целом не сохраняется, их удивляет, и зачастую они настаивают на том, что не может быть верно[193].

Те же самые физики согласны с тем, что Вселенная расширяется. Квантовая механика может объяснить нам, каковы некоторые из последствий этого расширения.

Фотон света обладает энергией, обратно пропорциональной длине его волны. Фотоны с большой длиной волны (например, те, что используются в микроволновых печах) обладают меньшей энергией, чем фотоны с меньшей длиной волны (например, используемые в рентгеновском аппарате). Именно поэтому ультрафиолетовый (коротковолновый) свет солнца может вызвать рак, а (длинноволновое) излучение мобильного телефона – нет. Отдельные фотоны должны обладать достаточной энергией, чтобы повредить молекулы ДНК в клетках нашего тела. Утверждение, будто радиоволны мобильного телефона могут стать причиной рака, равнозначно заявлению, что можно сбить слона с ног, выпустив в него рой мыльных пузырей.

В расширяющейся Вселенной, по большей части состоящей из света, находящийся в любой точке наблюдатель будет видеть, как энергия всех ее фотонов уменьшается – длина их волн будет смещаться к красной (длинноволновой) части видимого спектра (это называется красным смещением) точно так же, как в нашей Вселенной из-за эффекта Допплера краснеет свет далеких звезд. Эффект Допплера – тот же механизм, из-за которого сирена становится тем пронзительнее, чем ближе подъезжает автомобиль скорой помощи, а когда автомобиль отъезжает дальше, звук становится ниже. Этот эффект наблюдается во всех явлениях волновой природы – как световых, так и звуковых. Поскольку смещающийся к красной части спектра свет обладает более низкой энергией, суммарная энергия этой гипотетической Вселенной должна постоянно снижаться по мере ее расширения.

Теорема Нётер позволяет доказать, что суммарная энергия в расширяющейся Вселенной сокращается, и это является прямым следствием общей теории относительности, согласующимся с доказательством, основанном на энергии фотонов. Теорема находит решение того, что в противном случае могло бы показаться (хотя бы некоторым людям) космологическим парадоксом.

Однако в более широком контексте, по сути, невозможно определить величину, которая сыграла бы роль совокупной энергии всего космоса. Теперь нам известно, что теорема Нётер объясняет, что такое энергия, отождествляя ее с сохраняющейся величиной, эквивалентной симметрии временно́го сдвига. Этот подход заменяет более старые, формулировавшиеся ad hoc представления об энергии, и именно к нему обращается современная физика, когда необходимо точное определение энергии. Но, как нам также теперь известно, если космос описывается общей теорией относительности, то, в отличие от лучше соответствующей нашей интуиции Вселенной Ньютона он не инвариантен в отношении симметрии временно́го сдвига. Если космос расширяется или сжимается, то очевидно, что условия со временем меняются. В отличие от Вселенной Ньютона, во Вселенной Эйнштейна важно, куда мы помещаем точку начала отсчета времени. Проведенный сегодня эксперимент нельзя даже теоретически повторить завтра, не изменив его дизайн, поскольку к завтрашнему дню сегодняшняя Вселенная перестанет существовать. Если инвариантность в отношении временно́го сдвига отсутствует, то нет и какой-либо энергии, поддающейся определению посредством теоремы Нётер. Мы приходим ко все еще беспокоящему некоторых выводу, что в нашей Вселенной нельзя адекватно определить величину суммарной энергии[194]. Это даже очевиднее в случае некоторых гипотетических вселенных, где за периодом расширения следует фаза сжатия и где мы в конечном счете возвращаемся к условиям Большого взрыва. По мере приближения к этим условиям кривизна пространства-времени вновь станет чрезвычайно сильной, и не останется ни одной области, где пространство-время оставалось бы плоским. В этом сценарии не может быть величины, ведущей себя даже приблизительно похоже на энергию, какой та была и будет на протяжении всей истории нашей Вселенной. Вероятно, лучше всего итог сказанному подводит широко известный учебник по теории тяготения Эйнштейна: «В случае общей теории относительности вопрос об энергии весьма щекотлив»[195].

