Если критерием, в соответствии с которым мы оцениваем физические теории, является то, насколько точно они предсказывают результаты измерений, то стандартная модель и общая теория относительности – две самые успешные физические теории.
Мне кажется, к этому моменту я могу быть уверен, что читатели имеют некоторое представление о проблемах, рассматриваемых в общей теории относительности. Стандартная модель складывалась позднее, начиная с 1950-х годов. Общая теория относительности – исчерпывающее решение проблемы тяготения, объясняющее все ее аспекты и загадки с редко наблюдаемыми в науке полнотой и эстетической завершенностью. Однако больше она ничего не объясняет. Общая теория относительности ничего не говорит об электрических взаимодействиях, внутриядерной энергии, и ей нечего сказать о том, почему мы наблюдаем те элементарные частицы, которые наблюдаем (электроны, кварки и т. д.), и почему они обладают массой и другими наблюдаемыми нами свойствами.
Все эти явления природы объясняются другой великой фундаментальной физической теорией XX века: стандартной моделью. У этой модели есть объяснения для каждой силы и элементарной частицы в природе, и она предсказала существование многих из этих частиц и их взаимодействий. Это – современная теория материи. Однако гравитация для стандартной модели – абсолютная загадка. Сила тяготения в ее рамки не вписывается.
Таково необычное состояние современной физики: две в высшей степени успешные теории, до того точные, что ничего подобного в науке прежде не существовало; каждая из них со спокойной уверенностью объясняет свой предмет, но хранит абсолютное молчание относительно области применения другой теории, и совершенно неясно, как их можно друг с другом согласовать.
Хотя две несоизмеримые теории имеют дело с разными категориями явлений, и хотя они разительным образом отличаются друг от друга по характеру и стилю, есть нечто, что позволяет перебросить мост через разделяющие их 40 лет: теорема Нётер. По сути, для существования стандартной модели эта теорема важнее, чем для общей теории относительности, хотя стандартная модель возникла много времени спустя после смерти Нётер. Теорема оказалась незаменимой для логического обоснования новой теории тяготения, созданной в 1915 году, и для дальнейших исследований в области космологии и гравитации. Но саму общую теорию относительности, математически верные уравнения гравитационного поля, стоившие Эйнштейну такого изнуряющего труда, удалось сформулировать, не прибегая к теореме Нётер (хотя, вероятно, и не без помощи ее создательницы).
Со стандартной моделью дело обстояло иначе. Эта теория материи в значительной степени является приложением теоремы Нётер. Без этой теоремы, ее разнообразных частных формулировок, которые физикам легче воспринять, стандартной модели не было бы. В этой главе пойдет речь о том, как сердце теоремы продолжало тихо биться со дня смерти Нётер и до 1950-х, и будет коротко описан процесс повторного восприятия ее идей физиками и то, как эти идеи легли в основу стандартной модели. Поскольку стандартная модель вместе с общей теорией относительности определяют современное фундаментальное понимание физического мира в целом, в этой главе мы увидим, как Нётер дала старт современной физике.
Обычно говорят, что стандартная модель и общая теория относительности – это беспрецедентно точные теории; стоит остановиться на нескольких деталях, чтобы подкрепить это суждение. Давайте немного ими повосхищаемся.
Наиболее впечатляющим достижением стандартной модели в этом направлении было предсказание так называемого магнитного момента электрона с точностью большей, чем три к десяти триллионам (1013)[360]. Ни один касающийся элементарных частиц факт никогда не предсказывался с такой потрясающей точностью.
Грубо говоря, магнитный момент объекта означает, насколько тот готов сориентироваться в том же направлении, что и внешнее магнитное поле – как игла компаса ориентируется на магнитное поле Земли и указывает на север. Электроны – очень простые объекты, что означает наличие у них лишь немногих поддающихся измерению свойств. Кажется, что у них даже нет размера! Но они обладают массой, электрическим зарядом и тем, что мы называем спином – поскольку у них есть момент импульса. Физикам известно, что, если объект обладает зарядом и вращается, он должен также обладать магнитным моментом, и что с электронами дело, определенно, так и обстоит. По сути, все окружающие нас привычные примеры постоянного магнетизма: от компасов до магнитиков на холодильнике, – возникают из-за крошечных магнитных полей миллиардов электронов, в совокупности создающих значительную силу, которую мы можем ощутить.
Измерение магнитного момента электрона со столь потрясающей точностью было важным по нескольким причинам. Такое измерение дает нам уверенность в том, что наша фундаментальная модель вещества и силы верна, и убеждает нас в достоверности наших представлений о природе электрона. Если бы, например, известная нам величина его магнитного момента была хотя бы немного неточной, это могло бы означать, что электрон является какой-то составной частицей, состоящей из разных элементов, а не простым объектом, которым мы его считаем[361].
Из общей теории относительности мы выводим тождество гравитационной и инерционной масс, обсуждавшееся во второй главе; не так давно в ходе эксперимента, проведенного на искусственном спутнике Земли, эта масса была измерена с точностью до 1015 (погрешность измерения примерно один к ста триллионам)[362]. Также мы недавно стали свидетелями первого непосредственного обнаружения гравитационных волн – внушающего благоговение свершения в области точных измерений.
Но, как и в случае общей теории относительности, истинное значение стандартной модели – не просто вычисление какой-то физической величины до впечатляющего количества знаков после запятой, сколь бы важно это ни было для подтверждения правоты теории. Важна способность модели объяснять Вселенную. Стандартная модель охватывает все наши знания о материи, энергии и силах – за исключением силы тяготения, – соединяя их в единую непротиворечивую картину. Многие физики, да и не только они, считают, что она оспаривает у общей теории относительности звание величайшего интеллектуального достижения человечества.
