В этом приложении я изложил некоторую дополнительную информацию, включение которой в основной текст нарушило бы плавность повествования. Как и в основном тексте книги, я расскажу об этом, не прибегая к формулам, но позволю себе ввести несколько простых схем. Моя основная задача на этих страницах – утолить любопытство тех читателей, которых сильнее интересуют взаимоотношения идей, вытекающих из теоремы Нётер, со способами их практического применения и с математическим и физическим знанием в целом. Определенно, чтобы разобраться в данном приложении, не нужно быть глубоким знатоком этих дисциплин. Потребуются лишь энтузиазм, любопытство и терпение.
Сделав замечание о том, сколь важно место, где родился Гильберт, для истории математики, я упомянул, что этот город подарил имя «Задаче о кёнигсбергских мостах»[438]. Задача эта состоит в том, чтобы построить маршрут, проходящий через каждый из семи мостов Кёнигсберга лишь однажды. Иными словами, можно ли нарисовать на карте Кёнигсберга кривую, проходящую по каждому из мостов только один раз, не отрывая карандаша от бумаги? Расположение мостов и форма русла реки, через которую они переброшены, делают ответ далеко не очевидным.
Леонард Эйлер, один из величайших математиков в истории (а по мнению некоторых – величайший), дал отрицательный ответ на эту старинную загадку, заложив основы особой области математики, называемой теория графов. Критика Эйлера была примером абстракции – сквозной темы нашего рассказа. Прослеживая развитие мысли Нётер и ее подхода к математическим проблемам, мы видели, как она отказывалась от изначально усвоенной ею при обучении привычки к скрупулезным вычислениям в пользу все более и более высоких степеней абстракции. Благодаря этому она оказалась готова взяться за задачи, решение которых подвело ее к формулировке теоремы и впоследствии к тому, чтобы стать одной из важнейших фигур грандиозного дисциплинарного поля – современной алгебры, – и привнести в нее свое уникальное ви́дение с акцентом на структуре и обобщении.
Вместо того, чтобы отвлекаться на частные характеристики рек и мостов, Эйлер просит нас представить себе идеальные абстрактные структуры: сети, состоящие из точек и связей между ними. Современные математики называют такие структуры графами. Это слово не следует путать с общеупотребимым термином «график», под которым понимается диаграмма или иная визуализация. В математике граф – это сеть взаимосвязей.
То, как Эйлер взял приступом задачу о кёнигсбергских мостах, в конце концов привело к формированию особой области сугубо математических исследований – теории графов, которая сегодня переживает невероятный подъем. Прикладное ответвление этого направления исследований известно как наука о сетях. В рамках этой дисциплины семь мостов Кёнигсберга превратились в одном из типов практического применения теории в миллионы виртуальных тропок между интернет-хостами, а в другом – в сеть взаимосвязей между жертвами социальных медиа – социальную сеть.
Научного руководителя диссертационного исследования Нётер прозвали «королем инвариантов», и именно с теории инвариантов, в то время – модной области исследований, она и начала свой путь в математике.
То была также область математики, которой занимался Гильберт, когда в 1880-х годах проживал в Кёнигсберге[439]. В течение нескольких десятилетий он вдоль и поперек исследовал эту тематику, покуда не отправил ее на следующие несколько десятилетий в нокаут, разрешив знаменитую ключевую проблему теории инвариантов.
Даже поверхностное представление о том, с чем конкретно имеет дело теория инвариантов, очень способствует пониманию того, сколь многие из главных идей, упомянутых в этой книге, связаны друг с другом. Эта теория позволяет бросить беглый взгляд на подчас почти невидимые математические нити, соединяющие старую теорию инвариантов, бурное море которой бороздила Нётер со своей диссертацией, с симметрией, двумя теориями относительности Эйнштейна, теоремой Нётер, современной алгеброй и физикой элементарных частиц.
Размышляя в Кёнигсберге о чистой математике, Гильберт не мог и вообразить, что прокладывает путь, ведущий к сокровищу, которое глубоко повлияет на науку в целом, – и что клад найдет кое-кто другой.
Чтобы лучше понять контекст, в котором обнаружили это сокровище, давайте ненадолго задержимся, чтобы разобраться в одной из предшествовавших ему теорий и немного узнать о предмете теории инвариантов. Все началось с вышедшей в 1842 году статьи Джорджа Буля, в честь которого названа булева алгебра – с ней вы, возможно, знакомы, если изучали логику или информатику. Теория инвариантов – глубокая и сложная дисциплина, составлявшая значительную часть математики во второй половине XIX века, и ее продолжают разрабатывать и по сей день.
Несмотря на сложность теории, помочь вам понять, о чем именно идет речь, может простой пример, совершенно не касающийся высшей математики. Это будет довольно-таки скрупулезное квазиматематическое рассуждение, но если вы потратите время на то, чтобы его усвоить, то сможете заметить его связь со многими другими идеями, обсуждаемыми в этой книге.
Как можно понять из названия, теория инвариантов имеет какое-то отношение к вещам, которые не меняются (остаются инвариантными), когда происходит что-то еще. На илл. 1 изображены две оси, нарисованные жирными черными линиями, заканчивающиеся стрелочками и обозначенные буквами x и y. Это названия координат, которые измеряются по этим осям. Любое положение в таком двухмерном пространстве можно точно обозначить двумя числами: координатами x и y. Так будет выглядеть любой линейный график, отражающий дефицит бюджета или температуру воздуха в месте, где вы проживаете. Кружком изображается одно из положений в пространстве; его расстояние от начала координат, точки (0, 0), в которой пересекаются оси, обозначено тонкой пунктирной линией. Как показано на илл. 2, координаты центра кружка можно определить, проведя от него перпендикуляр к каждой из осей.
Теперь рассмотрим две других оси на илл. 1 – те, что нарисованы серым. Они – как и те, что темнее – обычные оси координат, пересекающиеся под прямым углом. По сути, они представляют собой две первые оси, просто повернутые против часовой стрелки (на 22 °, но это не имеет значения). Две эти новые оси задают новую систему координат. Если вы хотите узнать координаты кружка в новой системе, процедура будет той же: опустите перпендикуляры к новым осям и определите точки пересечения. Предлагаю вам сделать это самостоятельно: вы увидите, что координаты изменились. Очевидно, что координаты x и y искомой точки не являются инвариантами относительно поворота системы координат.
Взгляните еще раз на пунктирную линию, изображающую расстояние от кружка до точки пересечения осей (илл. 2). Изучая рисунок, вы убедитесь, что как раз эта дистанция является инвариантом: при повороте осей вокруг точки их пересечения расстояние от кружка до начала координат не меняется. Другие преобразования (например, сдвиг осей вверх или вниз) изменят эту дистанцию, но пока что остановимся только на вращении. Я специально упоминаю вращение, чтобы кое-что прояснить: мы всегда говорим об инвариантах относительно некоторых конкретных наборов трансформаций (читатели-математики, вероятно, знают, что эти наборы называются группами, но сейчас это не должно нас беспокоить). Дистанция, разумеется, является инвариантом не только для этого конкретного поворота, но для всех поворотов.
В нашем описании затаились треугольники. Конкретно прямоугольные треугольники. На илл. 2 квадрат, сформированный двумя координатными осями и опущенными к ним пунктирными перпендикулярами, разделен на два прямоугольных треугольника линией, соединяющей начало координат с кружком. Мы можем сосредоточиться на любом из двух этих треугольников, и далее я буду говорить просто о «треугольнике» – годится любой из них. Расстояние, изображенное пунктирной линией, соединяющей начало координат с кружком, – это гипотенуза воображаемого треугольника; расстояния между началом координат и координатами кружка (x и y) в исходной системе координат или той, что получилась в результате поворота, – это стороны треугольника.
Если вы помните теорему Пифагора, то знаете, что квадрат гипотенузы (расстояние от начала координат до кружка) равен сумме квадратов катетов, в данном случае координат x и y. Это просто факт о прямоугольных треугольниках, известный с древности, который мы узнаем в школе.
Две разные системы координат дают нам два разных прямоугольных треугольника. Те, что сформированы в первоначальной системе координат, имеют равные стороны, а те, что связаны с системой после поворота, – неравные. В обоих случаях гипотенузы, естественно, тождественны, поскольку пунктирная линия не меняется; но меняются координаты x и y. Когда мы поворачиваем систему координат, координата x вырастает, а y уменьшается. Поскольку теорема Пифагора верна также и для второго воображаемого треугольника, эти координаты не могут меняться случайным образом. Поскольку координата x растет по мере того, как мы поворачиваем систему координат против часовой стрелки, координата y должна уменьшаться в точности так, чтобы теорема Пифагора продолжала оставаться верной.
До сих пор речь шла о геометрии. При желании вы могли бы превратить ее в алгебру. В конце концов теорема Пифагора – это уравнение: возведенная в квадрат длина гипотенузы равна сумме квадратов длин двух катетов. Гипотенуза нарисована пунктиром, длина одного катета – x, другого – y. Можно записать два уравнения, описывающие ситуацию до и после поворота системы координат. В обоих случаях гипотенузы (то есть левая сторона уравнения) будут одинаковы. Но координаты – переменные на правой стороне уравнения – будут различаться. Чтобы ничего не перепутать, назовем их x́ и ý.
Если записать его с помощью x́ и ý, второе уравнение будет выглядеть в точности как первое; здесь нет ничего удивительного, ведь оба – это запись теоремы Пифагора посредством разных символов. Но математики, студенты-физики и некоторые другие люди знают, как превратить x и y в x́ и ý. Если система координат поворачивается под определенным углом, то можно записать комбинацию синусов и косинусов этого угла и тем самым записать второе (описывающее ситуацию после поворота) уравнение посредством x и y, а не x́ и ý. Поскольку нам известно, что в результате поворота гипотенуза не меняется, мы узнаем нечто новое: вся эта совокупность, объединяющая x, y и синусы и косинусы угла, всегда и для любого угла имеет одно и то же значение! Иными словами, это инвариант. А на самом деле мы скорее узнали, что простое выражение, сумма квадрата x и квадрата y, является инвариантным относительно вращения. Мы можем узнать этот факт из геометрического наблюдения или доказать его, прибегнув к алгебре и тригонометрии. Но геометрический анализ, опирающийся на теорему Пифагора, делает очевидно истинным то, что не столь очевидно в случае алгебраического уравнения.