Вопрос об энергии в общей теории вероятности остается предметом активного научного исследования. С 1918 года, вслед за значительным расширением наших знаний о Вселенной, эти исследования также продвинулись. Легко забыть, что, когда Нётер доказывала свою теорему, большинство людей думали, что Вселенная сводится к нашей галактике Млечный Путь. Более того, они предполагали, что Вселенная статична и ее размер всегда остается неизменным. По сути, когда Эйнштейн понял, что его уравнения можно решить при условии, что Вселенная способна расширяться и сокращаться, он счел это недостатком и изменил теорию так, чтобы она не допускала таких очевидно несуразных вероятностей[196]. С открытием Эдвином Хабблом, что отдаленные объекты удаляются от нас, мы так давно живем в расширяющейся Вселенной, что эта идея представляется вполне естественной.

Теорема Нётер – ориентир, помогающий нам понять наш космос: будет ли он вечно расширяться или однажды, в момент Большого сжатия, схлопнется. Связав симметрии пространства-времени с всеобщими и локальными законами сохранения, теорема очерчивает пространство возможного и ведет нас в неизведанные края.

* * *

Эмми Нётер нашла решение проблемы сохранения энергии, которая поставила в тупик великого Давида Гильберта, озадачила других его коллег и не была замечена Эйнштейном. Она сделала это, доказав ряд связанных друг с другом теорий – математическое открытие великой важности и универсальности. Хотя тогда этого никто не понимал, полученный ею результат в конечном счете окажется шире своего изначального контекста. Он кардинально изменит всю физику и век спустя начнет трансформировать всевозможные предметные области – от биологии до экономики.

В конечном счете невозможно объяснить, как математический гений умудряется обнаружить глубокие взаимосвязи между вещами, которые ускользали от внимания всех прочих людей. Но, анализируя, как теорема Нётер возникла при контакте по крайней мере двух очень разных областей математических исследований, которые были объединены редким дарованием, работавшим на переднем крае каждой из них, мы сделали шаг к интуитивному пониманию по крайней мере одного аспекта творческого процесса.

Как вкратце рассказывается в восьмой главе, в последние десятилетия одно из неожиданных своих применений теорема Нётер нашла в области экономики. Некоторые из экономистов, выступившие инициаторами инновационного использования математики Нётер, также потратили какое-то время на размышления о том, как ей удалось совершить такой прорыв. «Нётер посетило гениальное озарение: сочетать методы формального вариационного анализа с методами теории групп Ли», – отмечают они, ссылаясь на сложную разновидность математического анализа и раздел формальной математики симметрии[197]. Многие люди, бывшие свидетелями важных творческих свершений в науке, искусстве и технике, отмечали раз за разом воспроизводившийся паттерн: чреватые серьезными последствиями результаты часто возникают на пересечении областей, развивавшихся по отдельности до тех пор, пока их не объединял необычный человек, хорошо знакомый с обеими.

Именно так произошло с Нётер. К тому времени, когда Гильберт поставил перед ней проблему сохранения энергии в теории тяготения, она стала одним из ведущих мировых экспертов в двух очень разных областях математики. Одна, как говорилось в первой главе, была связана с теорией инвариантов. То было математическое учение о симметрии в наиболее общем виде. Но величайшую славу среди математиков Нётер в конце концов принесло уточнение и обновление близких областей математики, ставших тем, что мы сегодня называем абстрактной алгеброй.

Второй областью был упоминавшийся выше вариационный анализ (или вариационное исчисление). Вариационный анализ представляет собой дальнейшее развитие математического анализа, изобретенного Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем, и позволяет вычислять, как выглядят полные «биографии» или траектории систем. Например, математический анализ может дать нам формулы скорости бейсбольного мяча в любой момент времени, тогда как вариационный анализ в результате решения одной-единственной задачи сделает известной его траекторию целиком.

Возможно, тут не слишком неуместно будет вспомнить, что по этому поводу сказал Алан Кэй, специалист по креативному программированию и изобретатель языка программирования Smalltalk: «Всякое творчество – шутка, изложенная чуть более пространно. Как правило, творчество – это переход из одного контекста в другой, при котором вещи принимают более неожиданный поворот»[198].

Как я отмечал ранее, принадлежавшая Гильберту формулировка общей теории относительности была в известном смысле точнее и элегантнее, чем версия Эйнштейна. Гильберт нашел способ записать уравнения гравитационного поля как лаконичное утверждение на языке вариационного анализа. Но в большинстве исторических описаний этого эпизода не указывается, что в этом он опирался на некоторые из находок Нётер.