Стандартная модель состоит из комбинации теоремы Нётер с квантовой механикой. Ее фундамент был заложен Германом Вейлем.
Вейль уже не раз появлялся в этой книге в роли благожелательного наблюдателя. Он учился у Давида Гильберта, восхищался Нётер и поддерживал ее, был автором книги о неевклидовой геометрии, блистательным путешественником по вселенным как математики, так и физики, и, всего несколько страниц назад, тем, кто произнес одну из самых трогательных (пусть местами и эксцентричных) речей в память о героине нашей истории.
Позднее Эйнштейн напишет о Вейле, что тот – «человек в высшей степени талантливый и притом разносторонний, а также исключительно благородный и приятный. От него еще можно ожидать великих свершений»[363]. Разумеется, догадка Эйнштейна оправдалась: Вейль и в самом деле добился множества выдающихся результатов, и его имя прекрасно известно всем, кто изучает математику и физику.
Начав почти немедленно после того, как его коллега и друг сообщила о своей теореме, он на протяжении следующего десятилетия опубликовал серию провидческих статей, показывавших, как симметрии могут привести к взаимодействиям элементарных частиц[364]. Таким образом, Вейль первым увидел, как из теоремы Нётер можно сделать выводы, выходящие за рамки пространственно-временных симметрий и общей теории относительности и затрагивающие квантовую механику и выраставшую из нее новую физику. Таким образом, Вейль восполнил сравнительное отсутствие интереса к физике, проявлявшееся у Нётер. В ранние годы развития квантовой механики он показал, как ее открытие объясняет связь новой квантовой теории с классической физикой и как его можно применить, чтобы делать новые предсказания в области квантовых явлений. Примерно в это время Вейль также развил свои идеи в книге под названием «Постранство. Время. Материя» (Space-Time-Matter)[365]. В этой книге он прямо ссылается на статью Нётер и обсуждает приложения теоремы[366]. Свою книгу Вейль издал на немецком языке в 1918 году. Она была очень успешна, как и несколько последовавших переизданий и появившийся в 1922 году перевод на английский. Книга оказала заметное влияние, ее повсеместно цитировали и, вероятно, она была знакома физикам, впоследствии разработавшим стандартную модель.
В целом работа Нётер стала приобретать бо́льшую известность в Америке начиная с 1920-х годов, благодаря сочинениям Освальда Веблена, который в 1927 году опубликовал трактат (так называемый «Кембриджский трактат») о дифференциальных инвариантах[367]. Примерно в то же время Веблен переписывался с Нётер, но она сообщила ему, что больше не занимается никакими исследованиями, связанными с теоремой (которую мы сейчас зовем теоремой Нётер), поскольку погрузилась в изучение других областей математики.
В 1930-х важные шаги предпринял Вернер Гейзенберг – человек, который ввел в квантовую механику знаменитый принцип неопределенности. Этот принцип впервые объяснял, каким образом природа наложила фундаментальные ограничения на точность, с которой могут быть одновременно известны конкретные пары свойств. Вейля интересовало преподавание математики, необходимой для понимания общей теории относительности и объяснения того, какое отношение пространственно-временные симметрии имели к законам сохранения в теории Эйнштейна (как показала Нётер). Гейзенберг размышлял о симметриях, связанных с внутренними состояниями элементарных частиц – более абстрактный род симметрии, родственный калибровочной симметрии электромагнетизма, описанной в третьей главе. Таким образом, он сделал большой шаг в направлении современной физики элементарных частиц и стандартной модели.
Во время Второй мировой войны эти в высшей степени теоретические исследования были, что вполне понятно, поставлены на паузу. С 1950-х годов начался всплеск активности в области физики элементарных частиц, и каждый год выходили важные статьи на эту тему. Каждый решал свою часть головоломки. Казалось, что мозаика сложилась к 1974 году, когда на конференции, посвященной физике высоких энергий, Джон Илиопулос прочитал «Пленарный доклад о прогрессе в области калибровочных теорий» (Plenary Report on Progress in Gauge Theories). Его выступление было первым случаем, когда кто-то собрал из имеющихся фрагментов логичную, всеобъемлющую модель фундаментальных составляющих материи и действующих между ними сил; она стала известна как стандартная модель[368].
Калибровочные теории, о которых говорил Илиопулос, – это класс теорий поля, для которых характерен особый тип симметрии. Первый пример, появившийся в физике – максвелловская теория электромагнетизма. Вспомните рассказанную в третьей главе историю о птице на высоковольтном проводе и о том, почему она не погибает. Поскольку физическое воздействие оказывает лишь разница в напряжении, то к величине напряжения можно добавить некое число, константу, и при этом ничего не изменится. Возможность трансформации, которая не приводит к изменению результата – определение симметрии. Как объяснялось выше, тип симметрии, демонстрируемой электрическим потенциалом, называется калибровочной симметрией, а обладающие такой симметрией теории поля называются калибровочными.
В своей статье 1918 года Нётер изобрела понятие калибровочной теории, проводя анализ, имевший для дальнейшего развития физики такое неоценимое значение, что математик и историк Иветт Косман-Шварцбах называет его «провидческим»[369]. Полученные Нётер результаты показали, что общая теория относительности была примером калибровочной теории[370]. Калибровочным теориям предстояло стать образцом для большинства последующих физических теорий, включая стандартную модель физики элементарных частиц и большинства предложенных ее расширений и попыток объединения с теорией тяготения – например, теории струн[371].
В опубликованной Шелдоном Глэшоу в 1961 году статье, о которой часто говорят как о первом толчке к созданию стандартной модели, теорема Нётер напрямую не упоминается. Тем не менее автор намекает на нее: «В традиционной лагранжевой формулировке теории квантового поля широко известно о существовании взаимосвязи между симметриями функции Лангранжа и законами сохранения»[372].