И вот тут-то математик бы спросил: существуют ли какие-либо иные формулы, элементами которых являются x и y, остающиеся инвариантными при вращении системы координат? А как обстоит дело с другими преобразованиями? Что происходит при смещении или растяжении системы координат? По-настоящему классическая теория инвариантов начинается с формулировки подобных проблем. Их разработка была одной из наиболее популярных, а временами – доминирующих областей исследований, но требовала долгих и трудоемких вычислений. Вероятно, «долгие, трудоемкие вычисления» – это то, о чем большинство людей думает, когда речь заходит о математике, но такие представления являются по большей части плодом удручающей методики преподавания математики в школе[440]. На самом деле математики ищут закономерности и абстракции, помогающие им продвигаться вперед, не испытывая необходимости дотошно прорабатывать каждую деталь. По крайней мере, так работают современные математики – но это отчасти является и результатом трудов Давида Гильберта и Эмми Нётер.
Гильберт погрузился в изучение теории инвариантов по предложению научного руководителя его диссертационного исследования, Фердинанда фон Линдемана[441]. Гильберт прислушался к совету Линдемана и в 1885 году защитил диссертацию, выдвинутые в которой тезисы касались той области математики, о которой мы говорили выше: инвариантов и уравнений, содержащих возведенные в квадрат переменные (квадратичные формы).
Во время жизни в Кёнигсберге Гильберт продолжал заниматься теорией инвариантов. В 1888 году он с характерной для него самоиронией называл себя в письме к очень близкому другу, Герману Минковскому, «докой по части теории инвариантов»[442].
В том году Гильберт доказал теорему об инвариантах. Эта теорема подвела более абстрактный, лучше проработанный фундамент подо всю эту область математики и сделала некоторые из упомянутых утомительных вычислений ненужными. Теорема получила название теоремы Гильберта о базисе и стала одним из наиболее известных его открытий.
Нам не нужно разбираться, что именно он доказал, но сам факт превратился в забавный историко-математический анекдот. Когда Гильберт записал свое решение и отослал в престижный журнал «Математические анналы» (Mathematische Annalen), письмо более или менее автоматически попало в руки самого Пауля Гордана, который работал в журнале и был в нем ведущим экспертом по теории инвариантов. Гордан немедленно отклонил рукопись, ужаснувшись методам Гильберта и заявив: «Это не математика. Это богословие»[443]. Что, возможно, еще хуже, Линдеман – профессор, бывший научным руководителем диссертации Гильберта и человеком, изначально подтолкнувшим того заняться теорией инвариантов, – познакомившись со статьей, назвал методы Гильберта «unheimlich» – словом, которое можно перевести как «монструозный», «зловещий» или «странный»[444].
В математике и точных науках существует мода – в точности как мода на одежду или музыку. Законодатели моды – а Гильберт стал одним из них – часто шокируют тех, кто чуть сильнее, чем нужно, прикипел к старым образцам. Кроме того, в математике существует и эволюция критериев доказанности. Обычно она принимает форму последовательного возрастания строгости доказательства; геометрические доказательства Евклида до сих пор считаются обоснованными, но его нестрогие и интуитивные определения сегодня не прошли бы проверки.
Вопрос обоснованности оказывается особенно дискуссионным, когда речь идет о бесконечностях. В своей теореме Гильберт использовал метод доказательства от противного. Суть метода в том, чтобы принять противоположное тому, что вы пытаетесь доказать, а затем продемонстрировать, что это приводит к противоречию. Противоречие показывает, что исходное утверждение, вероятно, неверно, а потому истинным является противоположное ему утверждение – то, которое вы изначально хотели доказать. В такого рода рассуждении используется аристотелевский закон исключенного третьего: должна быть верной либо пропозиция, либо пропозиция, ее отрицающая, – другого варианта быть не может, и, если одна из пропозиций истинна, вторая должна быть ложной. Использование Гильбертом метода доказательства от противного возмутило бы меньше людей, если бы он рассуждал о конечной совокупности объектов.
В истории математики есть множество знаменитых доказательств от противного. Евклид доказал, что существует бесконечное число простых чисел, предположив противоположное – что их множество конечно, и потому можно составить их исчерпывающий список[445]. Затем он показал, что должно быть простое число, не внесенное в список, что противоречит допущению, будто этот список содержит все простые числа, тем самым доказав, что невозможно составить конечный список простых чисел и, следовательно, их должно быть бесконечно много.
Проблема состояла в том, что, доказывая свою теорему о базисе, Гильберт применил метод доказательства от противного к бесконечным множествам. В конечном счете он (по его мнению) доказал существование вещи, никоим образом ее не конструируя или не показывая читателям, что та собой представляет. До этого в рамках теории инвариантов существование всего, о чем было известно, что это существует, доказывалось посредством наглядного построения: отсюда и все трудоемкие вычисления. Гильберт осуществил то, что современные математики называют неконструктивным доказательством. Для доказательства существования вещи он обратился к логике, не делая малейших намеков на то, как эту вещь создать. Вероятно, слова Гордана о богословии пришли тому на ум из-за знакомства с такими культурными артефактами, как онтологическое доказательство существования Бога: логический трюк, из-за которого складывается впечатление, будто Бог существует без каких-либо предпосылок, причем о Его или Ее природе или свойствах практически ничего не говорится, и к ним не предъявляется почти никаких требований[446].
Во времена Гильберта многие математики не принимали неконструктивные доказательства от противного, если в них фигурировали бесконечные множества. Они настаивали на том, чтобы доказательство наглядно показывало, что при рассмотрении ничего не было упущено. Этот подход существует и по сей день: он взращивается математической школой интуиционистов; Гильберт же попадает в категорию формалистов (и при том является наиболее видным из них). В свою очередь, Гильберт считал эти возражения пустыми и официально заявлял, что вовсе не намерен отказываться от своих самых эффективных инструментов – даже если те нервируют некоторых робких математиков.
К счастью для него и для его статьи, над Горданом взял верх Феликс Клейн, к тому времени уже бывший математической суперзвездой и, по стечению обстоятельств, ответственным редактором журнала. Клейн входил в число тех, кому методы Гильберта немедленно пришлись по душе[447]. Он говорил о доказательстве Гильберта как о «совсем простом и потому логически убедительном». Именно из-за этой статьи Клейн твердо решил как можно скорее добиться переезда Гильберта в Гёттинген.
Хотя дискуссии между интуиционистами и формалистами идут и по сей день, этот эпизод закончился их примирением. Несколько лет спустя Гордан обнаружил, что не может отрицать эффективности и продуктивности методов Гильберта, и отметил, что «даже богословие не лишено известных достоинств»[448]. В свою очередь, Гильберт нашел наглядное, конструктивистское доказательство своей теоремы о базисе – доказательство, которое всех удовлетворило. Более того, настал день, когда Гильберт сам стал ответственным редактором журнала, поначалу отвергнувшего его статью. Тем временем его теорема о базисе оказалась последним на пару десятилетий интересным результатом, достигнутым в области теории инвариантов. После того, как был найден ответ на наиболее важный нерешенный вопрос теории, лишь немногим хотелось продолжать попытки взрастить что-нибудь на этой почве. Чтобы поле вновь заколосилось, потребовался ученый калибра ученика Гильберта Германа Вейля, и произошло это лишь в 1939 году[449]. Теория инвариантов здравствует и поныне, но после осуществленной Гильбертом перестановки она уже никогда не выглядела, как прежде.
Диссертация Эмми Нётер была написана как раз в характерной для теории инвариантов традиции наглядных построений. Эта работа – пример высшего пилотажа в области скрупулезных вычислений – включала таблицу, содержащую более трех сотен вычисленных в явном виде формул инвариантов. То была диссертация, способная осчастливить научного руководителя Нётер, Пауля Гордана (а также ее отца Макса, который также был видным исследователем, подвизавшимся в тех же областях математики), поскольку была написана в стиле, очень схожем с характерным для него. Вскоре она была опубликована в математическом журнале, заняв 67 страниц[450].
Через несколько лет после защиты диссертации, еще живя в Эрлангене, Нётер познакомилась с полученными Гильбертом результатами. С этого открытия началась ее трансформация, поскольку его методы ее покорили[451]. Нётер начала освобождаться от стиля Гордана; она усвоила более абстрактный подход и в конечном счете выработала собственные методы.
В первой главе я упомянул, как Герман Минковский нашел способ при помощи специальной теории относительности Эйнштейна описать преобразования пространства и времени как вращение в четырехмерном пространстве-времени. Само это преобразование, называемое преобразованием Лоренца, сводится к особой формуле для трех пространственных координат и еще одной – для времени: отсюда четыре измерения. Фундаментальной с точки зрения математики догадкой Минковского было то, что, если рассматривать эти отдельные формулы вместе, они являются выражением одного и того же геометрического понятия – вращения. Тот малоизвестный факт, что Фойгт был первооткрывателем преобразования Лоренца, упомянут во второй главе[452]. Об этом явлении также было известно Пуанкаре и, разумеется, самому Лоренцу. Однако им не ставят в заслугу создание специальной теории относительности, которая гораздо шире, чем формула преобразования.
Суть идеи не изменится, если мы ограничимся лишь одним пространственным измерением и временем. Этот более простой подход позволяет охватить все примеры с поездами или траволаторами в аэропортах и легко визуализировать происходящее. И мы уже видели этот пример на илл. 1 и 2. Посмотрите снова на эти схематические изображения вращения систем координат. Здесь у нас две пространственные координаты, которые мы назвали x и y. Теперь замените y временем, но не просто поменяйте одно на другое: вам придется мультиплицировать временную координату, использовав с (скорость света) и i (воображаемую единицу измерения). Так мы получаем воображаемую ось времени, дифференцированную по скорости света. Другая ось – все еще просто ось x. Минковский показал, что преобразование, происходящее внутри системы отсчета, полностью описывается вращением этой пространственно-временной системы координат. По мере ускорения поезда вы поворачиваете ее под бо́льшим углом. Точки на поезде, если проводить измерения, стоя на платформе, получают новые пространственно-временные координаты, которые мы можем вычислить, исходя из вращения.