Вклад Нётер в общую теорию относительности

Представляя себе описанное в предыдущей главе «состязание» Эйнштейна и Гильберта за формулировку правильных уравнений гравитационного поля, обычно воображают следующую картину: два человека, каждый в полном одиночестве, записывают математические формулы и достигают финишной черты весьма различными путями. В более подробных рассказах об этом упоминается, что Гильберт был рад поделиться своими успехами с Эйнштейном, в чьем воспаленном мозгу зародилась и растравлялась несколько параноидальная идея соревнования.

В том, как обычно рассказывают эту историю, есть еще одна неточность. Хотя эти сведения и разрозненны, из совокупности писем, заметок и воспоминаний об этом кратком периоде ясно, что Гильберт работал не один. Он много советовался с Феликсом Клейном, но письма самого Клейна свидетельствуют, что эта тема находилась более или менее вне сферы его компетенции. Кроме Гильберта, единственным сотрудником Гёттингенского университета, абсолютно свободно владеющим математикой и методами, требовавшимися для того, чтобы подступиться к каждому из аспектов общей теории относительности, мы уверены, была Нётер. Как указывает историк математики Дэвид Роу, вся работа Гильберта и Клейна, имевшая отношение к общей теории относительности, «во многом опиралась на экспертизу Эмми Нётер в дифференциальной теории инвариантов»[199].

По всей видимости, задолго до того, как теорема Нётер была формально обнародована, та уже сделала большинство выводов и делилась ими с Гильбертом. Нам также известно, что версия уравнений гравитационного поля за авторством Гильберта была основана на теореме, которую он открыл, и что эта теорема, в свою очередь, была основана на варианте теоремы Нётер, о котором он знал до ноября 1915 года. Отсюда с неизбежностью следует, что Гильбертова формулировка общей теории относительности, которая, как упоминалось, использовала язык вариационного анализа и была разработана независимо от Эйнштейна, является плодом совместной работы Гильберта и Нётер.

Вопросы заслуг и приоритета вовсе не интересовали Гильберта, которого занимал результат – прогресс в области математики. В этом отношении их с Нётер взгляды полностью совпадали. Но, возможно, знание, что «его» версия общей теории относительности не полностью ему принадлежала, способствовало тому, с какой готовностью он разрешил маячивший на горизонте спор с Эйнштейном о приоритете, раз и навсегда отказавшись от каких бы то ни было притязаний.

К настоящему времени, после всего, что было за истекшие годы написано о генезисе общей теории относительности, должно быть очевидно, что мелочные споры о приоритете так никогда и не будут разрешены. Да это и не нужно. Идеи подобны мыльным пузырям, переливающимся всеми цветами радуги и бесшумно скользящим от головы к голове. Все трое – Эмми Нётер, Давид Гильберт и Альберт Эйнштейн – входят в число наиболее гениальных умов во всей истории человечества. То, что они втроем оказались рядом и задавались одними и теми же вопросами – в одно и то же время, в одном и том же месте – удивительная и счастливая случайность. Возникшая в результате теория тяготения – это новый способ описания самой реальности, резкий поворот в истории человеческой мысли.

Когда я называю общую теорию относительности новым способом описывать реальность, это не преувеличение. Другие физические теории касаются конкретных взаимодействий между конкретными типами сущностей. Два электрона взаимодействуют посредством электромагнетизма, но не сильного ядерного взаимодействия. Два нейтрона взаимодействуют посредством сильного ядерного взаимодействия, но электрической силы между ними нет. Но все – даже свет – взаимодействует посредством тяготения. Общая теория относительности была верифицирована на всех уровнях – она действует и на микроскопических дистанциях, и в масштабах целого космоса. Она описывает само пространство-время, и все – каждая частица вещества и энергии – подчиняется ее законам. Она буквально является материей физической реальности.

В основании тяготения, в основании квантовых теорий электромагнетизма и ядерных взаимодействий, в основании любой еще недоступной воображению будущей теории лежит теорема Нётер.