Это замечание Глэшоу весьма красноречиво. Поскольку теорема Нётер касается как раз симметрий «функции Лангранжа» и в силу их взаимосвязей с законами сохранения (факт, о котором основоположник стандартной модели говорит как о «хорошо известном»), теорема очевидным образом с самого начала закладывает фундамент стандартной модели. Не столь понятно, знали ли Глэшоу и его коллеги о происхождении и истории открытия, на которое они полагались, или о его абсолютной математической универсальности – по меньшей мере, в период, когда писали первые статьи на эту тему.
В 2020 году Глэшоу оглянулся на историю стандартной модели, в создании которой сыграл столь заметную роль, в технической, но полезной статье, опубликованной в научно-реферативном журнале, главным редактором которого он является[373]. Сначала он на протяжении нескольких абзацев резюмирует содержание теоремы Нётер и то, насколько она важна – сперва применительно к пространственно-временным симметриям, с примерами из классической механики, а затем – применительно к внутренним симметриям элементарных частиц – проблема, изначально изучавшаяся Гейзенбергом. Безусловно, складывается впечатление, будто создатели стандартной модели начали с сознательной программы применения теоремы Нётер к симметриям свойств элементарных частиц.
В ключевых статьях 1950-х, 1960-х и 1970-х годов, выводы которых в конечном счете были включены в стандартную модель, мы, несомненно, видим повсеместное применение программы Нётер. Во всех статьях используется одна и та же методология: создание, комбинирование и расширение симметрий и вычисление следствий из этих симметрий для законов сохранения, что подчас ведет к предсказанию существования новых частиц. Именно эту методологию я и имею в виду, говоря о программе Нётер.
У этих статей есть еще одно интересное общее свойство: в них редко непосредственно цитируется теорема Нётер, будь то примечания или текст[374]. Практически ни в одной из важных статей, написанных ключевыми игроками на этом поле – Шелдоном Глэшоу, Ричардом Фейнманом, Джулианом Швингером, Марри Гелл-Маном, Вольфгангом Паули, Питером Хиггсом, – не упоминается теорема Нётер, хотя они регулярно ее используют. В ряде других статей, которые, хотя и имели к предмету прямое отношение, не принадлежали к магистральной линии развития данной области, есть несколько примечательных исключений.
В 1972 году математик и историк математики Кларк Г. Кимберлинг опубликовал статью, в которой отмечал недавний «всплеск интереса к Эмми Нётер и ее математике»[375]. Он замечает, что, несмотря на ее очевидное влияние, складывается впечатление, что о ней редко упоминается в сочинениях по истории математики – факт, на который я, возможно, уже указывал в этой книге. Заинтересовавшись тем, что он услышал о значении работы Нётер для физики, Кимберлинг сумел связаться с именитым физиком Юджином Вигнером, который сказал ему: «Ее вклад в физику <…> касается физических законов сохранения, которые она вывела способом, в то время неизвестным, способом, который должен был произвести на физиков большее впечатление, чем он на деле произвел. Однако большинство физиков почти ничего больше о ней не знают, хотя многие из нас, испытывающие хоть какой-то интерес к математике, читали гораздо больше ее работ и работ, посвященных ей».
Кимберлинг также отмечает, что в учебнике Херберта Голдштейна, по которому большинство физиков того времени углубленно изучали классическую механику, широко используется вариант теоремы Нётер, но ее имя ни разу не называется.
Здесь Вигнер подтверждает тот вывод, к которому подводит мой обзор литературы по физике элементарных частиц: многие из физиков, работавших над этими проблемами, знали, как применять частные случаи теоремы Нётер, ставшей, тем самым, сущностным элементом в разработке стандартной модели, но не принимали во внимание математический контекст отношений, которые использовали, и ничего не знали о Нётер и ее открытии в целом.
Позднейшие рассказы об этом периоде – особенно рассказы Вигнера, который как раз ссылается на Нётер и ее теорему, – обладают преимуществом понимания исторического контекста, воспринятого и осмысленного задним числом. Тем не менее мы можем поблагодарить Вигнера за то, что тот подчеркивал ключевую роль, сыгранную теоремой в работе, за которую они с несколькими коллегами получили Нобелевскую премию.
Уже в 1925 году Феликс Клейн отмечал, что физики не читают статью Нётер, вышедшую в 1918-м. Даже те, кто занимался исследованиями гравитации и для кого работа Нётер была бы крайне важна, не принимали эту статью во внимание. Вероятно, Гильберт согласился бы с догадкой Клейна о причинах этого пренебрежения: для физиков это была чересчур сложная работа. В письме к Максу Планку Клейн говорил, что в статье Нётер «приводятся чисто математические аргументы, объясняющие, почему существующие законы сохранения применимы в случае специальной теории относительности, и неприменимы в случае общей. К сожалению, работа фройляйн Нётер написана в крайне лаконичных выражениях, и ее подлинный масштаб сложно осознать в силу обобщенности изложения. Возможно, поэтому физики ее и не прочли»[376].
Использовавшаяся изучавшими элементарные частицы физиками версия теоремы Нётер – не та полноценная версия, что была изначально опубликована. Подобно упрощенным вариантам теоремы, применяющимся и преподающимся в курсе классической механики, это специализированная версия – в данном случае адаптированная к проблемам теории квантового поля. Где же специалисты по физике элементарных частиц, вершиной работы которых стала стандартная модель, узнали о теореме Нётер или ее версии, сыгравшей столь заметную роль в их исследовательской программе?
