В 1898 году профессура Университета Эрлангена – города, где родилась и получила образование Эмми Нётер, официально заявила, что допуск женщин в университет стал бы «мерой, способной ниспровергнуть всякий академический порядок»[400].
С тех пор права немецких женщин на участие в академической жизни постоянно расширялись. Всего лишь через десять лет Нётер получила в Эрлангене докторскую степень. По окончании Второй мировой войны Эрланген, как и другие высшие учебные заведения Германии, демонстрировал интерес к тому, чтобы наверстать потерянное время. Они удвоили усилия, стремясь обеспечить равные права для женщин и признать их достижения, как прошлые, так и текущие.
Сегодня Нётер в Эрлангене прославляют как одну из величайших за долгую историю города жительниц. Эта традиция зародилась в 1958 году, когда Университет Эрлангена отмечал 50-ю годовщину со дня присуждения Нётер степени, собрав под своей крышей многих из ее бывших учеников – и их учеников, – чтобы поговорить о ее наследии и влиянии, оказанном ее работой[401].
Сама Нётер, разобравшись с математическими проблемами, вставшими перед ней в процессе изучения общей теории относительности в статье 1918 года, где была доказана соответствующая теорема, и добившись (в значительной мере благодаря этой теореме) хабилитации, потеряла к этому предмету интерес. Помимо одной краткой, малоизвестной заметки, она никогда не ссылалась на эту статью в каких-либо последующих публикациях и не предлагала связанные с ней темы для изучения кому-либо из своих докторантов[402].
Эта любопытная пристрастность Нётер привлекает внимание даже в ее биографии, полной прихотливых парадоксов. Это пример того, как в богатой научной биографии, полной фундаментальных открытий, окружающие могут приписать наибольшую ценность той работе, что совсем недолго занимала своего создателя. Нётер после доказательства теоремы вернулась к своей всепоглощающей страсти к чистой математике, прежде всего алгебре. Для нее теорема была формальной кульминацией ее усилий в качестве командного игрока; она доказала ее, помогая своим друзьям и коллегам – Эйнштейну, Гильберту и Клейну – выйти из состояния замешательства. Ее мотивировали интересы товарищества, а не внутренний жар. Теорема Нётер и хабилитация, право на которую та подтвердила, ознаменовала момент ее превращения из ассистента в школе Гильберта в самостоятельного лидера: она быстро стала центральной фигурой собственной гёттингенской школы математических исследований и стала в международном сообществе математиков той, кто прокладывает новые пути.
Для любого заурядного математика или ученого в другой области столь значимый результат, подобный теореме Нётер, был бы завидным достижением, билетом в вечность. Однако здесь мы сталкиваемся с интеллектом, для которого это достижение было побочным продуктом, делом всего лишь минутного интереса, выполненным ради других – других, которые и сами принадлежали к числу титанов интеллектуальной истории. Временами сложно трезво смотреть на вещи – или даже понять, что должен видеть такой трезвый взгляд.
Тем не менее теорема в значительной степени характеризует наследие Нётер в области физики и других эмпирических наук. Она продолжает вдохновлять на новые исследования и обретать новую жизнь в широком разнообразии применений, которые, несомненно, изумили бы ее открывательницу. Как мы узнаем из этой главы, Нётер и ее работа имели также и более широкое культурное влияние и наследие.
Эта книга по большей части представляет собой историю идеи, называемой теоремой Нётер, и траектории ее судьбы с момента создания (примерно 1918 года) и до наших дней. Основная тема этой главы – то, как эта идея продолжает вдохновлять исследователей и находить новые применения. Но, как я только что указал, для той, кто ее открыла, теорема была предметом, немногим более мимолетного интереса, хотя она и остается основной причиной ее продолжительного влияния на эмпирические науки. Поскольку Нётер была титаном мира чистой математики, надеюсь, мне простится небольшое отступление ради краткого рассказа о том, что она оставила в наследство этому миру.
Знаменитый современный математик Иэн Стюарт, который также сделал фундаментальный вклад в теоретическую физику, на вопрос, о какой забытой фигуре из истории математики следовало бы знать каждому, ответил: «Эмми Нётер была величайшей женщиной-математиком своей эпохи. Она начала революцию в математике, сосредоточившись на абстрактной структуре, а не на деталях вычислений. Это привело к большей универсальности, к расширению возможностей. Без нее современная математика – чистая и прикладная, – не могла бы существовать»[403].
Здесь Стюарт акцентирует то, на что я постоянно намекал на страницах этой книги. Нётер сама подчеркивала этот аспект в некоторых из редких замечаний о значении ее работы. Свое самое долговечное наследие она видела не в наборе открытий, а в распространении в математическом сообществе методов работы. Это акцентирование подхода было связано с упором на абстракцию и отходом от детальных вычислений. Новый исследовательский стиль возник, когда она отвернулась от методов ее наставника, Пауля Гордана, которые использовала в собственной диссертации, и с энтузиазмом начала осваивать подходы, которые были ближе к манере Давида Гильберта.
В качестве напоминания: пример различия между вычислением и абстракцией может дать подход к доказательству, что у определенного класса уравнений есть решения. Школа Гордана настаивала бы на том, чтобы доказать это методом вычисления и указания на конкретное решение. Гильберт мог бы предпочесть изящное доказательство того, что решение должно существовать, и не стал бы при этом искать каких-либо конкретных решений. В этом была суть конфликта между Горданом и Гильбертом, кульминацией которого стала жалоба первого на то, что работа второго больше похожа на теологию, чем на математику. В своей диссертации Нётер пробиралась через огромное количество дотошных вычислений этого рода – работа, к которой она позднее станет испытывать отвращение.