* * *

Интерес Гильберта к общей теории относительности был частью амбициозной, но в конечном счете безуспешной попытки создать единую теорию, которая объясняла бы и тяготение, и природу вещества. Он также был проявлением его убежденности в том, что формальные методы, которые он со столь сногсшибательным успехом применял в математике, были ключом к тому, чтобы заложить более прочный фундамент физики.

Мнение Эйнштейна о попытке Гильберта создать единую теорию, можно узнать из его письма к Герману Вейлю, написанному ближе к концу ноября 1916 года: «Предположение Гильберта насчет вещества кажется мне ребячеством – я имею в виду ребенка, ничего не знающего о причудах внешнего мира. <…> Нельзя допустить, чтобы убедительные рассуждения, вытекающие из постулата об относительности, смешивались со столь дерзкими, необоснованными гипотезами о структуре электрона или материи. Я с радостью соглашусь, что поиск подходящей гипотезы <…> о структурном составе электрона – одна из наиболее важных задач современной теории. Однако от “аксиоматического метода” здесь мало толку»[200].[201]

Сегодня кажется, что Эйнштейн был совершенно прав. Несмотря на необычайную значимость программы Гильберта в области чистой математики, предельно формализированный подход к теоретической физике редко оказывался полезен при создании новой науки. Физики склонны использовать математический стиль, который можно назвать вавилонским – в противовес классическому греческому стилю (если воспользоваться терминологией, введенной Фейнманом в увлекательной лекции, доступной онлайн)[202]. В своем выступлении Фейнман объясняет, что имеет в виду: физики склонны использовать набор не слишком строго связанных между собой математических выводов, выбирая те формулы, которые кажутся им подходящими. Имея некоторое представление о том, как перейти от одной формулы к другой, они работают не в рамках формализованной системы аксиом, где все определения и предположения аккуратно вербализированы, а все выводы абсолютно неизбежны. Этот более систематический математический стиль Фейнман ассоциирует с греками. Примером его являются «Начала» Евклида, бессмертное изложение и собрание всех геометрических знаний древних греков.

Разумеется, открытая (или изобретенная – в зависимости от того, какой именно философии математики вы придерживаетесь) Гильбертом математика была чрезвычайно полезна для всех областей физики. И она продолжит оставаться полезной, покуда математика будет языком науки. От гильбертова пространства до интегральных уравнений – теоретическая физика выглядела бы совсем иначе без вклада, сделанного Гильбертом в развитие ее аппарата. И эти глубокие математические озарения зачастую оказывали очевидное влияние на физику, и не только на общую теорию относительности.

По этим и иным причинам о Гильберте говорят подчас как о последнем выдающемся универсалисте в истории математики. Один историк описал его как человека, приведшего математику из XIX в XX век[203].

Другие симметрии

Теорема Нётер применима к иным симметриям помимо тех, что имеют очевидную физическую интерпретацию (как, например, инвариантность временно́го сдвига и другие только что обсуждавшиеся виды симметрии).

Чтобы в полной мере оценить значение теоремы, нам нужно увидеть, что она применима к иным видам симметрии, не забывая при этом общего определения симметрии, которым мы теперь располагаем. Как мы увидим в седьмой и восьмой главах, ее применение к более абстрактным, определяемым математически симметриям имело два важных результата. Во-первых, это позволило теореме стать основанием для наших современных теорий вещества и, во-вторых, позволило применять теорему за границами области физических наук.

Симметрии, на которые я ссылаюсь, более абстрактны. Они не предполагают пространства и времени, но связаны с другими свойствами объектов или систем. Чтобы распробовать, на что похожи некоторые из этих типов симметрий, мы рассмотрим пример из повседневной жизни, касающийся электричества.

Случалось ли вам видеть птицу, усаживающуюся на высоковольтную линию электропередачи, и спрашивать себя, как ей удается избежать удара током? Объясняется это тем, что лишь разница напряжений приводит к физическому воздействию. Этим воздействием является электрический ток – так мы называем движение заряда. Все знакомые нам способы использования электричества и злоупотребления им являются результатом токов, текущих сквозь разные объекты: бегущий по проволоке ток ее разогревает – явление, используемое при изготовлении обогревателей, кипятильников и электрических печей; проходящий по проводу меняющийся ток создает магнитное поле, благодаря чему производятся двигатели и громкоговорители; если направить ток по тонкой проволочке, то она настолько разогреется, что начнет светиться – и вот вам старомодные лампы накаливания. В этих примерах движущийся заряд принимает форму электронов, бегущих по металлу. В нервной системе заряды – это ионы (атомы, у которых электронов меньше, чем протонов), а ионные токи приводят к сокращению мускулов, посылают сигналы в мозг и, в наиболее тяжелых случаях, приводят к тому, что люди пишут книги.