Есть несколько путей, ведущих от опубликованной Нётер в 1918-м статьи к вороху работ 1950-х и 1960-х годов, в которых теорема использовалась для формулировки стандартной модели. По крайней мере, некоторые из немногих перечисленных выше статей, где Нётер упоминается непосредственно, должны были попасться на глаза каждому, кто работал в области физики элементарных частиц. Хотя послевоенный взрывной рост числа научных публикаций уже начался, его масштабы еще не были столь невообразимыми, как сегодня[377]. Дни, когда физик мог прочитать каждую статью в ежемесячном номере Physical Review и составить актуальное представление обо всей дисциплине, возможно, уже ушли в прошлое, но ученые все еще могли, по меньшей мере, отслеживать публикации по своей специальности. И любой физик, работавший в области физики элементарных частиц, прочитал бы любую статью Вигнера, который был основоположником этой области и человеком, в наибольшей степени ответственным за знакомство поколения физиков с использованием теории групп в квантовой механике. Статья, написанная Вигнером с двумя соавторами, в которой дается ссылка на статью Нётер 1918 года в контексте принципов инвариантности, вышла в 1965 году в Review of Modern Physics[378][379], престижном и широко известном журнале[380]. Выход ее означал, что после 1965 года по крайней мере некоторые специалисты по физике элементарных частиц, вероятно, знали о связи между открытием Нётер и общепризнанным методом, которым они пользовались в своей работе.
Нобелевская речь Вигнера позволяет с еще даже большей уверенностью утверждать, что теорема Нётер была известна[381]. Вигнер получил Нобелевскую премию в области физики в 1963 году, разделив эту награду с Марией Гёпперт-Майер и Йоханнесом Хансом Даниелем Йенсеном[382]. Он получил половину премии, присужденной «за вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, в частности, за открытие и применение фундаментальных принципов симметрии». Другую половину премии, отметившей «открытия, касающиеся оболочечной структуры ядра», разделили Гёпперт-Майер и Йенсен.
Вигнер произнес речь обаятельную и неоднозначную – по крайней мере, для физика. Приводя простые примеры, он подсвечивает интересные аспекты физического закона и постоянно возвращается к фундаментальной важности принципов симметрии, и в печатной версии его выступления есть примечание со ссылкой на статью Нётер 1918 года. Вигнер считает принципы симметрии фундаментальными наряду с законами природы и элементарной единицей науки, явлением – тем, что происходит: «Я хотел бы обсудить соотношение между тремя категориями, играющими фундаментальную роль во всех естественных науках: явлениями, служащими сырьем для второй категории – законов природы, законами природы и принципами симметрии. Что касается последних, то я склонен отстаивать тезис, что для них сырьем служат законы природы».[383]
Ссылаясь на Нётер, он упоминает пространственно-временные симметрии классической механики и их эквивалентность законам сохранения. Затем он говорит, что «в квантовой теории принципы инвариантности позволяют перейти к еще более далеко идущим заключениям, чем в классической механике, и мой интерес к принципам инвариантности первоначально был связан именно с этим обстоятельством».
Кстати сказать, Вигнер – автор знаменитой и часто цитируемой статьи «Непостижимая эффективность математики в естественных науках»[384]. Своей славой эта статья обязана тому, что Вигнер указывает на загадку, которая многим таковой не казалась, но которая становится тем загадочнее, чем больше над ней размышляешь: почему именно математика, которой занимаются ради нее самой, так часто оказывается идеальным инструментом для описания природы и решения физических проблем? Эта головоломка отчасти связана с предметом нашей книги. Вигнеру принадлежит не одно оказавшее существенное влияние размышление на эту тему (то есть о примечательной силе математики), и в число таких размышлений входит и его нобелевская речь. Эйнштейн отмечал ту же непостижимость, задаваясь вопросом: «Как возможно, что математика, плод независящей от опыта человеческой мысли, столь поразительно сообразуется с объектами реальности?»[385]
В 1963 году группа блестящих физиков и математиков собралась в Гренобле (Франция), чтобы прочитать участникам летней школы лекции о теории относительности, теории групп и топологии. Автор лекционного курса «Динамическая теория групп и полей», Брайс Девитт, один раз сослался на Нётер и ее статью 1918 года[386].
Из-за статей Вигнера и других авторов к 1960-м годам физики, изучавшие элементарные частицы, вполне должны были знать о теореме Нётер. Но, как я показал, из их более ранних работ видно, что они знали о взаимосвязях между типами симметрий, рассматриваемых в теореме Нётер, и законами сохранения. Учитывая, что в основных статьях того времени о стандартной модели нет ссылок непосредственно на Нётер, как могли авторы узнать о нётеровских методах работы? Что представляли собой мосты между Нётер – исследовательницей-математиком, в безвестности работавшей в Гёттингенене во время Первой мировой войны, – и поколением физиков, маравших бумагу после Второй мировой войны в ЦЕРНе, Калифорнийском технологическом институте, Копенгагенском университете и Гарварде?
Я описал положение дел, наблюдавшееся с 1918-го и до 1950-х годов, как долгий сон теоремы – сон, но не ко́му. Существовала книга Вейля «Пространство. Время. Материя» (Space-Time-Matter), которой одной было достаточно, чтобы теорема Нётер не пропала с радаров физиков. Физики, изучавшие элементарные частицы, проявляли склонность к математике, были хорошо знакомы с теорией тяготения и, вероятно, осведомлены о популярной монографии Вейля.
Была также книга «Методы математической физики» (Methoden der mathematischen Physik), написанная Рихардом Курантом и тем самым Давидом Гильбертом[387]. Она вышла на немецком языке в 1924 году, выдержала много переизданий, а к 1953-му уже существовал перевод на английский. Двухтомник, повсеместно известный как «Курант—Гильберт», широко использовался при обучении легионов физиков прикладной математике. К нашему времени у него появились соперники, но эта старая работа до сих пор является образцовой.