В «Истории абстрактной алгебры» (History of Abstract Algebra) математик Исраэль Клейнер говорит о глубоком влиянии, оказанном Нётер на выбор направления развития математики:
Введенные ею понятия, полученные ею результаты, продвигаемый ею образ мысли стали частью математической культуры. <…> Эмми Нётер была знаковой фигурой для эволюции абстрактной алгебры. По сути, она была вдохновительницей абстрактного, аксиоматического подхода к алгебре[404].
Нётер была не единственной, кого недолго интересовали собственные открытия. Хотя теорема снискала ей славу среди знакомых физиков, она вызывает мало интереса у чистых математиков. Сама же Нётер является выдающимся членом математического сообщества в силу магистральной линии ее работы в области абстрактной алгебры.
Это изящно формулирует Шэрон Макгрейн в книге «Женщины – лауреатки Нобелевской премии за научные достижения» (Nobel Prize Women in Science): теорема Нётер является «одновременно и самым знаменитым, и самым малоизвестным ее достижением»[405]. Среди физиков она известна лишь благодаря теореме (хотя об открытии знают лучше, чем о его авторе). Однако среди математиков о теореме известно сравнительно мало.
Алгебраическое наследие Нётер состоит из более чем впечатляющего набора конкретных результатов и теорем, некоторые из которых названы в ее честь. Ее влияние также заметно в изменении статуса алгебры: из того, что исторически считалось инструментом вычисления, та превратилась в один из краеугольных камней математики[406]. Нётер – одна из, быть может, трех математиков, благодаря которым состоялось это превращение; соперницей алгебры за место основополагающей дисциплины сегодня является лишь логика. Нётер также в значительной мере ответственна за абстрактный характер современной алгебры и за методы, применяемые при работе в данной области.
Но наследие Нётер в области собственно математики не ограничивается одной только алгеброй. Ее влияние на математическую культуру и то, как она в качестве преподавательницы и наставницы вдохновляла проведение определенного рода исследований, повлияло на области математики, далекие от тех, в которых обычно специализировалась сама.
Как сказал математик Петер Рокетт: «В конечном счете ее методы проникли во все области математики, в том числе теорию чисел и топологию»[407], – а классический труд Павла Александрова и Хайнца Хопфа «Топология» (Topologie) отдает Нётер должное за «алгебраизацию» топологии[408].
Александров также дает оценку прижизненного положения Нётер среди математиков:
Эмми Нётер дождалась полного признания своих идей <…> в 1932 году, на международном математическом конгрессе в Цюрихе, она была увенчана лаврами самого блестящего успеха. Прочитанный ею на этом съезде большой обзорный доклад был настоящим триумфом представляемого ею направления, и она могла не только с внутренним удовлетворением, но и с сознанием безусловного и полного признания оглянуться на пройденный ею математический путь[409].
Примечательно, сколько ученых и историков математики отметили тот же аспект влияния Нётер на математическую культуру. Согласно Уте Ц. Мерцбах, первому куратору математических инструментов в Смитсоновском институте: «Значительное изменение языка и методов математики [под воздействием публикаций Нётер и ее соавторов] очевидно при сопоставлении практически любой математической статьи начала XX века с любым современным текстом»[410].
Это весьма примечательное заявление со стороны выдающегося историка математики: Мерцбах находит следы влияния Нётер практически в каждой современной статье на данную тему.
Эмми Нётер была математиком для математиков, верившей в то, что математикой следует наслаждаться ради нее самой, не задумываясь о каком-либо ее применении. По мнению ее племянника: «Знай она, сколь полезна сегодня ее математика, наверное, перевернулась бы в гробу»[411].
Как мы видели, физический мир медленно осознавал ценность теоремы Нётер. По словам французского математика Иветт Косман-Шварцбах, теоремы, «значение которых десятилетиями оставалось неочевидным, в конце концов приобрели заметное влияние на развитие современной теоретической физики, и их история связана с многочисленными проблемами физики, механики и математики»[412]. Она говорит о «теоремах» – напомню: то, что мы вслед за большинством называем теоремой Нётер, на самом деле является двумя взаимосвязанными теоремами и обратными им утверждениями.
Согласно мнению некоторых физиков и тех, кто наблюдает за состоянием этой дисциплины, в том числе Рут Грегори, возглавляющей Отделение физики в Королевском колледже Лондона, проживи Нётер больше, она получила бы Нобелевскую премию по физике[413]. То же впечатление производит посвященная Нётер глава книги Шэрон Макгрейн «Женщины – лауреатки Нобелевской премии», где рассказывается не только о тех женщинах, которые премию получили, но и о тех, которые могли или должны были бы ее получить.
Однако мне кажется, что эти соображения одновременно и отвлекают от миссии – помочь Нётер занять подобающее ей место в истории науки, – и нереалистичны. Премия не вручается посмертно, а чтобы получить ее, Нётер пришлось бы прожить достаточно долго для того, чтобы значение сделанного ею вклада было признано всем физическим сообществом. Важность ее работы могла бы оставаться неочевидной до 1960-х годов, когда успех стандартной модели стал общепризнанным, и все поняли, что она зависит от теоремы. Лауреаты часто получают свою премию десятилетия спустя после завершения получившей награду работы. Например, Эйнштейн получил Нобелевскую премию в 1922 году – в основном за одну из статей 1905-го.