Даже несильный электрический ток, пропущенный сквозь сердце животного, может фатальным образом нарушить его биение. Однако птичка продолжает щебетать. Она способна на это, поскольку все вышеупомянутые токи движутся из-за разницы напряжений между двумя точками пространства. Знак на столбе электропередачи предупреждает о пугающе высоком напряжении, но это – разница напряжений между проводом и землей, на которой мы стоим. Если мы или что-то, что мы держим в руках (например, лестница), коснется проволоки, пока мы стоим на земле, нас поджарит – эта разница напряжений прогонит по телу электрический ток.

Птица обеими лапами касается провода и не находится в контакте с землей. Конечно, имеет место небольшая разница напряжений между ее двумя лапками из-за того, что сопротивление проводника не равно нулю, а потому через птичье тело будет бежать очень слабый ток. Но этот мизерный поток электронов не потревожит пернатое создание: оно и дальше будет пребывать в состоянии блаженного неведения о законах электродинамики.

То, что я называл напряжением, – это форма энергии, известная в теории электрического и магнитного поля как электрический потенциал. Она подобна гравитационной потенциальной энергии, которую вы обретаете каждый раз, когда поднимаетесь в лифте. И, как и в случае гравитации, этот электрический потенциал можно превратить в равное количество кинетической энергии (энергии движения), что случается, если лифт ломается и падает. Я описываю идеальную трагедию в ситуации, когда отсутствует трение; в реальности часть потенциальной энергии превратилась бы в тепло, звук и деформацию материалов.

В этом и состоит связь с симметрией и теоремой Нётер: то, что нам не важно значение электрического потенциала в любой точке – это своего рода симметрия. Мы учились воспринимать то, что нам не важно (с какого момента начинается отсчет времени или нумерация этажей здания), как форму симметрии: изменение или сдвиг начала отсчета не приводит к изменениям. Электрическое напряжение – еще один пример, когда точка отсчета или абсолютное значение величины не оказывает влияния и потому также представляет собой еще одну форму симметрии.

Что касается времени, нам известно, что, благодаря теореме, симметрия приводит к закону сохранения энергии. Оказывается, в силу устройства теоремы ясно, что симметрия в электрическом потенциале эквивалентна закону сохранения заряда. Это еще один фундаментальный закон сохранения, подобный закону сохранения массы. Долгое время его воспринимали как просто еще одно правило, в соответствии с которым устроен мир. Закон сохранения заряда означает, что в любой системе и для любого набора несущих заряд объектов суммарный заряд (разница между суммами положительных и отрицательных зарядов) всегда остается неизменной. Заряд нельзя создать или разрушить.

До того как была сформулирована теорема Нётер, два этих фундаментальных аспекта устройства Вселенной, симметрия напряжений и сохранение заряда, казались двумя отдельными принципами. Теорема показывает, что два эти явления природы являются в фундаментальном смысле одним и тем же явлением, демонстрируя тайную и прежде невообразимую связь между двумя принципами, которые казались независимыми друг от друга.

Равнозначность симметрии электрического потенциала и закона сохранения заряда – это еще одно удивительное и фундаментальное открытие, сделанное благодаря теореме Нётер. Без этой равнозначности сохранение заряда, как и сохранение энергии, было бы чем-то условным. Наши наблюдения показывают, что закон сохранения заряда верен, но могло бы быть и по-другому. Симметрия энергии электрического потенциала не зависит от наблюдений, а глубоко заложена в структуру теории. Показывая, что закон сохранения заряда с математической точки зрения эквивалентен симметрии потенциальной энергии, теорема Нётер демонстрирует, что ключевой аспект наблюдаемой реальности (то, что заряд нельзя ни создать, ни разрушить) – безальтернативен. То есть, если уравнения Максвелла, определяющие сущность электричества и магнетизма, и в самом деле описывают реальность, то эта реальность должна включать в себя закон сохранения заряда.