Курант был студентом Гильберта в Гёттингене, куда прибыл в том же году, когда Нётер получила свою докторскую степень в Эрленгене. В конечном счете он станет главным энтузиастом создания нового Математического института в Гёттингене при поддержке Фонда Рокфеллера. Он был основным автором учебника (хотя ему помогали другие гёттингенские профессора) и использовал при его написании материалы лекций Гильберта[388].
В «Методах математической физики», в главе о вариационном исчислении, есть раздел, посвященный теореме Нётер. Того, что теорема рассматривается в столь влиятельном и широко используемом тексте, должно было быть достаточно, чтобы она до известной степени сохранилась в общей для физиков культурной традиции.
Читателя может привести в недоумение то, что я называю учебник влиятельным. Обычно учебники по математике и физике, как правило, представляют собой изложение стандартного набора хорошо усвоенных знаний. Они отражают традиционные педагогические подходы и зачастую – хотя, определенно, не всегда – довольно скучны.
«Курант и Гильберт» был учебником иного сорта. Он был первым в своем роде. В нем на углубленном уровне объяснялись некоторые недавно разработанные прикладные математические методы. Эта книга была единственной, где физики могли найти в печатном виде набор методов, которые можно было применить к решению их исследовательских задач. До «Методов математической физики» единственным способом все это узнать было посещение лекций таких преподавателей, как Гильберт и Клейн. Книга Куранта протянула руку помощи многим физикам, как юным, так и состоявшимся, и то, что в нее вошла теорема Нётер – немаловажный факт.
Помимо книги, была еще большая преподавательская карьера Куранта и то, что в Новом Свете он создал новый педагогический и исследовательский институт. В 1934 году Курант под угрозой со стороны нацистов покинул Гёттинген (он был евреем) и жарким августовским днем прибыл в Нью-Йоркскую гавань[389]. Он получил место со скромной зарплатой в Нью-Йоркском университете, и обнаружил, что преподавание математики находится там в плачевном состоянии[390]. Задавшись целью перестроить его по образцу гёттингенского института, он создал учреждение, которое в конце концов назовут Курантовским институтом математических наук. Некоторое время там преподавал племянник Нётер, Готтфрид. Институт остается всемирно известным центром исследований и преподавания. Многие студенты, изучавшие там физику и математику, восприняли идеи Куранта о том, как следует систематизировать и преподавать прикладную математику.
Еще одним важным звеном в цепи между 1918-м и 1950-ми годами была статья физика из Университета Миннесоты Эдварда Ли Хилла. Она появилась в 1951 году в Reviews of Modern Physics под заголовком «Принцип Гамильтона и теоремы сохранения в математической физике» (Hamilton’s Principle and the Conservation Theorems of Mathematical Physics)[391]. Как говорилось в третьей главе, принцип Гамильтона отсылает к (сравнительно) современной формулировке классической механики, в которой легче исследовать свойства симметрии, – формулировке, играющей центральную роль в разработке Нётер ее теоремы. В своей статье Хилл недвусмысленно выражает намерение познакомить с теоремой Нётер более широкую аудиторию: «Несмотря на фундаментальное значение этой теории, складывается впечатление, что ее доступное изложение для нужд студентов, изучающих математическую физику, отсутствует, тогда как оригинальные статьи не слишком легки для восприятия. Целью данной работы является упрощенное изложение этой теории».
Хилл ссылается непосредственно на статью Нётер 1918 года и связанные с ней ранние статьи Клейна и других исследователей. Его работа, напечатанная в знаменитом журнале, широко читалась, и на нее ссылались многие, писавшие о стандартной модели. Если мы включим ссылки второго порядка (ссылки на статьи, в которых цитируется статья Хилла), то увидим довольно много имен важнейших создателей стандартной модели. Его статья, появившаяся в самом начале периода, когда произошел взрывной рост числа работ, посвященных физике элементарных частиц, по всей видимости, добилась своей цели – познакомить с методами Нётер более широкую аудиторию.
Хилл признает, что в его статье предлагается упрощенная версия. Как указывает в своей превосходной книге о теореме Нётер Косман-Шварцбах, поскольку статья Хилла открыла путь к полученным Нётер результатам для многих физиков следующих поколений, они были склонны ошибочно принимать его сокращенный пересказ за подлинник[392]. Далее, по сути в отрицательном отзыве на другой учебник, предлагающий читателю выпотрошенный симулякр теоремы Нётер, Косман-Шварцбах сокрушается, что в этом отношении студентам-физикам «не повезло»[393].
Возможно, это так. Но сколь бы упрощенным или специализированным версиям теоремы не удалось пустить корни в сознании послевоенных физиков, погруженных в изучение элементарных частиц, этого было достаточно, чтобы, руководствуясь ими, они смогли сконструировать теорию, объясняющую все за исключением тяготения. У двух наших великих теорий, описывающих физическую реальность, нет точек пересечения, и до сих пор попытки согласовать их оставались безуспешными, даже когда за дело брались величайшие наши физики и математики. Но аналитический ум вечно жаждет единства, и потому мечта о том, чтобы каким-то образом заменить эти два несоизмеримых описания реальности одной великой системой, остается в сознании значительной части нынешнего поколения ученых самой желанной добычей.
И вполне разумно предполагать, что, если величайшая мечта физиков-теоретиков когда-либо исполнится и мы получим единую теорию всех сил природы, в ее основе будут лежать вопросы симметрии и, опять-таки, теорема Нётер. Более чем разумно – скорее всего, такое предположение практически неизбежно окажется верным. С одной стороны, теорема Нётер незаменима для понимания силы тяготения, а с другой – стандартную модель можно описать как расширенное ее применение. Теорема оказывается фундаментальным инструментом построения теорий в тех самых областях, которые мы ныне стремимся объединить и расширить, чтобы создать теорию будущего. Очевидно, что нам неизвестно, что будет представлять собой эта новая теория, но кажется неизбежным, что теорема Нётер, по меньшей мере, укажет к ней путь.