Точно так же, как расстояние от начала координат до мяча при пространственном вращении, «расстояние» в пространстве-времени, то есть дистанция между двумя «событиями» в системе координат, является инвариантом. Таким образом, идеи теории инвариантов встречаются с теорией относительности. В уравнениях специальной теории относительности Минковский обнаружил скрытую симметрию – симметрию, которой не заметил Эйнштейн.
Когда мы поворачивали систему координат в исходном примере, я упомянул, что можно записать полученные в результате преобразования x и y как исходные координаты, используя синусы и косинусы. Преобразование вносит в координаты путаницу в том смысле, что в новую координату x, x́, подмешано нечто от координаты y, а в ý – нечто от исходного x. Такова природа вращений. Это означает, что когда пространственно-временная система координат Минковского поворачивается, к новой пространственной координате подмешивается некоторое время, а в полученном в результате преобразования времени содержится примесь пространства.
Инвариант, протяженность линии, отраженная на предшествующих диаграммах, разумеется, остается инвариантом и в теории Эйнштейна. Этот инвариант будет важен для наших представлений о физике относительности.
Как сказано во второй главе, на протяжении всей жизни Гильберт питал интерес к формальным математическим структурам. Одним из первых плодов его одержимости стала предложенная им новая формулировка геометрии Евклида[453]. Для нас особенно интересным является проницательный взгляд Гильберта на значение пятой аксиомы Евклида, аксиомы о параллельности.
Но прежде в качестве примера того, с какой ясностью он трактовал аксиомы и определения, посмотрим, как он обошелся с первой аксиомой сочинения Евклида. В оригинале древнегреческий геометр просто утверждает, что между двумя любыми точками можно провести линию[454]. По мнению Гильберта, первая аксиома была неточна. Он объяснял, что линия, которую подразумевал Евклид, была уникальна: любые две точки задают одну, и только одну линию, проходящую между ними[455]. Важнейшее свойство уникальности было в высшей степени важным для аксиоматической структуры теории.
Гораздо интереснее (мы увидим это особенно ясно позднее) то, как он заменил довольно запутанную пятую аксиому Евклида следующей формулировкой:
На плоскости α через любую точку A, лежащую за пределами прямой линии a, можно нарисовать одну, и только одну прямую линию, не пересекающую линию a. Эта прямая линия называется параллелью к линии a, проходящей через данную точку A[456].
Эту аксиому я изобразил на илл. 3, чтобы показать, что имеет в виду Гильберт. Подобную новую формулировку пятой аксиомы предлагали в 1795 году Джон Плейфэр и еще в V веке Прокл[457].
Гильберт очистил формулировку Евклида, превратив ее в более простое и ясное утверждение, которое к тому же вводит понятие параллелизма. Любопытно, что в последнее время эту аксиому также называли, например, евклидовой аксиомой о параллельности, хотя в исходной версии речь о параллелизме не шла – она его просто подразумевала. Но внимательный читатель Евклида заметит, что в своем 23-м определении он говорит о параллельных линиях, используя те же выражения, что и в пятой аксиоме[458].
Возможность построения альтернативных геометрий, где аксиома о параллельности заменится чем-то иным, в высшей степени важна для математики, на которой основана общая теория относительности. Введенное Эйнштейном в физику понятие искривления пространства-времени означает, что древняя геометрия Евклида не описывает Вселенную, в которой мы обитаем. То, как Гильберт упорядочил аксиоматическую структуру этой геометрической системы, указало математикам, какие аксиомы можно заменить, сохранив при этом непротиворечивость системы.
Во второй главе мы видели, как Эйнштейн, пытаясь найти математический язык для выражения новых идей о пространственно-временной геометрии реальности, был спасен своим другом Марселем Гроссманом, отыскавшим в библиотеке руководство по необходимой Эйнштейну сложной геометрии. Здесь я дам короткий, но более подробный обзор этой геометрии.
Именно Гроссман понял, что для общей теории относительности потребуется какой-то вариант геометрии Римана. Точнее, он нашел на библиотечных полках более современные версии римановой геометрии, разработанные Туллио Леви-Чивитой и другими математиками[459].
Бернхард Риман и сам сделал карьеру в Гёттингене[460]. Весьма поразительно, что умерший в 1866 году математик в своих замечаниях о геометрии Вселенной предвосхитил некоторые из идей Эйнштейна[461].
В тот период, когда после нанесенного в 1915 году визита в Гёттинген Эйнштейн предпринимал последние попытки с помощью математики Леви-Чивиты заставить свои уравнения работать, он больше не сотрудничал с Гроссманом. Его наставницей стала Эмми Нётер, которая разработала значительные разделы тензорного исчисления, чтобы сделать общую теорию относительности непротиворечивой и обоснованной[462].
Чтобы получить схематическое представление о том, что подразумевали эти новые формы геометрии, вернемся к пятой аксиоме Евклида, лучше всего – в процитированной выше, улучшенной версии Гильберта[463]. Согласно этой аксиоме, есть одна, и только одна линия, единственная линия, параллельная существующей, которая проходит через точку, не принадлежащую первой линии. Интуитивно это кажется очевидным (возможно, после недолгого размышления). Евклидова геометрия сводится к этой и четырем другим аксиомам – и, конечно, определениям. Геометрия, которая была нужна Эйнштейну, родилась, когда некоторые изобретательные математики задались вопросом, что случится, если заменить чем-нибудь пятую аксиому. По сути, варианта два: либо через точку А не может проходить линия, параллельная первой, либо таких линий может быть более одной (что, по техническим причинам, означает, что таких линий должно быть бесконечно много).
Это не так странно, как может показаться на первый взгляд. Большинство из наших интуитивных догадок в области геометрии обусловлены тем, что мы размышляем о геометрии на плоскостях: так называемой планиметрии. В этом случае аксиома кажется очевидно истинной. Однако геометрия на искривленной поверхности (например, поверхности Земли) – нечто иное.
Прежде чем рассмотреть геометрию на искривленной поверхности, нам нужно точно установить, что мы будем понимать под «прямой линией». Поскольку в целом линии на искривленной поверхности не являются прямыми и поскольку на некоторых типах поверхностей они не могут обладать бесконечной длиной, бесконечные прямые евклидовой геометрии нужно заменить чем-то более подходящим. Мы знаем, что на плоскости прямая – это кратчайшее расстояние между двумя точками. Естественной экстраполяцией понятия прямой линии на изогнутую поверхность было бы сохранить идею кратчайшего пути. Такие пути мы называем геодезическими. Там, где Евклид говорит о прямой линии, мы заменяем ее геодезической линией на общей поверхности. Именно так математики, разрабатывавшие неевклидову геометрию – набор геометрий, в которых пятая аксиома заменяется альтернативным утверждением, – определяли аналог прямой линии.
Возможно, вы знакомы с идеей большого круга Земли. Большой круг – это, приблизительно, тот путь, который коммерческие авиарейсы проделывают между двумя точками, поскольку это кратчайшая дистанция на поверхности Земли. Иными словами, большой круг – геодезическая линия на сфере. А на сфере евклидова аксиома о параллельных прямых не работает. Однако одна из рассмотренных нашими предприимчивыми математиками альтернатив такова: на поверхности шара нет геодезических линий, параллельных данной геодезической линии[464]. Любые два больших круга пересекаются. Геометрия на шаре – лишь один пример. Оказалось, что неевклидова геометрия, которую поначалу считали не более чем логической диковиной, была геометрией, описывавшей жизнь на искривленных плоскостях.
Эйнштейн использовал разработанный в XIX веке язык для описания тяготения как изменения метрической структуры четырехмерного пространства-времени, обусловленного присутствием массы (или энергии). Две массы двигались друг к другу не под влиянием мгновенной силы, действующей на расстоянии, но в результате того, что они двигались через пространство-время по кратчайшему пути или геодезической линии. Наблюдаемая сила тяготения была аналогом фиктивных сил, возникавших из-за изменения системы отсчета (например, центробежной «силы»). Эта идея автоматически решала загадку двух типов масс: почему гравитационная масса в точности равна инерционной? Подобно тому, как фиктивная центробежная сила, которую вы испытываете, когда проезжаете поворот, никак не связана с вашей гравитационной массой, основанные на геометрии «силы» в общей теории относительности исчерпывающе объясняли действие тяготения. Существовала лишь одна масса, и загадка тождественности гравитационной и инерциальной массы испарилась.
Мы видели, как Нётер открыла свою теорему, изучая проблему сохранения энергии в общей теории относительности. Точнее, она пыталась разрешить парадоксы, которые, по мнению Гильберта, тот обнаружил, исследуя статус локального закона сохранения энергии в теории. Здесь мы подробнее разберем локальные принципы сохранения, вкратце описанные в третьей главе.
Предположим, что мы рисуем в некой области пространства круг, подобный кругу на илл. 4. Этот круг может содержать электрические и магнитные поля, находящуюся в движении воду или еще что-нибудь. Если мы будем отслеживать энергию Ef, покидающую периметр круга за определенный промежуток времени (и проникающую в него), то в сумме перенесенная энергия должна быть равна тому количеству, на которое изменилась суммарная энергия внутри круга (Ev). В этом суть принципа сохранения энергии на локальном уровне, который всего лишь означает, что энергия не создается и не исчезает, но лишь перемещается.
По сути, это простая идея. Чтобы соотнести ее с физикой сглаженных полей и веществ (например, электрического поля или воды), позволим этим окружностям стать бесконечно маленькими и заполним все пространство внутри них. Тогда условие о сохранении энергии на локальном уровне выполняется в любой точке пространства и становится дифференциальным уравнением. Дифференциальные уравнения – это, строго говоря, язык, на котором мы записываем все свои физические идеи. Они соотносят бесконечно малые изменения пространства и времени с другими бесконечно малыми изменениями. В данном случае дифференциальное уравнение ставит бесконечно малое изменение энергии в бесконечно малом объеме в соответствии ее притоку в этот объем и оттоку из него. Это абсолютно строгий учет всей энергии и ее движений в системах, где эта энергия может растекаться по пространству.