Как и в случае ньютоновской механики, теорема Нётер вновь пролила яркий свет на старую, общепризнанную теорию, осветив ее изнутри. Теорема, наконец, открывает ее скрытую структуру, таящиеся в ней симметрии, показывает, что то, что казалось в ней случайным, является необходимым, и позволяет нам увидеть то, что ускользнуло от ее создателя.

До сих пор мы рассматривали пространственно-временные симметрии: временной сдвиг, изотропию и пространственный сдвиг. Обсуждая сейчас электрический потенциал, мы размышляем о симметрии сходного рода, но не затрагивающей пространство или время. Симметрия электрического потенциала – это часть большой категории симметрий более математического характера. Физики называют эту категорию калибровочными симметриями. Эти симметрии не отличаются от прочих: это случаи преобразований, после которых не происходит изменений. Но теперь преобразования вышли из области наших древних интуиций касательно структуры реальных пространства и времени, в которых мы обитаем, и попали в сферы математических и физических абстракций. И тем не менее интуиция не полностью позабыта, хотя тайные подозрения насчет изменений напряжения и то, что нас не вполне удивляет беззаботная стойкость наших пернатых друзей в вышине – свойства скорее приобретенные, чем инстинктивные.

* * *

Как упоминалось ранее, теорема Нётер показывает не только то, что симметрия временно́го сдвига равнозначна закону сохранения энергии, но и что симметрия пространственного сдвига равнозначна закону сохранения импульса.

То, что истинность закона сохранения импульса подтверждается сегодня в наших лабораториях здесь, на Земле, доказывает, что законы физики неизменны на необъятных просторах Вселенной (если вынести за скобки сложности, возникающие из-за общей теории относительности). Так и должно быть, поскольку симметрия пространственного сдвига означает, что то, где мы поместили начало отсчета наших шкал, не может повлиять на предсказания относительно физического поведения космоса или любых объектов внутри него, которые мы делаем.

Временами различные ученые и философы высказывали предположение, что можно было бы рассмотреть возможность изменения физических законов по мере движения сквозь пространство – что физика в различных частях Вселенной может иметь отличия. Они указывали на то, что, в конце концов, наша наука основана на наблюдениях, сделанных в том уголке космоса, где нам выпало жить. Почему мы должны предполагать, что в миллионе световых лет от нас действуют те же физические законы?

Теорема Нётер отвечает на этот вопрос. Поскольку соблюдается закон сохранения импульса, теорема доказывает, что законы физики не могут зависеть от того, где мы находимся, – симметрия пространственного сдвига требует, чтобы то, «где мы находимся», не имело значения. Это еще один пример способности математического открытия Нётер объяснить, что возможно, а что – нет, на размышления, о чем можно потратить время и энергию, а какие идеи просто никуда не годятся. Здесь, как и во многих других случаях, теорема, чисто математическое доказательство, имеет далеко идущие философские следствия.

В своей книге «Красота физики: постигая устройство природы» (A Beautiful Question: Finding Nature’s Deep Design) известный физик Фрэнк Вильчек делает сходное и интригующее физико-философское наблюдение о том, что называет «единообразием вещества»[204]. Он указывает на то, о чем многие люди, в том числе другие физики, вероятно, никогда не думали критически, поскольку мы принимаем это как данность. Речь всего лишь о том, что каждая отдельно взятая элементарная частица (скажем, электрон), представляет собой одно и то же явление, все электроны, в сущности, одинаковы. Разные электроны могут находиться в разных состояниях (например, двигаться с разной скоростью), но все они обладают одними и теми же свойствами. Не существует такой вещи, как электрон, который чуть больше или тяжелее другого электрона при тех же условиях, или электрон с чуть отличающимся зарядом. Электрон – это электрон; невозможно отличить один от другого. Если бы вы отправились в самый дальний уголок Вселенной и поставили там эксперимент над электроном, то получили бы те же результаты, что и на Земле.