Это не означает, что достаточно будет лишь теоремы и других математических соображений. В конце концов, физика – это не математика. Гильберт продолжал попытки объединить тяготение с электромагнетизмом после того, как ему стало известно о теореме Нётер, но намеченное им исследование было преждевременным и неосуществимым и так и не привело к созданию какой-либо новой физики.
Нётер не испытывала интереса к полученному результату после того, как завершила исследования, посвященные тяготению – проблеме, которая гораздо больше интересовала Гильберта, чем ее саму. Сам Гильберт почти сразу же обратился к иным интересовавшим его предметам. Число ученых, работавших в области общей теории относительности, где продолжало биться сердце теоремы, было скромным; все внимание теперь было обращено на атомизм, теорию атомного ядра и новую квантовую механику. Если бы не влиятельные книги Вейля и Куранта с Гильбертом и более поздние разъяснения Хилла, теорема, даже в упрощенных ее версиях, могла бы оказаться недостаточно широко известной, чтобы попасть в круг зрения специалистов по физике элементарных частиц. Стандартная модель до такой степени зависит от применения симметрий Лангранжа в стиле Нётер, что сложно представить, как она могла бы быть сформулирована без какой-либо версии теоремы. Без нее у нас не было бы современной физики элементарных частиц. Не понимали бы мы и как работают законы сохранения в общей теории относительности, а значит, у нас не было бы непротиворечивой космологической модели. Идет ли речь о самых маленьких или самых больших масштабах, наше представление о физической реальности в значительной мере основано на теореме Нётер.
Во второй главе мы видели, что общая теория относительности была не плодом одинокого разума (как часто говорят), но плодом коллективных усилий[394]. Однако есть пространство для споров об этой интерпретации истории. Одна из разумных позиций – безраздельно приписать основное авторство Эйнштейну, как великодушно хотел поступить Гильберт. Те, кто так делают, могли бы заявить, что важные идеи родились лишь в сознании Эйнштейна и что огромная помощь, которой он отчаянно искал и которую он более десятилетия получал от Гросмана, Нётер и других ученых, сводится к чему-то вроде секретарской работы, касающейся нюансов вычислений.
Сколь бы обоснованной или необоснованной не могла показаться точка зрения, согласно которой у общей теории относительности есть один-единственный автор, никто не приписывает одному автору модель другой великой фундаментальной теории современной физики. Повсеместно признается, что стандартная модель выросла из общих усилий поколения физиков всего мира. Ее родословная отчасти отражает ее характер. Сколь бы прекрасной и мощной она ни была, стандартная модель лишена безупречной связности теории тяготения Эйнштейна. Общая теория относительности основана на одной физической идее, и ее математическая форма почти неизбежно из этой идеи вытекает. Она объясняет одну вещь: структуру пространства-времени и его отношения с материей-энергией. Само тяготение как сила исчезает, становясь одним из аспектов самого пространства-времени.
Стандартная модель, напротив, представляет собой лоскутное одеяло. Она объясняет негравитационные силы, используя симметрию, сформированную вследствие комбинации отдельных симметрий электрических сил, слабых и сильных взаимодействий, и выводя из этих симметрий существование небольшого набора элементарных частиц. Отдельные элементы теории до сих пор бросаются в глаза. Это прекрасное изваяние, но состоит оно из разнообразных частей, которые скорее спаяны воедино, чем вырезаны из единого мраморного блока.
Я не критикую стандартную модель. В конце концов, общая теория относительности объясняет силу тяготения, но больше ничего объяснить не может. Стандартная модель объясняет все остальное. Ее лоскутный характер заставил следующее поколение физиков попытаться сделать ее красивее и убедительнее, заменив какого-то рода единой теорией, подчас также включающей силу тяготения – одной великой единой теорией всего. Непреодолимый барьер, мешающий шагнуть оттуда, где мы находимся сейчас, к этим мечтам о единстве – отсутствие экспериментальных данных, которые ограничивали бы теорию. Я скажу об этом чуть подробнее в восьмой главе.
Может показаться, что стандартной модели недостает единства с точки зрения физики, но на более глубинном концептуальном и математическом уровне ее скрепляет теорема Нётер. Она основана на симметрии и дуализме симметрий и законов сохранения, объясненном Нётер в 1918 году.
Мы столкнулись с жестокой иронией. Вершина физики высоких энергий, стандартная модель, основана на систематическом применении принципов симметрии посредством теоремы Нётер. Она блестяще объединяет все известные силы природы – за исключением тяготения, – под зонтиком единой абстрактной симметрии, описанной с помощью теории групп. Тяготение остается за сценой, сохраняя абсолютное безразличие к этому прекрасному замыслу. И тем не менее теорема Нётер, инструмент, позволивший нам построить стандартную модель, выросла из изучения тяготения – задолго до открытия таких новых экзотических элементарных частиц, как W- и Z-бозоны сначала в теории, а затем в ускорителях.
То, что нётеровская программа занимает в стандартной модели центральное место, очевидно из того, в какой форме эта теория почти всегда излагается: в каждой теоретической статье по данной проблематике используется язык вариационного исчисления и особого извода теории групп, который использовала в своей статье Нётер. Язык и аппарат симметрии и принципов сохранения, в тех формах, которые применяла и разрабатывала Нётер, составляют язык и аппарат стандартной модели. Более того, теории элементарных частиц, из которых складывается стандартная модель, – это калибровочные теории, а современное понятие калибровочной теории было изобретено Нётер в ее статье.