В теории электромагнитного поля Максвелла сами электрические и магнитные поля (а не только заряженные массы) могут содержать энергию (и импульс, и даже момент импульса, как упоминалось в третьей главе). Чтобы описать это, нужно настоящее дифференциальное уравнение, а не просто подсчет дискретных объектов.
Такой тип дифференциальных уравнений – уравнение непрерывности – возникает в физике повсеместно. Оно используется каждый раз, когда нам нужно сказать, что нечто ведет себя как вещество, которое может перетекать от точки к точке и которому может (или нет!) быть позволено «накапливаться» или устраняться из любой конкретной области, но которое никогда не создается и не разрушается: общее количество вещества всегда остается неизменным. Применительно к энергии уравнение непрерывности является выражением локального закона сохранения энергии. Оно также возникает в гидродинамике применительно к массе, к настоящему текучему веществу, и в этом случае выражает более древнюю идею сохранения массы. Здесь появляются две версии уравнения в зависимости от того, о каком типе жидкости идет речь. Если жидкость поддается сжатию, масса, как и энергия, может накапливаться, и потому плотность в любой точке может возрасти. Если жидкость сжатию не поддается, то разнообразие закономерностей ее перетекания ограничивается тем, что ее плотность везде остается одинаковой. Локальный закон сохранения энергии описывается дифференциальным уравнением, из которого ясно, что энергия перетекает подобно поддающейся сжатию жидкости: в любом конкретном месте энергия может снизиться или исчерпаться, но это изменение должно находить объяснение в ее движении через ближайшие границы. Подобно воздуху, энергия может перетекать с места на место, но не может появиться из ниоткуда.
Именно эта проблема, рассмотренная в рамках общей теории относительности, поставила Гильберта в тупик. Он не мог показать, что уравнения гравитационного поля согласуются с локальным законом сохранения энергии, то есть соответствующим уравнением непрерывности, описывающим поведение энергии в четырехмерном пространстве, которое Эйнштейн изобрел, чтобы у Вселенной было пространство для существования.
Сколь-нибудь подробное объяснение того, как Нётер доказала свою теорему, выходит за рамки этой книги. Однако ради читателей, которым интересно было бы проследить за рассуждением, разъясняющим класс специальных случаев этой теоремы, Ричард Фейнман не без успеха применил свой выдающийся талант толкователя. Он сформулировал сравнительно простой, отчасти графический довод, который, хотя на самом деле ничего не доказывает, по крайней мере демонстрирует, почему упрощенный, особый случай теоремы Нётер может соответствовать истине[465]. Фейнман упоминает, что он рассматривает особый случай отношений между симметриями и законами сохранения в целом, но неясно, знает ли он о существовании обобщающей теоремы, и он нигде не упоминает о Нётер. Я рекомендую читателям, которым интересно проследить за развитием семиматематического аргумента, обратиться к этому интригующему «наглядному доказательству».
Один анекдот с удивительной наглядностью показывает, как глубоко мощная математическая интуиция Гильберта могла бы повлиять на историю физики XX века, будь к тому готовы окружавшие его физики. Хотя эта история произошла чуть позднее и уводит в область квантовой механики, стоит сделать небольшое отступление.
Гейзенберг более или менее случайно натолкнулся на первую зрелую теорию квантовой механики, когда разрабатывал правила эволюции квантовых состояний и исследовал то, что с ними происходит, когда они являются предметом измерения. Эти правила ставили его в тупик, поскольку складывалось впечатление, что здесь задействован необычный математический аппарат. Когда он показал свою теорию Максу Борну (чье имя теперь появляется рядом с именем Гейзенберга в любом учебнике по квантовой механике), тот опознал паттерны и объяснил Гейзенбергу, что он столкнулся с матричной арифметикой. Из этого стало яснее все, что касалось вычислений, но обоих продолжал смущать вопрос, какое отношение эти матрицы имели к проблемам ядерной физики, которые они пытались моделировать. Так что они обратились к специалисту.
Они показали свою работу Гильберту, который немедленно сказал им, что если они хотят лучше разобраться в теме, то могут поискать дифференциальное уравнение, для которого эти матрицы были бы характеристическими решениями (eigenfunctions)[466]. Гейзенберг и Борн не поняли, почему Гильберт рассуждает о дифференциальных уравнениях. Они решили, что зря потратили время на разговор с ним, и так и не последовали его совету. Если бы они это сделали, то открыли бы знаменитое уравнение Шрёдингера еще до Эрвина Шрёдингера. Это дифференциальное уравнение – вторая формулировка квантовой механики, называемая волновой механикой; версия Гейзенберга называется матричной механикой. Даже после первых публикаций о волновой механике потребовалось некоторое время, прежде чем была доказана равнозначность этих двух теорий. Но Гильберт практически с первого взгляда проник в суть дела и, без сомнения, мог бы вывести уравнение Шрёдингера в качестве занимательного упражнения. Но он, вероятно, думал, что, будь это важно для физиков, они бы сделали это сами. Возможно, ему можно простить саркастическое замечание, что физика «слишком сложна для физиков».
А вот один любопытный факт об уравнении Шрёдингера и теореме Нётер – нечто, о чем ни Нётер, ни Шрёдингер даже не подумали. Оказывается, в уравнении Шрёдингера, лежащем в основе волновой интерпретации квантовой механики, заключена одна простая математическая симметрия. Она похожа на калибровочную симметрию в уравнениях электромагнитного поля, о которой шла речь в третьей главе. Там я упоминал, что теорема Нётер показывает, как калибровочная симметрия уравнений Максвелла равнозначна принципу сохранения заряда. В случае уравнения Шрёдингера теорема Нётер показывает, что его симметрия равнозначна сохранению вероятности[467].
В шестой главе говорилось в том числе и о предмете, который Нётер преподавала и исследованиями по которому руководила во время своего трагически короткого периода пребывания в Брин-Море. Более всего ее интересовало распространение и развитие современной алгебры.
В этом разделе я с большей определенностью охарактеризую содержание этой важной области математического знания, используя пример. Во имя гармонии с главной темой этой книги пример будет касаться симметрии.
Возьмем квадрат. Нарисуйте его или просто вообразите. А теперь представьте, будто поворачиваете его относительно центра. В результате поворота под случайным углом изображение квадрата изменится, но при повороте под определенными особыми углами оно покажется неизменным. Речь об углах, связанных с симметрией квадрата. Вероятно, очевидно, что при повороте на 0 ° квадрат не изменится, как и при полном повороте – повороте на 360 °. Повороты под этими двумя углами будут иметь тот же эффект для фигуры любой формы. Теперь нужно решить, понимаете ли вы под вращением движение по часовой стрелке или против нее – это не имеет значения, покуда направление движения остается неизменным. Не приведет к изменениям также поворот на 90 ° – из-за симметричности квадрата. С изображением дома такой номер, несомненно, не пройдет. Есть еще углы, при повороте на которые квадрат будет выглядеть точно так же – углы, кратные 90°: 180° и 270° (илл. 5).
Для разных геометрических форм особые углы будут различными. Если бы мы говорили не о квадрате, а о правильном шестиугольнике, углы, при которых изображение оставалось бы неизменным, были бы кратными 30°.
Пока что мы определили пять углов, при повороте на которые квадрат остается неизменным: 0°, 90°, 180°, 270° и 360°. Но есть еще четыре: отрицательные углы, равные по модулю отличным от нуля. Эти повороты под отрицательными углами означают вращение против часовой стрелки, если вы решили, что поворот под положительным углом означает вращение по часовой стрелке, – или vice versa. Таким образом, мы получаем девять углов, соответствующих требованию, чтобы при повороте на них квадрат оставался неизменным.
До сих пор могло казаться, что это имеет больше отношения к геометрии, чем к чему-то, что можно назвать «алгеброй». Но следующим шагом будет подумать об этих девяти поворотах как о самостоятельных объектах, а о совершении поворота – как о действии. Можно посредством одного из объектов совершить действие над другим: применить поворот на 90° к повороту на 180°, например, означает то же самое, что и совершить поворот на 270°. Применение поворота на 0 ° к чему угодно оставляет объект неизменным. Также для любого поворота есть другой поворот, который его отменяет, что приводит к повороту на 0°; это всего лишь отрицательный поворот, равный по модулю первому совершенному. Например, осуществить поворот на –90° по отношению к повороту на 90° – то же самое, что совершить поворот на 0°. И еще одно: не имеет значения, как мы объединяем эти действия. Иными словами, если мы объединим поворот на 90° с поворотом на 180°, а затем возьмем результат, то есть поворот на 270° и применим его к еще одному повороту на 90°, то в результате мы получим поворот на 360°. Но можно также сначала объединить последние два поворота и применить к результату первый поворот, все равно получив тот же итог. Безразличие к тому, как объединяются действия, называется ассоциативным свойством. Оно может показаться очевидным, но имеется не у всех объектов! Так получилось, что здесь также не имеет значения порядок совершения действий, но это не так, например, в случае вращения в трехмерном пространстве.
Эти девять объектов вместе с их ассоциативным свойством, а также факт наличия нулевого элемента, который ничего не совершает, а также тот факт, что для каждого объекта есть «обратный» объект (что дает нам нулевой элемент), плюс еще один момент – все это определяет конкретный вид структуры. Этот «еще один момент» состоит в том, что наша маленькая Вселенная вращений является замкнутой: любое из девяти вращений может воздействовать на любое другое, и так мы получаем еще одно вращение из этих девяти. «Сбежать» из системы невозможно.
Такая особая структура называется группой. Это первая из структур, изучаемых в курсе абстрактной алгебры.