Есть еще одна, быть может, более фундаментальная причина, почему теорема не была бы отмечена Нобелевской премией по физике, несмотря на ее исключительную важность для этой науки. Премия по физике маловероятна, поскольку теорему Нётер сложно назвать частью физики. Это не физическая теория, как теория относительности или квантовая механика. Если воспользоваться формулировкой, к которой я уже прибегал, она скорее представляет собой инструмент построения теории. Теорема Нётер – это математическое открытие, которое лежит в основании всей физики, определяя ее структуру и трактовку. Она подсказывает физикам, какие теории возможны и куда обращаться в поисках новой физики. Она столь незаменима, что без нее не устояло бы все здание физики. Но сама она физической теорией не является. Теорема Нётер не входит в число явлений, с которыми привык иметь дело Нобелевский комитет.
Лучше оставить одержимость Нобелевскими премиями журналистам, которые воспринимают эти награды серьезнее, чем ученые, которые иногда считают присуждение премии источником раздражения, хотя и рады деньгам[414]. Мало оснований сомневаться в том, что несколько женщин-физиков и астрономов несправедливо остались без Нобелевской премии по физике, но причислять к ним Нётер не следует.
Разумеется, значение теоремы Нётер – главная тема этой книги. Кажется, что ее историческое значение больше не вызывает сомнений, а заслуги ее создательницы окончательно признаны. Несомненно, многие физики до сих пор имеют, в лучшем случае, смутное представление о содержании этой теоремы – и даже еще более смутное о стоящей за ней истории. Но как свидетельствуют многие, в том числе лауреаты Нобелевской премии и авторы научно-популярных книг, делающие самые передовые идеи достоянием широкой публики, значение теоремы как краеугольного камня физики с энтузиазмом признается, и это повышает статус Нётер как исторической фигуры.
По мнению астрофизика Брайана Коберлейна, «Эмми Нётер, вероятно, следует отнести к той же группе, что Исаака Ньютона и Альберта Эйнштейна, как одного из величайших физиков в истории <…> [она] в одиночку совершила революцию в нашем понимании физических теорий»[415]. Кроме того, Коберлейн уверен, что Нётер была «самым блестящим математическим физиком всех времен», и что «влияние ее теоремы сложно переоценить. <…> Все, что мы изучаем в рамках физики, обусловлено теоремой Нётер – от темной материи до бозона Хиггса. Она преобразила наши представления о космосе и демонстрирует подлинную мощь математики, когда дело касается понимания Вселенной»[416].
Мы все чаще обнаруживаем прямые ссылки на теорему Нётер в исследовательских статьях и учебниках – зачастую сопровождаемые комментариями о ее громадном значении. Такое положение вещей составляет приятный контраст с тем, как обстояло дело приблизительно в середине прошлого века, когда, как вкратце описывается в седьмой главе, пребывавшая в процессе становления область физики находилась в критической зависимости от теоремы, но о той редко упоминали в относящихся к этой проблематике статьях.
Физики Леон Ледерман и Кристофер Хилл, которых я цитировал во введении, могут кое-что добавить к сказанному о влиянии работы Нётер на физику:
Теорема Нётер – глубокая идея, которая, возможно, пустила в нашу душу корни не менее глубокие, чем теорема Пифагора. Теорема Нётер напрямую связывает симметрию с физикой – и наоборот. Она задает рамки для наших современных представлений о природе и определяет современную научную методологию.[417] Она непосредственно нам сообщает, как симметрии направляют физические процессы и формируют наш мир. Для ученых она – путеводный свет на пути к разгадке тайн природы, за которым они идут, погружаясь в сокровенные глубины вещества, исследуя мельчайшие отрезки пространства и кратчайшие промежутки времени[418].
Симметрия интересовала ученых, философов и художников от начала века. Многие популяризаторы науки писали о том, как общая идея симметрии каким-то образом оказывается ключом к пониманию, открытию или оценке. Но из приведенных выше слов ясно, как теорема Нётер отчетливее определяет значение симметрии и придает ей практическую ценность. Она объясняет, «как симметрии направляют физические процессы». После теоремы Нётер симметрия уже не просто описывает то, какой предстает некая вещь. Она активно участвует в динамике системы, определяя, какое ее поведение возможно.
Теорема Нётер прочно вросла в самое сердце физики высоких энергий, классической механики и теории тяготения – помимо прочих областей физики. Но физики продолжают открывать новые и подчас неожиданные способы применения теоремы в областях, где она обычно не выходила на авансцену. Недавно физики, изучающие роль флуктуаций в жидкостях и сходных системах, обнаружили, что, как и в физике элементарных частиц, теорема Нётер позволяет строить теории, относящиеся к статистической механике[419]. Это открытие важно для физики, поскольку значительная ее часть не могла бы существовать без статистической механики. Именно благодаря этой дисциплине мы делаем выводы о свойствах значительных объемов материи из поведения составляющих ее атомов и молекул. Помимо теорий относительности, большинство значимых физических открытий Эйнштейна опирается в основном на статистические аргументы; именно к этой области физики он то и дело обращался за объяснениями поведения материи, радиации и квантовых явлений.[420]
Как упоминалось в предыдущей главе, незавершенным проектом современной фундаментальной физики, ее несбывшейся мечтой является объединение двух великих моделей реальности – общей теории относительности и стандартной модели, – в рамках одной единой теории, объясняющей все. Эта задача сложная как концептуально, так и математически, поскольку стандартная модель основана на квантовой механике, тогда как в геометрии гравитации никаких квантов не существует. Две картины реальности должны каким-то образом быть примирены в рамках будущей теории «квантовой гравитации»: некоего способа объединить взаимодействия квантовых частиц с неевклидовой геометрией общей теории относительности.