Фундаментальная причина этого «однообразия вещества» заключается в том, что, согласно современной квантовой теории, разные электроны на самом деле не являются отдельными частицами. Вместо этого они представляют собой «возбужденные состояния» квантового поля, пронизывающего все пространство. Это квантовое поле – элемент физического описания реальности; если соблюдаются законы сохранения энергии и импульса, то, согласно теореме Нётер, из-за симметрий временно́го и пространственного сдвига наше описание физической реальности не должно зависеть от времени или пространства. Одни и те же возмущения квантового поля должны возникать повсеместно, а потому все электроны должны быть тождественны. С помощью этого аргумента Вильчек показывает, как теорема Нётер не только дает фундаментальное объяснение единообразия свойств частиц, но и убеждает нас в том, что эти свойства должны быть одними и теми же во всех частях Вселенной. Этот аргумент ограничивает вариативность допустимых космологических теорий. Как бы космологи ни старались объяснить происходящее в дальнем космосе или историю и структуру Вселенной, им следует исходить из предположения, что не только законы природы повсеместно одинаковы, но и «вещество», подчиняющееся этим законам, также одинаково во всех частях космоса.

Теорема Нётер превращает само пространство и время в акторов реальности, а не в пустой холст, на котором разворачиваются физические явления. Структура пространства и времени и соблюдаемые в ней симметрии – источник законов сохранения, описывающих поведение физической реальности. Нечто очень похожее верно и относительно общей теории относительности, благодаря которой мы начинаем понимать пространство и время как своего рода субстанцию, из которой возникает феномен тяготения. Но теорема Нётер идет дальше, связывая все физические силы – электромагнетизм, сильное ядерное взаимодействие и все остальное – и превращая их в перечень вечных симметрий.

Эйнштейн и сохранение энергии. После теоремы Нётер

Немного придя в себя после гонки за создание «работающей» версии уравнений общей теории относительности, Эйнштейн вернулся к связанным с новой теорией открытым вопросам. Оказалось, что он не забыл о загадках, связанных с сохранением энергии. Он не пребывал в полной растерянности и до того, как получил копию статьи 1918 года, в которой Нётер доказывала свою теорему и которая произвела на него огромное впечатление. Гильберт писал ему о проблеме сохранения энергии по мере того, как они с Клейном и Нётер постепенно приходили к все более глубокому ее пониманию. Или, что, возможно, более вероятно, по мере того, как Нётер работала над ней или, уже разобравшись в вопросе, объясняла двум своим коллегам-мужчинам полученные ею результаты.

В письме к Гильберту, написанном в мае 1916 года, Эйнштейн признается, что присланная ему Гильбертом версия теоремы о сохранении энергии привела его в недоумение. Затем физик продолжает: «Разумеется, было бы достаточно, если бы Вы попросили фройляйн Нётер ее мне объяснить»[205].

Поскольку значительная часть переписки утрачена, мы извлекаем все, что можем, из того, что сохранилось. Из замечания Эйнштейна ясно следующее. Складывается впечатление, что они с Нётер уже находились в постоянной переписке – вероятно, она началась вскоре после того, как Эйнштейн вернулся домой, в Берлин, после прочитанных в Гёттингене лекций. Исходя из смысла этого замечания Эйнштейна и других его писем, мы можем заключить, что он уже привык к фройляйн Нётер в роли наставницы – в особенности в том, что касалось вариационных формулировок уравнений поля, принципов энергии и связанных с ними обобщений. Не следует забывать, что в этот период входят несколько месяцев, о которых историки пишут, что тогда Эйнштейн работал в одиночестве в поиске верных уравнений поля.

По всей видимости, к концу года Эйнштейн стал лучше разбираться в некоторых из этих вопросов. Практически ровно через год после публикации им финальной версии общей теории относительности он обнародовал статью под заглавием «Принцип Гамильтона и общая теория относительности» (Hamilton’s Principle and the General Theory of Relativity). В этой статье Эйнштейн выводит уравнения гравитационного поля, используя вариационное исчисление – подобно тому, как выводил их Гильберт в собственных статьях. «Принцип Гамильтона» в заглавии отсылает к методам вариационного исчисления. Эйнштейн упоминает о решении Гильберта, но отмечает, что его вариант лучше, поскольку, в отличие от Гильберта, он не делает предположений относительно состава материи. Кроме того, при известных ограничениях («Не сделав особые допущения, составляющие энергии нельзя расщепить на две разные части так, чтобы одна принадлежала гравитационному полю, а другая – материи»), он выводит закон сохранения, относящийся как к энергии, так и к импульсу.