Суть абстрактной алгебры в абстракции. Пример с вращениями квадрата – это всего лишь пример, позволяющий конкретизировать идеи. Подлинным объектом изучения является сама группа – структура, состоящая из девяти элементов. Доказывая утверждения об этой группе, вы теперь знаете нечто о любой иной группе с такой же структурой или обо всех группах, в зависимости от допущений, на которых основана ваша теорема. Еще одним примером группы является множество всех целых чисел с операцией сложения. Это – бесконечная группа, тогда как наша группа вращений квадрата конечна. Но есть иной вид сложения, когда мы «оборачиваем» конечное множество чисел (это называется сложением по модулю). Если мы ограничим наше множество из девяти элементов, состоящее из нуля и целых чисел от одного до четырех, расположенных в положительном и отрицательном направлениях на оси координат, и «обернем» его, так что сложение чисел от одного до единицы вернет нас к нулю, то мы получим конечную группу с той же структурой, что и группа вращений квадрата. Любое общее утверждение об этой группе, истинность которого мы доказали, будет истинным для любого ее примера или для любого иного примера с подобной структурой. Именно это имеется в виду под абстракцией: алгебра абстрагирует структуры от частных случаев и доказывает общие утверждения об этих структурах.
Во второй главе мы видели, сколь важна была для Эйнштейна способность его новой теории правильно определять смещение перигелия Меркурия. Ньютоновская теория тяготения, веками правившая Вселенной, предсказывала движение планет по неизменно замкнутым, стабильным эллиптическим орбитам – за исключением известных нарушений, вызванных другими планетами, находящимися поблизости. Смещение оси орбитального эллипса Меркурия, беспардонно противоречившее классическому закону тяготения, со времен Ньютона оставалось загадкой. Как и в случае других неправильностей движения в Солнечной системе, разумно было искать причину во вносящем сумятицу влиянии неотрытой планеты – но никакой подобной планеты так и не нашли[468]. Загадка оставалась без ответа до появления общей теории относительности – пока Эйнштейн не дерзнул заявить, что дело не в лакуне в нашем перечне планет, но в наших представлениях о самом тяготении.
Помимо ключевых взаимосвязей между теорией тяготения Эйнштейна и теоремой Нётер, существует также поразительная связь между ньютоновской теорией тяготения, орбитами планет и теоремой Нётер. Эта связь показывает, как теорема Нётер может дополнить наше понимание области физического знания, выявив неочевидную симметрию[469].
Давайте представим, что во Вселенной есть лишь Солнце и Меркурий (или любая иная планета). Помните, что планета вращается вокруг Солнца, двигаясь по эллиптической орбите. Поскольку к этому моменту мы уже стали экспертами по симметриям и законам сохранения, то знаем, что в этой системе «Солнце – Меркурий» будет сохраняться энергия, импульс и момент импульса. Истинность этих законов сохранения доказывает теорема Нётер, поскольку временной сдвиг, пространственный сдвиг и симметрии ориентации – это симметрии, таящиеся в самом фундаменте наших интуиций о времени и пространстве и отраженные в уравнениях классической физики, описывающих Солнечную систему. Нам также известно, что ни одно из этих утверждений не является по-настоящему верным, поскольку их заместила опровергающая наши интуиции общая теория относительности. Но мы сейчас говорим о физике минувших дней.
Можно записать простую формулу, включающую момент импульса системы и расстояние, разделяющее два тела (в нашем примере – Солнце и Меркурий). Эта формула будет определять вектор, который можно представить как стрелку определенной длины и ориентированную в определенном направлении, поскольку расстояние в данном случае – это вектор между двумя телами, и то же можно сказать о моменте импульса (илл. 6).
Этот вектор известен как вектор Рунге – Ленца (иногда его называют вектором Лапласа – Рунге – Ленца, а иногда – просто вектором Ленца). Он ориентирован от Солнца к перигелию планеты, а его длина пропорциональна эксцентриситету (степени вытянутости) эллипса орбиты.[470]
Любопытно, что этот вектор, как в 1799 году доказал Пьер-Симон Лаплас, сохраняется при гравитационном взяимодействии двух тел[471]. По мере того как планета вращается вокруг своей звезды, вектор остается неизменным, то есть его длина и ориентация зафиксированы навечно, несмотря даже на то, что расстояние между двумя телами постоянно меняется. И хотя Карл Рунге с Эмилием Ленцем вышли на сцену гораздо позже, им каким-то образом удалось разделить славу с Лапласом. Что еще печальнее, о последнем обычно и вовсе не упоминают. Такое, увы, слишком часто происходит с названиями явлений в науке и математике.
В случае классической теории тяготения этот дополнительный закон сохранения присоединяется к законам сохранения энергии, импульса и момента импульса. Нам известно, что, согласно теореме Нётер, каждый закон сохранения эквивалентен какой-либо симметрии. В случае трех знакомых нам законов сохранения, выполняемых при движении планеты по орбите, знакомы нам и связанные с ними симметрии: сохранение энергии эквивалентно симметрии во времени и т. д. С этим новым законом сохранения также должна быть связана симметрия, и теорема позволяет разобраться, какая именно. Речь идет не об очевидной пространственно-временной симметрии, как в случае первых трех законов сохранения, но об абстрактной симметрии, описываемой конкретной группой Ли. Точнее, поскольку сохраняющийся объект – вектор, это дает нам три сохраняющиеся величины – его компоненты в трехмерном пространстве. Момент импульса дает нам три сохраняющиеся величины. При их объединении шесть сохраняющихся чисел приводят, в силу теоремы Нётер, к четырехмерной симметрии вращения.
Теорема сообщает нам нечто новое об очень старой проблеме. Веками существовала скрытая симметрия. По сути, эллипсы Кеплера являются проекциями на населяемое нами трехмерное пространство частицы, путешествующей по гиперсфере в четырех измерениях.
Но, сколь ни интересно это знать, что нам за дело?
Для многих математиков и физиков (и, возможно, и для некоторых обычных людей) «интереса» уже достаточно! Но есть кое-что еще. Скрытая симметрия вращений в четырехмерном пространстве, выявленная теоремой Нётер, – это та же самая симметрия, которую мы используем для анализа различных систем в квантовой механике, в частности – ее канонической проблемы атома водорода.
В самом начале истории нашего знакомства с атомами было открыто, что они устроены следующим образом: тяжелая, позитивно заряженная центральная часть, ядро, окружена гораздо более легкими частицами с отрицательным зарядом, электронами, и эти два компонента разделяет обширное пустое пространство. Электроны должны вращаться вокруг ядра, а не то они просто «отвалятся» – точно так же, как планеты должны вращаться вокруг Солнца. Таким образом, атом представляли как нечто, подобное крохотной Солнечной системе.
Однако это приводит к парадоксу. Электроны заряжены, и все (во всяком случае, все физики) знают, что при ускорении заряженная частица испускает электромагнитную энергию. Ускорение подразумевает изменение скорости, что означает изменение величины или направления вектора скорости. При вращении тела по орбите постоянно меняется по меньшей мере направление, в котором оно движется, а потому движущийся по орбите электрон постоянно ускоряется. Мы создаем радиосигнал, ускоряя движение электронов туда и обратно внутри антенны. Это состояние постоянного ускорения означает, что атом не мог бы сохраняться надолго. Поскольку электроны постоянно испускают энергию, энергии их орбит согласно закону сохранения следовало бы снижаться – точно так же, как встреченные нами в третьей главе вращающиеся друг вокруг друга нейтронные звезды в итоге врежутся друг в друга из-за потери энергии вследствие гравитационного излучения. Электроны довольно быстро должны упасть на ядро. Поскольку этого не происходит, первые квантовые физики придумали некоторые ситуативные правила, позволяющие «спасти» атом от аннигиляции. Они заявили, что орбиты являются «квантованными»: крохотные частицы могут существовать лишь в прерывистой череде энергетических уровней. Электронам было просто запрещено постоянно излучать энергию и с каждым оборотом приближаться к ядру. Задача решена!
Поскольку водород – самый простой из атомов, у которого есть один протон и один электрон, его больше всего исследуют, и допустимая для него череда энергетических уровней досконально изучена. Если вы нагреете немного газообразного водорода, он – как и вообще горячие предметы – начнет светиться. Но он не будет сиять всеми цветами радуги, демонстрируя непрерывный спектр. Если вы направите свет в инструмент, действующий как призма (разделяющий свет на его компоненты), то различите отдельные цвета с промежутками между ними – или, скорее, отдельные длины волн, поскольку радиация раскаленного водорода не ограничивается видимым светом. Это множество отдельных длин волн называется спектром атома водорода. Длины волн соответствуют энергетическим уровням электронов атома; квантовая теория ставит длину волны протона в соответствии с его энергией.
По мере развития квантовой механики старомодную модель миниатюрных солнечных систем сменили такие идеи, как волновая функция. Электроны больше не были крохотными планетами, движущимися сквозь пространство по четко определенным траекториям. Вместо этого они и все прочие крохотные обитатели квантового царства ускользали от наших классических интуиций о том, на что похожи физические объекты. Волновая функция обеспечила нам вероятность, что мы сможем наблюдать их в каком-либо конкретном месте, если нам случится туда взглянуть. Если мы не смотрим, они находятся… везде и нигде. Приняв понятие волновой функции, можно было гораздо хитроумнее разрешить парадокс радиации. Электроны не двигались по орбитам. У них вовсе не было никаких орбит в классическом понимании этого слова.
Хотя электроны не следовали по орбитальным путям, они пребывали в квантованном множестве допустимых энергетических уровней. Им приходилось там оставаться, поскольку наблюдаемый дискретный спектр был неизменен! В значительных областях современной квантовой теории очень активно используется теория групп, математика симметрии. Одним из способов, которым физики пользуются для вычисления энергетических уровней атома водорода, является сочетание волн вероятности Шрёдингера с группой Ли, состоящей из вращений в четырех измерениях. Хотя геометрия четырехмерна, группа эта является шестимерной, поскольку для определения вращения нужны шесть параметров. Почему именно шесть – требует слишком технического объяснения для этой книги, но это связано с размером матриц, отображающих операторы вращения. В двух измерениях, когда мы вращаем круг, группа Ли одномерна; в трех измерениях, при вращении сферы, группа тоже трехмерна; а при более высокой размерности пространства стремительно возрастает число измерений группы. Хотя математическое обоснование наличия у группы шести измерений несколько туманно, приведенные выше физические причины гораздо понятнее; они связаны с шестью числами, которые нужны для определения двух сохраняющихся векторов в планетарной системе.