В книге «Физика вырастает из симметрии» (Physics from Symmetry) Якоб Швихтенберг показывает, как вывести из симметрии все фундаментальные физические теории. Он описывает теорему Нётер как «одно из прекраснейших открытий в истории науки», прежде чем показать, как она используется в теориях элементарных частиц[395].
Первая половина XX века ознаменовалась колоссальными научными революциями – появлением квантовой теории и теории относительности. Возникновение стандартной модели принесло с собой иной, менее очевидный сдвиг в мировоззрении. Я объясню, что имею в виду, слегка злоупотребив одним из высказываний Вернера Гейзенберга.
Гейзенберг входил в число создателей квантовой теории. Он обессмертил свое имя, введя принцип неопределенности Гейзенберга. Он также серьезно размышлял о философских выводах, которые можно сделать из физики, и о ее связи с другими науками, и оставил после себя ряд будоражащих мысль статей и книг. Вот что он написал о том, как изменился способ мыслить о физике. Гейзенберг был убежден в необходимости некой трансформации, обусловленной возникающей в ходе экспериментов реальностью и ее взаимосвязями с теорией:
Если энергия может быть преобразована в па́ры электронов и позитронов и наоборот, можем ли мы и дальше задаваться вопросом, сколько частиц заключено в ядре атома? До сих пор мы всегда верили учению Демокрита, которое можно резюмировать так: «В начале была частица». Мы предполагали, что видимая материя состоит из более мелких частей и что, если мы будем достаточно долго их делить, то доберемся до мельчайших частиц, которые Демокрит называл «атомами», а современные физики – «элементарными частицами». Но, возможно, весь этот подход ошибочен. Возможно, нет такого явления, как неделимая частица. <…> Но что же было в начале? Физический закон, математика, симметрия? В начале была симметрия![396]
Приводить здесь эти слова не вполне корректно, поскольку Гейзенберг написал их в 1933 году, и они не относятся к теореме Нётер – или, сказал бы я сейчас, он не знал, что они к ней относятся.
Я считаю Гейзенберга провидцем. Он писал до появления стандартной модели, но предвидел, что симметрии предстоит сыграть ведущую роль в построении теории. Эти его размышления даже отчасти связаны с отношениями симметрии и принципа сохранения – в особенности сохранения заряда. Замеченное Гейзенбергом с его философской чувствительностью изменение в представлениях о мире – это замещение поисков физических объектов как строительных блоков Вселенной поисками математических объектов – в частности, симметрий.
Именно теорема Нётер придает этой идее конкретность, превращая ее из философского принципа в руководство к действию, которое можно использовать на практике для построения и анализа моделей Вселенной. Теорема проливает свет на структуру общей теории относительности. Она закладывает фундамент для стандартной модели. Вместе они – общая теория относительности и стандартная модель – объясняют все известные нам силы в физической Вселенной и все ее фундаментальные составляющие. Поэтому теорема Нётер тесно переплетена со всей фундаментальной физикой и делает значительную ее часть возможной.
На еще более глубоком уровне метод работы и мышления, ставший возможным благодаря теореме (тот, на который намекает Гейзенберг в приведенных чуть выше размышлениях), навсегда изменил занятия теоретической физикой. В поисках расширений стандартной модели (ограничены ли те эмпирически или нет) физики практически инстинктивно применяют программу Нётер. В общем и целом они рассматривают симметрию (в том числе скрытые симметрии, которые могут скрываться за нарушенными симметриями, доступными наблюдению), вытекающие из них законы сохранения и элементарные частицы, существования которых требуют эти законы сохранения. Как мы видели, эти размышления текут в двух направлениях: доказательство существования новой элементарной частицы, объясняемое законом сохранения, подразумевающим симметрию, которая может быть включена в симметрию более высокого порядка, ведущую к открытию новых законов сохранения и новых элементарных частиц.
В попытках объяснить идею скрытых или нарушенных симметрий преподаватели физики часто тянутся за карандашом. Вероятно, на вашем столе найдется такой архаичный инструмент или что-то ему подобное. Скорее всего, карандаш, в совершенном равновесии стоящий на своем кончике вертикально, – не первое, что приходит на ум. Дело в том, что мы никогда такого не наблюдаем. Не важно, как аккуратно мы пытаемся поставить карандаш вертикально – он все равно упадет. Я могу быть абсолютно уверен, что любой карандаш на вашем письменном столе не стоит, а лежит.
Теперь представьте себе карандаш, который стоит, сохраняя абсолютное равновесие. Он не склоняется ни в какую сторону: ни к северу, ни к югу, ни к востоку, ни к западу. Но все настоящие карандаши и ручки на вашем столе обращены в каком-то конкретном направлении – иначе и быть не может. Воображаемый карандаш, стоящий вертикально, вечно находящийся в равновесии, не нарушал бы никаких законов движения или тяготения. Его симметрия относительно горизонтали отражает симметрию описывающих ее законов. Вы тщетно станете искать предпочтительное направление по компасу, имея дело с силой земного притяжения или ньютоновскими законами движения. И однако, в реальности все карандаши нарушают эту симметрию, поскольку все они указывают в каком-то направлении. И воображаемый симметричный карандаш существует лишь в наших теориях и воображении: в реальности мы никогда его не наблюдаем, хотя теоретически он мог бы существовать.