Еще никому не удалось построить такую теорию, но по опыту недавнего прошлого ясно, что теорема Нётер останется важнейшим инструментом для воплощения этого замысла. Самая известная попытка создания теории квантовой гравитации – это теория струн и многообразные ее ответвления. Эта работа остается спорной, поскольку уязвима для критики: ей не удалось сделать конкретные предсказания, которые можно было бы верифицировать в ходе эксперимента. Однако стоит отметить, что в математических обоснованиях этих подходов широко используется теорема Нётер.
Мы знаем, что, несмотря на свою красоту и объяснительную силу, общая теория относительности не может быть исчерпывающим описанием тяготения. Наблюдая эволюцию космоса «в обратной перемотке» и приближаясь к моменту Большого взрыва, мы в конце концов попадем в пространство, где условия столь экстремальны, что их никогда не удастся воспроизвести в наших лабораториях. Физика ранней – очень ранней – Вселенной, первых крохотных долей первой секунды ее существования, навсегда останется недоступной для экспериментального исследования. Поскольку, несмотря на полеты воображения теоретиков, физика является, по сути, эмпирической наукой, более универсальная, единая теория, применимая от момента рождения Вселенной и до сего дня, всегда будет содержать некоторые произвольные элементы, не поддающиеся верификации. Есть то, что мы никогда не узнаем[421].
Но мы знаем, что на самых ранних этапах существования Вселенной общая теория относительности была несостоятельна. Единственным способом описания того в высшей степени плотного состояния вещества была бы теория, объединяющая тяготение с другими силами природы, описываемыми сейчас квантовой теорией поля. А такая теория до сих пор не дается даже самым блестящим нашим физикам.
Теорема Нётер – важное руководство к построению возможных альтернативных теорий тяготения, которые сделали бы общую теорию относительности еще более общей и могли бы быть распространены на квантовые явления[422]. Двигаясь на ощупь, вне досягаемости света эксперимента, теорема намечает контуры того, как должны выглядеть подобные теории. Она способна на это в силу своего статуса инструмента построения теорий, не связанного с какой-либо конкретной физической гипотезой.
Пока что физики, изучающие элементарные частицы, не слишком преуспели в попытках пойти дальше стандартной модели. Их неизменной мечтой остается объединение всех объясняемых стандартной моделью сил в рамках великой единой теории (которая была бы великой и единой, но тем не менее не включала бы в себя гравитацию). Программа объединения сил в рамках стандартной модели подразумевает поиск симметрий более высокого уровня. Благодаря теореме Нётер такие симметрии должны подразумевать существование новых законов сохранения, опосредованные новыми элементарными частицами. Некоторые из этих частиц, существование которых предсказано, невозможно получить в современных ускорителях (или даже тех, что будут построены в обозримом будущем), поскольку требующиеся для этого энергии попросту чересчур высоки. Получение других для нас доступно, и мы можем заняться поиском этих новых частиц. Это была программа, осуществлявшаяся в период взлета стандартной модели, что привело к целому ряду волнующих успехов. Но пока что попытки расширить модель остаются бесплодными.
Физик Сабина Хоссенфельдер в увлекательном и познавательном видеоролике объясняет, в чем состоит проблема современной физики элементарных частиц,[423]. Она указывает, что в своих попытках расширить стандартную модель физики с 1970-х годов предсказали существование ряда новых частиц и что, по сути, все их предсказания оказались неверны. Основная стратегия сводилась к описанной выше: искать более сложные симметрии более высокого уровня, которые включали бы в себя симметрии стандартной модели, но в некотором смысле дополняли бы ее, и, посредством рассуждений по образцу теоремы Нётер, вычислять обуславливавшиеся более сложными симметриями свойства частиц, которых пока что никто не наблюдал. Почему же их подвела объяснительная сила теоремы Нётер?
У Хоссенфельдер есть убедительный ответ, и, я думаю, она права. История физики дает примеры успешных теорий, которые возникали как более сложные и проработанные версии теорий существующих. Все успешные теории объединяет то, что усложнения были нужны для объяснения наблюдений или исправления противоречий в существующих теориях. Иногда теории делают и то, и другое, как случилось с общей теорией относительности Эйнштейна. Она объясняла прецессию орбиты Меркурия и исправляла противоречия Ньютоновой теории тяготения. Общая теория относительности объясняла давнюю загадку тождества гравитационной и инерционной масс и устраняла введенную Ньютоном проблематичную идею мгновенного действия на расстоянии. Математика, лежащая в основании теории Эйнштейна, бесконечно сложнее, чем та, что потребна для классической теории тяготения, но это усложнение оправданно. Тот математический язык подходил для решения поставленной задачи. Общая теория относительности была и остается грандиозным успехом, и ею сделан ряд предсказаний, которые вплоть до сегодняшнего дня продолжают подтверждаться.
История квантовой теории развивалась сходным образом: от раннего атомно-молекулярного учения к теории квантового поля и стандартной модели. На каждом этапе теории расширялись и становились сложнее с точки зрения математического аппарата, когда возникала потребность в объяснении наблюдений или разрешении противоречий. Каждая новая модель делала новые предсказания, и они часто подтверждались. Длинный список побед подкрепляет эту закономерность: предсказание Поля Дирака о существовании антиматерии, предсказание стандартной теорией существования новых элементарных частиц, вычисление постоянной тонкой структуры и другие достижения были следствием того, что теории позволяли разобраться в наблюдаемой физической реальности.