Квантовая механика позволила вычислить энергетические уровни атома водорода при помощи этой структуры группы Ли. Результат превосходно согласовывался – и продолжает согласовываться – с экспериментом.
Итак, вот еще один дар теоремы Нётер – последний, который мы получаем, применив ее к проблеме планеты, движущейся вокруг своей звезды: теорема выявляет скрытую четырехмерную симметрию, связывающую классическую проблему с квантовой физикой атома водорода, и так, совершив отступление в область абстрактной математики, мы завершаем круг. Поскольку в воображении ученых этот атом сначала представлялся само́й системой, в которой планета вращается вокруг звезды; затем эта модель была признана несостоятельной и заменена таинственными облаками вероятностей, подчиняющимися законам квантовой теории и симметрии групп вращений в четырехмерном пространстве, которые определяли его спектр. Теперь теорема показывает нам, что сами орбиты Кеплера являются проявлениями той же самой группы вращений.
Именно ради этого и живут на свете физики-теоретики: ради внезапного осознания глубоких взаимосвязей между явлениями, которые казались в высшей степени разнородными, а теперь объединены глубокими и прекрасными математическими структурами. Открытие Нётер – эффективный инструмент, позволяющий заглянуть внутрь различных моделей Вселенной и пролить свет на их скрытые взаимосвязи.
Стоит отметить еще одну связь с современной физикой. Поскольку вектор Рунге – Ленца сохраняется, а его ориентация связана с перигелием, положение перигелия никогда не может измениться. Планета должна вечно двигаться по совершенному, замкнутому эллипсу. Это свойство силы тяготения, а равно и силы упругости; сила, хотя бы чуть иначе зависящая от расстояния, не сформирует замкнутой орбиты. Но вспомните, что перигелий Меркурия на самом деле изменяется. Расчет его прецессии был вызовом для Эйнштейна и его новой теории тяготения, а то, что он в этом преуспел, стало историческим триумфом. Перигелий Меркурия прецессирует, поскольку в общей теории относительности сила тяготения не тождественна силе тяготения Ньютона, которая приводит к формированию идеальных эллипсов. Прецессия поддается измерению, поскольку ближайшая к Солнцу планета движется по орбите внутри более мощного гравитационного поля – отсюда большее искривление пространства-времени, чем в случае других планет. Открытие Нётер показало, как сохранение энергии в общей теории относительности должно быть заменено сохранением канонического тензора энергии-импульса, что мы видели в третьей главе, поскольку во Вселенной Эйнштейна симметрии отличаются от симметрий во Вселенной Ньютона. История вектора Рунге – Ленца добавляет еще одну грань: изменение ньютоновского закона всемирного тяготения разрушает четырехмерную осевую симметрию, которую выявляет теорема Нётер, но разрушение симметрии приводит к тому, что вектор Рунге – Ленца больше не сохраняется. А это делает возможной прецессию перигелия.
Кстати говоря, Рунге, чье имя увековечено в названии вектора Рунге – Ленца, – это тот самый математический физик, который, как упоминалось в третьей главе, думал, что нашел решение проблемы сохранения энергии в общей теории относительности, но чью идею раскритиковала Эмми Нётер.
В седьмой главе довольно подробно говорилось о том, как авторы стандартной модели опирались на теорему Нётер при разработке современной физики элементарных частиц. Поскольку темой книги является влияние этой теоремы, я не стал обсуждать еще одну область математики, имеющую огромное значение для теории квантового поля вообще и стандартной модели в частности – теорию представлений.
В третьей главе я затронул теорию групп как важную составляющую теоремы Нётер. Я также упомянул о наследии Нётер в области современной алгебры, которая начинается с изучения групп и переходит ко все более и более сложным структурам. А ранее в этом приложении я рассказал о любопытном эпизоде, когда Гильберт попытался подсказать Гейзенбергу и Борну, как открыть уравнение Шрёдингера, а два физика, не задумываясь, проигнорировали его совет. Все эти наблюдения и события взаимосвязаны. Объекты, на которые наткнулся Гейзенберг и в которых Борн опознал матрицы – это описание группы, являющееся отражением симметрии простой квантовой системы, которую анализировал Гейзенберг. Каждая группа (определенного вида, который оказался важным для квантовой механики) может быть описана посредством множества матриц и особого правила умножения, знакомого нам по линейной алгебре. Это описание групп посредством матриц стало самостоятельным разделом математики под названием «теория представлений».
Вейлю было что об этом сказать в его некрологе Нётер: «Именно в этом и состоит главная цель теории представлений. Теория некоммутативных алгебр и их представлений была построена Эмми Нётер на новой, чисто концептуальной основе»[472].
Упоминаемое Вейлем некоммутативное свойство – это характеристика математического оператора, при которой результат зависит от порядка операндов. Например, сложение или умножение чисел является коммутативным, поскольку 2 + 3 – то же самое, что и 3 + 2, а 2 × 3 равно 3 × 2. Упомянутый мной выше определенный вид группы таков, что его оператор умножения некоммутативен. Так обстоит дело со стандартным умножением матриц, а потому теория представлений в целом – это теория некоммутативных структур.[473]
Нётер разработала современное основание теории представлений, как и многих других областей абстрактной алгебры, и этот раздел математики стал одним из краеугольных камней стандартной модели. Хотя это открытие, возможно, не столь глубоко, как теорема Нётер – в основном потому, что до определенного момента теория представлений разрабатывалась без участия Нётер, – это еще один пример следа, оставленного ею в тех областях физики, которые появились много времени спустя после ее смерти.
Сама теорема – предмет продолжающихся исследований. Задача состоит в расширении области ее применения, выходе за пределы контекста непрерывных групп Ли, в котором ее разрабатывала Нётер. Часть этой работы подразумевает попытки включить в эту область прерывистые симметрии: например, отражения, переходы между дискретными состояниями или решетки с ограниченными пространственными симметриями. Другой подход связан с интересом к использованию приемов механики Лангранжа в системах, которые теряют энергию (обычно в виде теплового излучения). Учет утраты энергии важен, поскольку значительные разделы физики и инженерного дела связаны с такими вещами, как текучесть существующих в реальности жидкостей, где трение (вязкость) приводит к потере механической энергии в форме теплового излучения. Энергия утрачивается, поскольку ее нельзя восстановить и вновь превратить в энергию движения. Из-за однонаправленности преобразования энергии механику в формулировке Лагранжа нельзя использовать обычным образом, это к несчастью для нас, специалистов по динамике жидкостей, означает, что, теорему Нётер нельзя непосредственно применить к нашим проблемам. Однако если бы был какой-то способ распространить обычную идею функции Лагранжа на диссипативные системы, мы смогли бы применять теорему[474].
Математики и ученые-естественники регулярно всевозможными способами воздают должное жизни и наследию Нётер: от выпущенных по случаю юбилея футболок до лекций и целого ряда названных в ее честь программ и стипендий. Чтобы дать некоторое представление о разнообразии этой деятельности, приведу здесь ограниченный, составленный случайным образом перечень мероприятий.
Американское математическое общество проводит ежегодную Нётеровскую лекцию: «Лекцию в честь Эмми Нётер (1882–1935), одного из великих математиков своего времени. Она работала и сражалась во имя того, что любила и во что верила. Ее жизнь и работа останутся грандиозным источником вдохновения»[475].
Международный математический союз также проводит Нётеровскую лекцию «в честь женщин, сделавших фундаментальный и не теряющий значения вклад в развитие математических наук»[476].
В 2017 году профессор математики Энтони Бонато учредил стипендию имени Нётер для изучающих математику в Университете Райерсона (ныне – Университет Торонто Метрополитен). В объявлении о стипендии он говорит о влиянии Нётер: «Каждый изучающий математику студент знает о кольце Нётер и модулях Нётер <…> она – один из важнейших математиков современности, чье имя, однако, остается неведомым для многих, кто не принадлежит к математическому сообществу. Она должна быть одной из современных героинь науки – в одном ряду с такими титанами, как Кюри, Тьюринг и Эйнштейн»[477].
В 2013 году Европейское физическое общество учредило награду ЕФО имени Эмми Нётер для женщин за достижения в области физики, чтобы «привлечь более широкое внимание научного сообщества, политических деятелей и публики в целом к заслуживающим того женщинам-физикам» и «указать на ролевые модели, которые помогут подвигнуть женщин связать свою жизнь с физикой»[478].
Фонд спасения ученых Института международного образования в 2020 году учредил профессуру имени Нётер, чтобы поддерживать «выдающихся женщин-ученых, чьей жизни и карьере угрожает опасность»: «профессура была названа в честь выдающегося математика, доктора Эмми Нётер, которой Чрезвычайный комитет помощи перемещенным иностранным ученым, ИМО, помогал после того, как в 1933 году она покинула нацистскую Германию. Поддержка ежегодно и на бессрочной основе оказывается женщинам-ученым, которые, подобно Нётер, преодолели существенные преграды, чтобы заниматься своей научной работой»[479].
Институт «Периметр», независимый канадский исследовательский институт теоретической физики и просветительский центр ввел «Инициативы имени Эмми Нётер». В их число входят Круг Эмми Нётер, Совет Эмми Нётер и фонд поддержки юных дарований, стипендиальная программа и гранты – все это носит имя Эмми Нётер[480].
Стипендия имени Амалии Эмми Нётер для поддержки исследований в области прикладной математики и применения компьютеров для научных расчетов выдается получившим докторскую степень ученым с целью проведения исследований в Брукхейвенской национальной лаборатории в течение двух лет[481].[482]
Список продолжают еще несколько пунктов, имеющих отношение к некоторым иным сферам жизни и научной работы:
В недавней статье о калибровочной теории упоминается, что «теорема, сформулированная Нётер в 1918 году и соотносящая элементарные “универсальные” симметрии с законами сохранения – заветный краеугольный камень современной теоретической физики»[483].