Для описания подобной ситуации физики применяют термин нарушенная симметрия. В природе существуют скрытые, теоретически возможные симметрии, но некоторые из этих симметрий никогда не находят отражения в нынешнем состоянии нашей Вселенной. Их разрушает наша несовершенная реальность. Если бы мы могли избавиться ото всех помех реальной жизни, любого ветерка, вибрации или микроскопического изъяна на гладкой, идеально плоской поверхности нашего стола, и если бы мы смогли с бесконечной аккуратностью поставить карандаш абсолютно вертикально, то тогда, и только тогда он бы навечно остался в равновесии. Если бы мы видели вокруг себя подобные объекты, было бы легче выводить симметрии, становящиеся воплощением наших теорий. Но в реальности мы наблюдаем результаты нарушения симметрий.
Одним из величайших открытий стандартной модели было то, что феноменология элементарных частиц отражает такие нарушенные симметрии[397]. Физики, изучающие элементарные частицы, осознали, что для того, чтобы применить программу Нётер, им нужно будет представить себе скрытые симметрии, таящиеся за тем, что они наблюдали в ускорителях частиц. Подобные скрытые симметрии подразумевали существование скрытых законов сохранения. Чтобы делать эмпирические предсказания, нужно было понять, каким образом эти симметрии нарушались.
Когда ленивому дизайнеру нужно изобразить стереотипного ученого, выбор обычно неизменен: лицо в морщинах, волосы в беспорядке – как у Альберта Эйнштейна. Но не лицо человека, давшего жизнь идеям, превратило его в этот стереотип. Тот человек был на 20, 30 или 50 лет моложе – в зависимости от того, каким решит изобразить его наш художник. Лицо создателя теорий относительности было гладким, привлекательным, умным. Эйнштейн с кухонного календаря или журнального разворота неизменно кажется кротким мудрецом. Но работу, которая в конечном счете принесла постаревшему Эйнштейну Нобелевскую премию, написал человек, который был моложе. Однако премия была вручена не за теорию относительности или столь же знаковое уравнение E = mc2. Она была присуждена Эйнштейну за статью о фотоэлектрическом эффекте, который помог воздвигнуть второй столп физики XX века – квантовую теорию.
Как говорилось в четвертой главе, к 1918 году Эйнштейн был знаменитостью среди физиков и пользовался некоторой сомнительной славой у более широкой аудитории. Но большинство людей о нем, вероятно, не слышали. Однако к 1919 году он стал – или быстро начал становиться – одной из самых известных фигур в истории западной цивилизации. Журналисты охотились за ним, стремясь узнать его мнение по политическим, религиозным и подчас даже научным вопросам.
В чем была причина этой внезапной славы и преклонения? Мы можем приписать случившееся настойчивости, дару предвидения и отваге Артура Эддингтона. Эддингтон был блестящим и предприимчивым английским астрономом с талантом, позволившим ему войти в избранный круг ученых, сумевших в первые же дни досконально разобраться в общей теории относительности. Он понял, что одно из явлений, предсказанных теорией, – это искривление света под воздействием гравитации, и захотел снарядить экспедицию для замеров видимого положения звезд во время предстоявшего в 1919 году солнечного затмения. Поскольку свет звезд проходил вблизи Солнца, он должен был искривиться, в результате чего звезды оказались бы смещены со своих обычных позиций. Если бы смещение произошло в соответствии с предсказаниями теории Эйнштейна, это стало бы веским ее подтверждением.
Взвесив множество факторов, в том числе продолжительность и полноту затмения, наличие еды и воды, погодные условия, транспортную доступность и вероятность поддержки со стороны местного правительства, Эддингтон и его соратники остановились на районе Собрал в Бразилии и экваториальном острове Принсипи у западного побережья Африки[398]. Две пункта наблюдения удваивали их шансы на успех; для того, чтобы погубить подобную экспедицию, достаточно одного облака.
Эддингтону пришлось преодолеть множество преград – логистических, финансовых, климатических и политических. Поскольку во время войны он был пацифистом, то уже находился под подозрением – а теперь еще и хотел посодействовать немецкой науке. Но Эддингтон был не просто блестящим и неустрашимым ученым; он обладал и другими талантами, повысившими шансы на успех экспедиции. В частности, он умел очень хорошо убеждать и объяснять. Он был не только популярным лектором, наделенным «обезоруживающим мастерством рассказчика», но и автором учебников[399]. Он и в самом деле снарядил две экспедиции примерно в то время, когда Эмми Нётер, наконец, допустили к хабилитации в Гёттингене. Результатом стал триумф Эйнштейна и общей теории относительности.
Первые страницы газет были полны восторгов и путаных объяснений. Мир праздновал окончание войны, и эта радость соединилась с восхищением новым видом науки. Вполне понятно, что людям хотелось отвернуться от окружавшей их разрухи и взглянуть ввысь. История о путешествии в погоне за солнечным затмением рассказывалась по всему миру, и имя Эйнштейна стало нарицательным.
То были нужные новости, пришедшие в нужное время. Истощенные войной европейцы и американцы превратили теорию относительности в предмет бесед на коктейльных вечеринках. Ошеломленный всем этим Эйнштейн превратился в знаменитого ученого того типа, который ранее нигде в мире не существовал.
В результате этих событий статус общей теории относительности в университетских аудиториях всего мира, где изучали физику, резко повысился. Физики хотели разобраться в этой новой теории, и она превратилась в более или менее стандартный элемент программы обучения. Все больше людей избирали гравитацию темой научных исследований.
Эта внезапная привлекательность гравитации неизбежно должна была поддержать в теореме Нётер жизнь. На протяжении следующих четырех десятилетий для любого физика практически единственной причиной серьезно заняться изучением открытия Нётер и узнать, как можно использовать его в физике, был интерес к общей теории относительности. Немногие брались за изучение трудов Нётер – но критическая масса интереса к теории тяготения Эйнштейна, по крайней мере, помогла теореме не кануть в безвестность навечно. Теорема Нётер, а потому и вся современная физика, в огромном долгу перед Артуром Эддингтоном.