По большей части бесплодный путь, по которому физика элементарных частиц шла последние 50 лет, – следствие пренебрежения уроками истории. Не ограничиваемые требованиями наблюдения и эксперимента блестящие теоретики дали полную свободу своему воображению, породив множество прекрасных фантазий: например, суперсимметрию и теорию струн[424][425]. Эти домыслы либо привели к предсказаниям, которые не оправдывались или не могли быть проверены, либо вообще не давали материала для проверки.
Вместо этого создатели теорий руководствуются философским или эстетическим желанием объединить несколько сил стандартной модели, а иногда и гравитацию. Ученый, без сомнения, может руководствоваться эстетическими и метафизическими соображениями. То, как Эйнштейн восхищался красотой своей новой теории, помогло ему утвердиться в уверенности, что та должна быть верной. Но в отсутствие ограничений, накладываемых наблюдением, соображения эстетики ведут вовсе не к научному успеху. Без этих ограничений у нас будет множество подходов к универсализации, пытающихся решить проблему, которой не существует, и приводящих, как мы неоднократно наблюдали, к науке, которая не работает.
Когда мы ищем решение проблемы, которая в самом деле существует, теорема Нётер помогает нам увидеть, где искать. Как инструмент построения теорий она может возвести леса – то, на что можно опираться при строительстве башни. Но она не выносит суждений о физике, которая, как вам кажется, могла бы описать этот мир. Она находится на более фундаментальном уровне. Если воспользоваться грубой аналогией с современной вездесущей технологией, то теорема – ключевой элемент операционной системы, которая является «фундаментом» для любого числа прикладных программ. Поэтому она не может сказать нам, какой будет наследница стандартной модели, но может подсказать, где ее искать.
По мнению астрофизика Кати Мак, «для теоретической физики теорема Нётер – то же самое, что теория естественного отбора для биологии»[426]. И некоторые биологи начинают видеть в теореме нечто, полезное для их науки.
Меня восхищает формулировка Мак. Она идеально отражает то, что теорема Нётер лежит в основании всякой физики в качестве организационного принципа, способного сообщить нам, как может выглядеть рациональная теория – вне зависимости от деталей изучаемых нами феноменов.
Одним из приложений теоремы в области биологии является идея масштабной симметрии. Система обладает масштабной симметрией, если выглядит одинаково вне зависимости от масштаба. Если вы увеличиваете масштаб, она остается неизменной.
Представьте, что вы находитесь высоко над планетой и наблюдаете континенты с их изломанными береговыми линиями, разделенные морями, океанами, перешейками, каналами и так далее. Теперь вообразите, что снижаетесь, чтобы рассмотреть все это поближе. Сфокусировавшись на одном континенте, вы вскоре замечаете паттерн, который кажется знакомым: перед вами ряд земельных массивов с изломанными береговыми линиями, разделенных разнообразными водными преградами, перешейками и так далее. Вы могли бы думать об этих массивах скорее как об островах, а не континентах. Но – по крайней мере, в случае нашей планеты – паттерн кажется пугающе знакомым. Вы приближаетесь, но все выглядит точно так же.
Представьте теперь, что вы снижаетесь, чтобы рассмотреть вблизи один из этих островов, и вновь обнаруживаете тот же паттерн: остров состоит из более мелких островов – с водными преградами и разделяющими их перешейками.
Этот пример иллюстрирует один из видов масштабной симметрии. Удивительно, но некоторые системы в некоторых отношениях не меняются, когда вы их увеличиваете. Такого рода симметрия отличается от пространственно-временной и других симметрий, о которых обычно говорят физики, и не входит в число симметрий, рассмотренных Нётер. Однако, поскольку ее теорема касается симметрии на уровне абстракции и не ограничивается симметриями пространства и времени (например, приведенными немного выше примерами калибровочных симметрий), любая вновь открытая симметрия потенциально оказывается важной. Если ее можно вписать в математическую систему теоремы Нётер, то можно доказать, что она эквивалентна какому-то закону сохранения. Как в обсуждавшемся ранее случае стандартной модели, новые законы сохранения могут привести к новым предсказаниям касательно природы.
Оказывается, что масштабная симметрия – нечто большее, чем существующая в нашем воображении идея. Некоторые биологи убеждены, что ряд природных нейронных сетей, в том числе мозг, демонстрируют какую-то форму масштабной симметрии. Исследователи уже связали это свойство с другими – например, эффективной передачей сигнала в сети.
Возможность наличия масштабной симметрии в нейронной сети мозга уже вышла на уровень детального экспериментального изучения. Несколько лет назад группа нейробиологов и физиков из Лондона и Цюриха провели совместное экспериментальное и теоретическое исследование масштабной инвариантности в мозгу животных[427]. Исследуя эту проблему математически, они использовали теорему Нётер для выведения ряда сохраняющихся величин, имеющих отношение к симметрии масштабной инвариантности. Эти сохраняющиеся величины не входят в число знакомых нам (например, энергии и импульса), но ученые нашли для них особые формулы. Затем они обнаружили, что некоторые из измеряемых ими свойств мозговой деятельности животных подчинялись выведенным ими законам сохранения.
Это было первым исследованием законов сохранения для масштабной инвариантности с помощью теоремы Нётер. Эти находки могут открыть новые направления исследований в физике и задать курс для будущих исследований биологических нейросетей.
Разумеется, в 1917 году никто и помыслить не мог о компьютерах. Я не буду пытаться фантазировать, что подумала бы Нётер, увидев эти машины, доживи она до их появления. Возможно, она бы нашла способ задействовать их на начальном этапе своего математического пути, полного утомительных вычислений. Но после того, как она решительно перешла к более абстрактным формам математической мысли, у нее сформировалось столь пренебрежительное отношение к ее более ранней работе, что она сознательно говорила о своей докторской диссертации в не вполне печатных выражениях. Компьютеры ей, вероятно, перестали бы быть нужны.