Теорема Нётер – сердце теории квантового поля и стандартной модели. Как объясняет Стивен Вайнберг, один из архитекторов стандартной модели: «Но откуда взялся лангранжев формализм? Почему мы перечисляем возможные теории, называя их функциями Лагранжа? <…> Я думаю, потому, что лишь в лагранжевом формализме (или, шире, формализме действия) симметрии предполагают существование алгебр Ли соответствующих квантовых операторов, а без этих алгебр Ли не разработать адекватных квантовых теорий. <…> Если начать с инварианта Лоренца плотности функции Лагранжа, то в силу теоремы Нётер лоренц-инвариантность матрицы рассеивания будет автоматической»[484].
В недавно опубликованной статье Томаса Гэррети об уравнениях Максвелла тоже идет речь о важных взаимосвязях: «Теорема Нётер – одно из наиболее важных открытий XX века. Она устанавливает связь между механикой <…> симметриями <…> и законами сохранения»[485].
А в книге Энтони Зи «В двух словах о теории квантового поля» (Quantum Field Theory in a Nutshell) сказано: «Мы подошли к одному из самых фундаментальных наблюдений в теоретической физике, а именно теореме Нётер, согласно которой сохраняющийся ток связан с каждым из генераторов непрерывной симметрии».
В интересной книге «Хаотическая гармония: Беседа о физике, сложности и жизни» (Chaotic Harmony: A Dialog About Physics, Complexity and Life) есть глава о симметрии и теореме Нётер, затрагивающая проблему изоспина (аспекта квантовой механики, важного для разработки стандартной модели) и сложный предмет сохранения момента импульса в общей теории относительности[486].
В 1960 году город Эрланген назвал улицу в новом жилом районе Нётерштрассе[487].
По мнению романиста Рэнсома Стивенса, теорема Нётер – «важнейшее открытие человечества» и является «возможно, самым важным открытием в энциклопедии знаний человечества». Прежде чем начать писать романы, Стивенс занимался физикой элементарных частиц, что, определенно, помогает объяснить, почему он с таким почтением относится к теореме. Он понимает, что его дисциплина не могла бы существовать без теоремы Нётер. Стивенс написал увлекательный роман, в котором есть героиня по имени Эмми Наттер, отчасти вдохновленная Эмми Нётер; в книге в некоторой мере разъясняется суть теоремы Нётер[488].[489]
На недолго просуществовавшей странице в MySpace под названием «Симметрия Нётер» было выложено несколько довольно-таки монотонных электронных музыкальных композиций. О ней с нежностью вспоминают тут[490].[491]
Есть лунный кратер, носящий имя Нётер (Nöther – так иногда пишут ее фамилию), а также астероид 7001 Noether.
Отель EMC2 в Чикаго обратился к математику и художнице Евгении Ченг с просьбой превратить вестибюль в инсталляцию в честь Нётер и ее математических открытий[492].
Наконец, в любимом ботаниками всего мира веб-комиксе XKSD время от времени упоминается Нётер[493].
Эти культурные артефакты внушают надежду. Они означают, что Нётер постепенно перестает быть фигурой, о которой неизвестно за пределами сообщества математиков и физиков, и начинает пользоваться некоторым общественным признанием. Или, по крайней мере, люди, которые, подобно автору комикса XKCD и нескольких научно-популярных книг Рэнделу Манро, одной ногой стоят в мире технарей, а другую с удобством разместили в мире массовой культуры, знают, что упоминание ее имени заставит публику улыбнуться.
В восьмой главе в общих чертах описывается, как теорема Нётер нашла применение в квантовых вычислениях. Тем, кому хотелось бы получше разобраться в этом вопросе, сначала надо больше узнать об идеях, стоящих за новым типом компьютера.
Во всех классических (обычных, неквантовых) цифровых компьютерах элементарной единицей исчисления является бит, состояние, которое либо существует, либо нет. Мы представляем себе бит как число, 1 или 0, или логическое значение – «истина» или «ложь». Я назвал классические компьютеры цифровыми, поскольку в реальности существуют и аналоговые компьютеры, отображающие физическую систему посредством ее моделирования с помощью непрерывных величин, а не цифровых значений типа «вкл.» или «выкл.». В наши дни аналоговые компьютеры распространены меньше, поскольку их практически полностью заменили удобные и гибкие цифровые машины. Одним из примеров, с которым вы, возможно, сталкивались, является обычная логарифмическая линейка, ныне вытесненная своим цифровым потомком, электронным калькулятором.
В современных цифровых компьютерах биту соответствует внутреннее напряжение, обычно высокое (зачастую около пяти вольт), означающее 1, и низкое напряжение (около нуля), означающее 0. В некоторых компьютерах биты вовсе не находят отражения в колебаниях электричества. Можно, например, спроектировать компьютер, используя свет или текучие жидкости. В детстве у меня была обучающая игрушка: функционирующий, поддающийся программированию цифровой компьютер, практически целиком, за исключением некоторого количества маленьких заклепок и пружинок, состоявший из пластика. Вычисления проводились вручную, посредством передвигавшихся туда-сюда ручек, запускавших рабочий цикл механизма.
Суть в том, что привычные нам электронные компьютеры – лишь одна из возможных репрезентаций классической цифровой архитектуры. Любой субстрат, допускающий накопление явно отличающихся друг от друга состояний, соответствующих 1 и 0 (битов), и манипуляцию ими, может быть цифровым компьютером. Построены они из интегральных микросхем или песка – в основе всегда лежит одна и та же идея.
Квантовый компьютер – нечто иное. Вместо бита они отображают состояние посредством так называемого кубита. Подобно классическому биту, кубит бинарен: у него два возможных состояния – но это квантовые состояния. В физике квантовым состоянием называют, например, направление спина электрона или поляризацию протона. Одна из причин, почему квантовое поведение так сильно отличается от привычной нам реальности, то, что квантовые состояния взаимодействуют и ведут себя не так, как классические состояния. Кубиты ведут себя не так, как биты.
Вероятно, вы слышали о коте Шрёдингера. Несчастное воображаемое создание, которое держат в коробке в полной изоляции от окружающего мира, с некоторой вероятностью подверглось смертельному отравлению, осуществленному посредством также полностью изолированного от окружающего мира механизма. Классическое мышление естественным образом подведет нас к тому, что кот с определенной вероятностью либо жив, либо мертв. Но это неверно. Кот существует в суперпозиции двух состояний, он не жив и не мертв до тех пор, пока мы не откроем коробку и его состояние не станет доступно наблюдению. Этот акт измерения приводит к тому, что комплексное состояние коллапсирует или декогерирует, становясь той или иной осуществившейся возможностью. В этом суть стандартного описания квантовой реальности, Копенгагенской интерпретации. Дело не в том, что кот был либо жив, либо мертв, и мы просто не знали об этом, пока не посмотрели. Скорее кот одновременно находился в обоих состояниях и ни в одном из них, и его состояние жизни или смерти не существовало до взаимодействия с окружающей средой, которое мы называем квантовым измерением.
Такое положение дел – причина многолетнего несварения желудка как у физиков, так и у тех, кто попытался найти общий язык с квантовой Вселенной; в результате постоянно предпринимаются попытки найти альтернативу Копенгагенской интерпретации[494]. Пока что ни одной теории не удалось заменить ее, дав рабочий набор понятий, которые ученые могли бы использовать при планировании и интерпретации экспериментов. В восьмой главе я описал, как теорема Нётер может помочь контролировать шум в квантовых компьютерах. Теперь мы можем конкретизировать: шум приводит к тому, что внутренняя суперпозиция состояний компьютера декогерирует.
Классический способ использования компьютера для симуляции, скажем, течения воды – решить уравнения динамики жидкости, используя расчетную решетку. Решетка делит пространство (одно-, двух- или трехмерное) на ячейки. Представьте, что вы рисуете на листе миллиметровой бумаги, закрашивая клеточки вместо того, чтобы свободно рисовать линии, набрасывая ваши кривые на белой бумаге. Общепринятый метод применения компьютера для решения физических уравнений – использовать виртуальный лист миллиметровки.
Таким образом, используя решетки, мы можем заменить математику бесконечно малых изменений на бесконечно малых дистанциях небольшими, но конечными изменениями в ряде обособленных областей. Это позволяет аппроксимировать математический анализ посредством арифметики (если вынести за скобки «компьютерную алгебру», компьютеры не способны к математическому анализу, но хороши в арифметике). Решетки – не единственный способ подойти к решению подобных уравнений на компьютере, но они остаются одним из основных методов.
Однако введение сеток приводит к новым сложностям. Например, при этом непрерывная симметрия реальности – симметрия пространственного сдвига и совершенная изотропность пространства – заменяется сконструированной, искуственной Вселенной с редуцированными симметриями.
Скажем, можно как угодно повернуть чистый лист бумаги и (игнорируя края) начать рисовать; вращение не приводит к изменениям. Но с миллиметровой бумагой дело обстоит по-другому: крошечные клеточки будут сориентированы иначе. В случае решетки разница есть.
На илл. 7 представлены две разные расчетные решетки. Перед нами крошечные фрагменты того, что при обычных обстоятельствах было бы в тысячи раз большей решеткой. В ходе симуляции мы определяем переменные наших физических полей в центре каждой ячейки (или, быть может, по ее краям, или возможна комбинация обоих вариантов, но в любом из этих случаев проблемы симметрии остаются неизменными).
Решетка, расположенная справа и состоящая из квадратных ячеек, в сравнении с реальным миром обладает редуцированной симметрией. Определяемое этой решеткой пространство не изотропно: у него есть лишь симметрия вращения под углом в 90 °. Справа изображена гексагональная решетка. При симуляциях такие решетки используются реже квадратных, но иногда встречаются. Симметрия гексагональной решетки выше, чем у квадратной: это означает, что ее симметрия вращения под углом в 60 ° будет чуть более плавной, чуть ближе к кругу. Иными словами, если вы станете поворачивать эту решетку, за полный оборот она шесть раз вернется к первоначальной конфигурации, тогда как квадратная решетка совпадет с собой лишь четырежды.