Способ, которым Эйнштейн вывел этот закон сохранения, является очень специфическим случаем теоремы Нётер, которая будет обнародована позднее. Практически невозможно не прийти к заключению, что в значительной степени он обязан этим переписке с Нётер и ее наставничеству, осуществлявшемуся как напрямую, так и через письма Гильберта и Клейна. Нигде в этой статье он не упоминает о Нётер, но нам следует помнить, что в тот момент она еще не опубликовала ни одной работы по этой теме. Тем не менее то, как скупо Эйнштейн при публикации своих работ о тяготении упоминал о вкладе других ученых, очень способствовало созданию мифа, что он разработал общую теорию относительности самостоятельно. То, что он предпочел подписывать эти статьи лишь своим именем, также не способствовало тому, чтобы в истории физики сохранились сведения о вкладе Эмми Нётер.

Кажется, что Эйнштейн, разославший копии своей статьи нескольким коллегам, был горд ею. Он не знал, какая ее часть лучше всего выдержит проверку временем. В этой статье, исчерпав, наконец, возможности типографики воспроизвести уравнения тензорного исчисления с их обилием коэффициентов и верхних и нижних индексов, отсылающих к координатам, Эйнштейн изобретает новый хитроумный способ индексации, упрощающий уравнения. Этот способ был с облегчением принят повсеместно и ныне известен как соглашение Эйнштейна. Одного этого нововведения хватило бы физику для того, чтобы гарантировать себе бессмертие.

В ходе их личной переписки Нётер послала Эйнштейну копию статьи о своей теореме незадолго до того, как та была формально опубликована. Он откликнулся новым письмом к Гильберту 24 мая 1918 года, с изумлением описывая, как в руках Нётер преобразились его уравнения и как он и представить не мог, что можно выразить нечто с такой элегантностью и универсальностью. Он поддразнивает других участников переписки, предполагая, что они могли бы многому научиться у Нётер, если бы раньше заманили ее в Гёттинген: «Вчера я получил очень интересную статью фройляйн Нётер о преобразовании инвариантов. Меня впечатлило, что подобные вещи можно исследовать со столь универсальных позиций. Старой гвардии Гёттингена не повредило бы поучиться у фройляйн Нётер. Кажется, она прекрасно знает свое дело!»[206]

По всей видимости, Эйнштейну потребовалось некоторое время, чтобы осознать значение статьи Нётер. Записка, написанная им Клейну 28 мая 1918 года, свидетельствует, что он все еще не до конца разобрался с принципом сохранения энергии применительно к общей теории относительности, признаваясь, что в его рассуждении все еще присутствует «математический пробел»[207]. Он также бился над решением этого вопроса применительно к более ранней версии теории[208].

* * *

Еще одно, последнее замечание касательно обстоятельств, в которых Нётер опубликовала свою статью, бывшую предметом этой главы: статья была опубликована не в одном из журналов, где появлялись результаты ее предшествующих исследований, а в Записках Гёттингенской Королевской академии наук[209]. Академия была местом, где гёттингенским математикам и другим ученым нравилось выступать и дискутировать. На страницах «Записок» были – и будут – опубликованы результаты многих важных исследований.

Королевская академия не позволяла Нётер вступить в свои ряды или делать доклады. Поэтому ее статья была опубликована по ее поручению Феликсом Клейном. Недавно оказалось, что в начале 1930-х годов Герман Вейль пытался добиться избрания Нётер в ряды академиков, но сдался, когда стало очевидно, что академия не пойдет на уступки[210].

Однажды Гильберт решил наказать членов академии за их упрямый отказ принять в свои ряды его коллегу и отпустил испепеляющее, полное иронии оскорбление. Сидя среди них в их священных стенах, он бросил: «Настало время начать выбирать в члены нашего общества действительно достойных того людей».

Завладев вниманием присутствующих, он добавил: «В самом деле, сколько достойных людей мы избрали за последние несколько лет?»

Затем он подчеркнуто медленно оглядел помещение, демонстративно задержав взгляд на конкретной группе находившихся там академиков. И ответил на собственный вопрос: «Ни одного».