Что же тогда следует из того, что ее теорема оказалась напрямую связанной с самыми передовыми современными исследованиями в нескольких областях применения компьютеров в научных исследованиях? Это напоминает нам об огромной силе математической абстракции. Глубокая мысль, обнаруживающая связи между идеями, о которых никто и не подозревал, обладает непреходящей ценностью. Теорема – вечная истина. Теорема Пифагора до сих пор используется по всему миру бесчисленное количество раз за день спустя тысячелетия после того, как ее впервые записали на песке в Древней Греции. Теорема Нётер никогда не впадет в забвение. Те, кто постигнет ее через тысячелетия после нас, найдут новые области, на которые она проливает свет – точно так же, как современные ученые, работающие спустя столетие после того, как она была доказана, применяют ее в областях, которые Нётер и ее друзья даже и представить себе не могли.
Совсем недавно теорема Нётер нашла применение в квантовых вычислениях[428]. Исследования в области квантовых компьютеров движимы теоретической возможностью, что определенные виды вычислений можно будет выполнять в тысячи раз быстрее, чем способен любой компьютер, построенный по привычным нам (классическим) принципам. Способом, позволяющим ускорить вычисления для компьютеров любого вида, является выполнение как можно больших объемов работы параллельно, поскольку степень ускорения работы отдельных процессоров замедляется из-за существования неизбежных физических ограничений. Именно поэтому у вашего ноутбука многоядерный процессор, и именно поэтому масштабные симуляции сложных систем (скажем, атмосферы) выполняются на суперкомпьютерах с тысячами процессоров.
В квантовом компьютере параллелизм достигается за счет применения физики квантового пространства, где множество потенциальных возможностей сосуществует до тех пор, пока одна из них не избирается в ходе измерения. Пока идет вычисление, важно, что компьютер и его внутренние квантовые состояния изолированы от окружающей среды. То есть (если вынести за скобки начальный этап, на котором операторы определяют задачу, и конечный, когда они зачитывают результат) во время проведения вычисления компьютер должен оставаться изолированным. Взаимодействия между двумя этими моментами могут потревожить или разрушить суперпозицию состояний, необходимую для поддержания параллелизма. В контексте квантовых вычислений эти нежелательные взаимодействия с окружающей средой называют шумом. Устранение шумов – одна из центральных проблем при проектировании квантовых компьютеров.
Физик Эван Фортунато и его соратники с 2002 года опубликовали серию работ (которую открывала диссертация самого Фортунато), касающихся общих вопросов коррекции ошибок в квантовых компьютерах. Методы Фортунато основаны на теореме Нётер[429]. Если не вдаваться в подробности, он обнаружил, что существенные компоненты взаимодействия шума и системы характеризуются определенными группами симметрии. Посредством теоремы Нётер он смог соотнести эти симметрии с подпространствами сохраняющихся квантовых состояний и использовать эти взаимосвязи как теоретическую базу для контроля вычислений.
Когда он рассказывал мне о своей работе, было ясно, что Фортунато считает теорему Нётер ключом к успеху своей исследовательской программы. Он предполагал, что другие, кто действовал без основанных на ней предположений, вынуждены были долго идти кружной дорогой, тогда как ему удалось срезать путь.
Теорему Нётер использовали также для прояснения проблем, возникающих при работе обычных, неквантовых компьютеров. Ученые и инженеры регулярно используют компьютерные симуляции для предсказания погоды и изменений климата, проектирования самолетов, изучения гравитационных взаимодействий галактик и решения великого множества других задач. Во многих алгоритмах, лежащих в основе этих симуляций, гомогенное, изотропическое пространство, в котором мы живем, представлено в виде какого-либо рода решетки – чего-то, напоминающего линии и клетки на миллиметровке.
В этой Вселенной вычислений объект (атом, самолет или планета) не могут плавно скользить в любом направлении, как они могут это делать в реальном (классическом) мире. Вместо этого они должны перепрыгивать из клетки в клетку заранее нарисованной решетки, как во время игры в шашки.
Эта «решетчатая» Вселенная не обладает симметрией реального пространства: она изменяется при вращении или сдвиге – ровно как кусочек миллиметровки после поворота будет выглядеть иначе: линии окажутся в наклонном положении. Поэтому (классические) законы сохранения, которые, согласно теореме Нётер, эквивалентны этим пространственным симметриям, в компьютерных симуляциях выполняться не могут. Поскольку у «решетчатого» мира нет, например, пространственной изотропии, в нем не может сохраняться момент импульса, что, согласно теореме Нётер, должно происходить в реальном (доэйнштейновом) мире.
Однако нам нужно, чтобы наши симуляции были точны. В них должны соблюдаться законы сохранения импульса и момента импульса, даже если там не вполне сохраняются симметрии, наблюдаемые в реальной жизни. Здесь теорема Нётер оказывается полезна для анализа эффекта, оказываемого решетками на принцип сохранения при вычислениях и демонстрации того, как в конкретных случаях обойти отсутствие симметрии.
Однажды я участвовал в студенческом семинаре, руководитель которого, профессор физики, с уверенностью походя упомянул, что вся экономика может быть сведена к одному-единственному физическому уравнению. Вне сомнения, это замечание, которое, как я надеюсь, не предполагало абсолютного согласия слушателей, было лишь примером гордыни, в которой часто обвиняют наших собратьев, делают это обычно ученые, работающие в других областях знания.