Поскольку, как мы узнали, согласно теореме Нётер изотропия эквивалентна моменту импульса, то можно ожидать, что у симуляций, в которых используются подобные решетки, будут какие-то проблемы с сохранением момента импульса, тогда как системы, которые они должны отображать, должны подчиняться этому закону сохранения. На деле артефакты решеток – постоянная проблема основанных на решетках численных моделей. Есть способы их сократить и учесть подобные проблемы, но полностью избавиться от них обычно не удается. Теорема Нётер – полезный инструмент при анализе и предсказании последствий нарушения численных симметрий для соблюдения законов сохранения.
Игра «Жизнь» Джона Конвея – это компьютерная программа, разработанная для того, чтобы продемонстрировать, насколько сложным может быть поведение, определяемое простым набором правил[495]. Она представляет собой захватывающую демонстрацию того, что наблюдателю может показаться ареной, на которой взаимодействуют организмы, населяющие смоделированную на компьютере решетку. Сначала программа была развлечением, но позднее ее начали использовать как экспериментальный вычислительный инструмент, и она стала основой новых методов симуляции.
В игре Конвея «Жизнь» арена представляет собой квадратную решетку, подобную той, что изображена слева на илл. 7. Каждая ячейка решетки может быть живой или мертвой, причем живая ячейка обычно закрашивается черным, а мертвая остается белой. Игра начинается с того, что некоторые из клеток оживают и живут дальше самостоятельно, эволюционируя в соответствии с несколькими простыми правилами. Правила определяют, при каких условиях состояние клетки изменится: клетки могут умирать, оживать или оставаться неизменными. Произойдет ли переход, определяется лишь числом живых и мертвых соседей каждой клетки. Например, одно из правил гласит, что, если у мертвой клетки есть ровно три живых соседки, она оживет.
Эти простые правила приводят к удивительно сложному и многообразному поведению. Сначала у программы не было какой-либо практической цели, кроме дающей пищу для размышлений демонстрации возникновения сложных объектов и неожиданных результатов. Но она оказалась превосходной иллюстрацией ровно тех явлений, которые до сих пор активно изучаются программистами, математиками и физиками.
На илл. 8 показаны восемь экранов симуляции в игре «Жизнь», которые я спрограммировал на своем ноутбуке.
Простое определение системы упрощает также и ее программирование; для создания моей версии потребовалось меньше 50 строк кода на языке Julia, позволивших и проводить вычисления, и рисовать (и есть знаменитая версия, программируемая единственной строкой на языке APL)[496].[497]
Многообещающее разнообразие паттернов поведения, которые могут возникнут на основе этого простого набора правил, завораживало некоторых исследователей, заставляя их поверить, что они открыли новый вид науки. Оно также вдохновляло более прагматичные исследования касательно возможности использования такого типа систем: с бинарными состояниями («живая» или «мертвая») ячеек решетки и подчиняющихся короткому перечню правил, – как основы для эффективной техники симуляции непрерывных процессов, особенно в жидкостях. Вычислительный метод основан на аналогии с природой: мы убеждены, что поведение на макроуровне (например, то, как течет вода) возникает в результате совместного действия большого числа частиц, которые взаимодействуют друг с другом в соответствии с некоторым набором правил. Хотя для описания этих правил может потребоваться какая-то замысловатая математика, и их может быть сложно выявить, они, в некотором смысле, просты, и их число, вероятно, конечно. Так почему бы не воспользоваться компьютером для расчета взаимодействий большого числа «компьютерных частиц», чтобы увидеть, похоже ли их усредненное поведение на движение воды?
Некоторые ранние попытки воплощения этой идеи были многообещающими. Класс вычислительных систем, в общем и целом напоминавших игру Конвея «Жизнь» и использовавшихся для физических (или иных) симуляций, известен как клеточные автоматы или решеточные газы. Однако теперь нам известно, что многие из этих типов простых вычислительных систем могут создавать образы, которые визуально напоминают естественное течение жидкости, но отражают его неверно. Однако скорость вычислений может сделать их полезными в компьютерной анимации – для геймдизайна или кино, где внешний эффект важнее научной точности.
Причина недостаточной аккуратности состоит в том, что квадратной решетке не хватает свойств симметричности реального пространства. Поскольку квадратная решетка не изотропична, теорема Нётер напоминает нам, что в симуляции момент импульса не сохранится. Такое несоблюдение закона сохранения приводит к тому, что, когда мы получаем усредненную картину, чтобы сделать выводы о масштабных процессах, не будут выполняться уравнения Навье – Стокса – то есть уравнения, которые описывают и определяют поведение жидкости.
Прорыв был совершен в 1986 году тремя учеными, двое из которых работали во Франции, а один – в США[498]. Они создали верную аппроксимацию уравнений Навье – Стокса на гексагональной решетке, похожей на ту, что расположена в правой части илл. 7. Хотя гексагональная решетка, быть может, на шаг ближе к истинной изотропии, чем квадратная, очевидно, что ей все еще не хватает симметрии физического пространства. Удивительный результат, полученный в 1986 году, заключался в том, что можно строго доказать, что гексагональная решетка в сочетании с некоторыми процедурами усреднения обладает свойствами симметричности, позволяющими правильно решать физические уравнения. То же доказательство показывало, почему может не работать квадратная симметрия.
Эти авторы использовали группу с гексагональной симметрией и соотнесли ее с условиями уравнений, связанных с законами сохранения, используя математические идеи, почерпнутые из работы Нётер. Это один из примеров расширения теоремы Нётер и использования ее не только в исходном контексте непрерывных симметрий, но и в системах с дискретными симметриями.
Представьте, что у вас есть простой механизм, похожий на изображенный на илл. 9, сделанный из двух жестких брусков, соединенных шарниром (черный круг в центре). Он может быть двухмерным, и в этом случае шарнир представляет собой своего рода петлю, или можно перейти в трехмерное пространство – и шарнир станет шаровым.
В любом случае конфигурацию или состояние механизма можно исчерпывающе описать посредством множества чисел (двух или трех) для каждого из черных кругов, определяющих координаты соответствующего круга. В случае трехмерного пространства чисел будет девять. Нужно ли нам столько? Не совсем. Давайте сначала рассмотрим двухмерное пространство. Если мы сначала «зафиксируем» нижний круг в пространстве посредством двух его пространственных координат (обычно x и y), то положение среднего круга можно в точности определить одним числом: углом, под которым расположен нижний брусок. А затем нам потребуется еще один угол, чтобы определить место верхнего круга. В трехмерном пространстве для каждого бруска потребуется определить два угла. Число координат было снижено благодаря наложенным на систему ограничениям: шарики ограничивает то, как они могут двигаться.
Ограничения следующим образом упрощают механическую систему: они сокращают количество координат, которые нам нужны для описания ее конфигурации. Но они также усложняют анализ системы с точки зрения механики, поскольку зачастую довольно сложно вычислить силы, с которыми ограничения воздействуют на подвижные части системы, чтобы те оставались… ограниченными. Поскольку эти силы сложно вычислить, сложно разобраться и в динамике системы.
Вот уже примерно 30 лет и по сей день со все возрастающей интенсивностью ведутся исследования того, как можно управлять роботами, опираясь на теорему Нётер. Роботы и сходные механизмы моделируются как динамические системы, на которые налагаются ограничения. На илл. 9 представлена простая система, но тем не менее ее детальный анализ непрост. Представьте, что вам надо контролировать положение верхнего круга, манипулируя лишь нижним – возможно, чтобы привести всю систему в равновесие с учетом силы тяготения. Это был бы непростой фокус.
Теорема Нётер упрощает анализ этих систем за счет использования дополнительных симметрий, созданных ограничениями и допущенных силами, осуществляющими контроль[499]. Из этих симметрий теорема позволяла вывести законы сохранения специально для изучаемого механизма; если нам известны эти законы сохранения, то мы можем вычислить оптимальную стратегию контроля. Этот подход потенциально позволяет контролировать робота, делая меньше вычислений, и может существенно упростить анализ, сделав возможными конструкции, которые показались бы неуправляемыми, если бы потребовалось подробно вычислять действующие в них силы. Этот общий подход применялся к целому ряду родственных проблем, в том числе к проблемам передвижения роботов и ориентации спутников.
Чтобы обеспечить Нётер место в истории науки, соразмерное с ее достижениям или, по меньшей мере, чтобы снять плащ-невидимку с ее репутации, нам нужно изменить то, как преподают физику на начальном и среднем уровне образования. К сожалению, складывается впечатление, что со времен моего студенчества мало что изменилось. Современные студенты-физики могут легко дожить до получения степени бакалавра, ничего не зная о теореме Нётер или ни разу не услышав о той, кто ее открыла.
Конечно, при углубленном изучении классической механики было вполне обычным делом столкнуться с разбором или упоминанием частных случаев теоремы Нётер, пусть даже имя ее при этом не всегда называлось. Например, в разделе V.I сложной, но влиятельной книги Арнольда «Математические методы классической механики» (Mathematical Methods of Classical Mechanics) есть параграф о теореме Нётер.
Однако когда я говорю, что нужно изменить подход к обучению, то имею в виду кое-что более существенное, чем «приправить традиционное преподавание вводного курса физики историческими анекдотами». Принципы симметрии и динамические выводы из них, делаемые на основании теоремы Нётер, можно вводить на более ранних этапах образовательной программы. Это не только обеспечит более универсальный взгляд на предмет, но и лучше подготовит студента к углубленному изучению гравитации и физики элементарных частиц.
Вышел ряд статей, в которых различные аспекты теоремы Нётер разъясняются на уровне, доступном пониманию усердного студента, – их авторы пытаются исправить то упущение, что стандартными учебниками эта тема в известной степени игнорируется. В некоторых из этих статей предлагаются инновационные подходы, в том числе использование интерактивного программного обеспечения, позволяющего сделать связь между симметриями и законами сохранения более очевидной для студента[500].