Тем не менее один из экономических методов активно использует математику и понятия современной физики[430]. Эта школа экономики стремится вычислить инварианты и законы сохранения в экономических системах и прямо ссылается на теорему Нётер, используя ее как основной инструмент этих вычислений[431]. Хотя несколько «законов сохранения» или инвариантностей (например, закон сохранения дохода/богатства) уже некоторое время признаются в экономике, использование теоремы Нётер показало, что часть из них являются особыми случаями более универсальных инвариантностей. Теорема позволила открыть то, что сторонники ее использования в экономике называют скрытыми законами сохранения. Применение теоремы Нётер в экономике и связанный с ней аппарат теории групп, вариационного исчисления и заимствованной у физики аналитической механики привели к расцвету новой, в высшей степени изощренной и теоретической ветви «мрачной науки». Литература об этом направлении экономики на первый взгляд больше напоминает трактовку теорий поля в физике, чем привычное нам изложение классической экономики.
Наделят ли эти новые подходы экономику давно желанной надежной предсказательной силой и позволят ли они ей занять место среди тех наук, которые обычно признаются «настоящими» – дело будущего. Но даже если окажется, что это лишь масштабное, не имеющее практической ценности упражнение, перенос языка современной (и углубленной классической) физики в область экономического моделирования – предприятие любопытное и завораживающее.
Разумеется, все может выйти из-под контроля. Например, статья из области общественных наук, которая, по всей видимости, представляет собой совершенно серьезную попытку объяснить какие-то тонкости тайваньской политики ссылками на симметричное поведение политической партии и ее неизменные цели посредством применения теоремы Нётер[432].
Очевидно, есть что-то завораживающее в том, с какой высокой степенью обобщения теорема соотносит симметрии с неизменными свойствами. Люди могут – и, без сомнения, будут – интерпретировать понятия симметрии и сохранения со все большим и большим полетом фантазии.
В точности как квантовая механика и теория относительности (обе ее версии) стали жертвами бессчетных популярных толкований, попыток протащить в них непростительную расплывчатость и философские экстраполяции, то же будет происходить с теоремой Нётер по мере того, как широкая публика станет ближе с ней знакомиться. Это не большая беда в сравнении с тем, что Нётер займет свое законное место в истории науки бок о бок с другими выдающимися ее деятелями.
Борьба Нётер за право участвовать в академической жизни и множество случаев, когда ей мешали или ее вытесняли мужчины, в сравнении с ней посредственные (в противоположность несомненно блестящим мужчинам, которые прилагали силы к тому, чтобы отстоять ее интересы), вызывает в памяти сцену из «Идеального мужа» Оскара Уайльда, которая является также излюбленным примером того, с какой легкостью Уайльд демонстрирует непринужденную иронию:
Леди Маркби. Эта ужасная палата общин невероятно портит наших мужей. Нет ничего губительнее для семейного счастья, чем парламентская деятельность. То есть не было, пока не придумали этот еще худший кошмар, который называется более высокое образование для женщин.
Леди Чилтерн. В нашем доме это ересь, леди Маркби. Роберт горячий сторонник более высокого образования для женщин. И я тоже.
Миссис Чивли. Более высокое образование у мужчин – вот на что я хотела бы поглядеть. Им его так недостает.
Леди Маркби. Вы совершенно правы, милочка. Но боюсь, что это безнадежно. По-моему, мужчина неспособен к развитию. Он уже достиг высшей точки – и это не бог знает как высоко, не правда ли? А что касается женщин – ну, вы, Гертруда, принадлежите к молодому поколению, и, наверно, все это правильно, раз вы это одобряете. В мое время было иначе. Нас учили ничего не понимать. В этом и заключалась прежняя система воспитания. И это было очень занятно. Мы с сестрой столько должны были не понимать – даже перечислить невозможно. Я всегда сбивалась. А современные женщины, говорят, все понимают.[433]
Как мы видели, Нётер стала центром математической жизни 1920-х и начала 1930-х годов в Гёттингене, который был математической столицей западного мира. По любым меркам, она была одной из десяти наиболее влиятельных математиков той эпохи. Однако даже в недалеком прошлом казалось, что историки непостижимым образом способны игнорировать не только ее значение и достижения, но и само ее присутствие – и это при описании социальной среды, где она, по сути, доминировала. Воздержусь от выдвижения поверхностных теорий о причинах этой вопиющей близорукости – происходит ли она из-за особенностей академической мысли, психологии или просто повторяющейся случайности, в особенности поскольку это слепое пятно свойственно не одним лишь историкам мужского пола. Но, когда читаешь во всех остальных отношениях хорошую и интересную книгу (сборник эссе как раз о Гёттингене и его значении для развития естественных наук, в который вошло несколько исследований о годах активной деятельности Нётер) и не обнаруживаешь на его страницах ни одного упоминания ее имени, думается, определенная доля раздражения вполне оправдана[434].
В этом самом сборнике есть интересная статья о борьбе Гильберта с профессурой Гёттингена по поводу приема на работу иностранцев, евреев и, в частности, женщин. В статье называются имена множества профессоров, подвергшихся его нападкам, – но ни разу не называется имя Эмми Нётер[435].
Помимо этих упущений, несколько математиков, изучавших историю теоремы Нётер, указали на то любопытное обстоятельство, что частные случаи этой теоремы периодически «открывались» современными математиками, убежденными, что они обнаружили нечто новое, и не подозревающими, что задача в самой общей форме уже была решена более века назад.
Наследие Эмми Нётер как математика, очевидно, сохранится навеки. Она бессмертна, поскольку ее имя связано с ключевыми для алгебры явлениями и открытиями, и поскольку она оказала неизгладимое влияние на несколько других областей математики. Кроме того, как указывали многие математики, даже без этих конкретных результатов ее наследие навечно вошло в арсенал методов проведения и обсуждения математических исследований.
Нётер как ролевая модель – то, как образцово и отважно она держалась посреди бесконечного потока жестоких обстоятельств, – также навсегда останется вдохновением для всех, кто изучает ее историю. Ее неисчерпаемое великодушие, невероятный оптимизм и бесконечная преданность научной истине и развитию математики превращает ее в уникальную для всей истории точных наук фигуру.
Вряд ли нужно еще раз упоминать о моральных проблемах, связанных с тем, как обращались с Нётер – сначала как с женщиной, затем – как с еврейкой в руках нацистов. Ее жизнь была совершенным примером того, какие потери может понести цивилизация, лишающая какую-то часть населения возможности процветать. Без трудов Нётер наша наука, вероятнее всего, не продвинулась бы так далеко. Не было бы инструмента, который Нётер вручила ученым будущего для испытания природы – от внутренних механизмов атома и до структуры космоса. Невероятно редко встречается фигура, в которой уникальный талант Нётер сочетается со способностью продвигаться вперед, несмотря на укоренившееся в культуре пренебрежение. Нет ли даже сегодня людей, обладающих способностью «надкусить» стоящие перед нами серьезные проблемы, чей вклад мы отрицаем, поскольку они по вполне понятным причинам решили отказаться от изматывающей борьбы, постоянного отстаивания своего права на то, чтобы их принимали всерьез?
У меня несколько старомодные представления об истории идей, поскольку я придаю, как кому-то может показаться, слишком большое значение новаторству индивидов. В последнее время чаще встречаешься с предположением, что если А до чего-то додумался, то это же рано или поздно сделал бы и В. Идея «витала в воздухе». Это верно в отношении некоторых – быть может, многих – важных поворотных моментов на извилистом пути культуры сквозь века. Но существуют и уникальные индивиды с уникальными способностями, и были идеи, которые бы просто никогда не появились без этих людей. Некоторые из таких идей изменили все – мы жили бы в совсем ином мире, если бы не эти мыслители.
Мы никак не можем сказать, что теорема Нётер витала в воздухе. Без Нётер мы, скорее всего, никогда бы не получили равноценный, столь же влиятельный и универсальный результат. Без этой теоремы – этого инструмента построения теорий – не существовало бы значительной части современной физики, или она была бы сравнительно менее упорядоченной. Трактовка наших физических представлений не была бы столь логически непротиворечивой; мы все еще двигались бы, опираясь на путаные и ситуативные объяснения даже столь фундаментальных идей, как энергия. Во многих областях идти вперед (особенно при попытках унификации) пришлось бы по еще более зыбкой почве.
Думаю, Гильберт не ошибался насчет Эйнштейна. Другие ученые, возможно, лучше него разбирались в математике, а в распоряжении таких его предшественников, как Пуанкаре, было множество отдельных элементов, и, как я, вероятно, не единожды указывал, Эйнштейн не сформулировал бы окончательно общую теорию относительности без значительной помощи коллег. Но без его уникального и глубокого понимания того, как устроен мир, не было бы физики, описывающей космос. Черные дыры, Большой взрыв, гравитационные волны, гравитационное линзирование, орбита Меркурия, даже работа спутников GPS – ничего этого мы бы не знали или не понимали бы.
В четвертой главе я рассказал историю Грейс Чизольм Янг, под руководством Феликса Клейна ставшей первой женщиной, получившей в Гёттингене докторскую степень. Ее сын, Лоренс Янг, тоже стал математиком. Вот что он сказал о том, как мир часто не замечает того, сколь важны для него математики: «Я скажу кое-что о значении математики, значении математиков для изменения хода истории. Надеюсь убедить вас, хотя в большинстве учебников истории об этом нечасто упоминают. Итак, важнейший вопрос в том, как нам увеличить число этих удивительных существ?»[436]
Так что по крайней мере один человек – на моей стороне.
А что же предмет этой книги, теорема Нётер? Очевидно, что любая опасность, что это влиятельнейшее открытие окажется потерянным для науки, осталась в далеком прошлом. Ее все активнее станут преподавать поколениям студентов-физиков на все более ранних этапах обучения. Некоторые преподаватели уже говорили мне, что знакомство с идеями Нётер в начале пути облегчает изучение физики как единой области мысли и ее соотнесение с другими науками. Мы можем – и, наверное, должны – делать акцент на аргументах от симметрии пораньше и в особенности подчеркивать то, как теорема Нётер демонстрирует отношение между симметриями и динамическим поведением.
В этой главе я дал чрезвычайно краткий очерк, чтобы читатель составил общее представление о том, как теорема Нётер запускает щупальца мысли и метода в несколько различных областей исследования. Ученые, осознающие ее влияние, способны получить озарения и увидеть взаимосвязи, которых остальные заметить не могут – не только в областях их специализации, но и, потенциально, поверх того, что, как настаивал бы Гильберт, является искусственными разломами, разделяющими разнообразные царства науки.
После многих десятилетий пренебрежения Эмми Нётер наконец начинает временами появляться в популярных изложениях и исторических книгах о физике бок о бок с Эйнштейном и другими титанами нашей науки. Мое глубочайшее желание при написании этой книги было подстегнуть этот процесс. Думаю, я убедил вас в том, что она заслуживает центрального места в истории науки, и помог отчасти оценить грандиозность ее математической мысли.
Прежде всего я надеюсь, что вы вместе со мной восприняли важнейший урок, который можно вынести из знакомства с Эмми Нётер и ее жизнью: не забывайте смеяться.