Представьте себе человека в небольшом помещении без окон и дверей – например, в кабине лифта. Узнать, где он находится, человек не может. Ему известно только, что он парит посреди помещения. Это означает, что он либо где‐то в далеком космосе, где на него не действует сила гравитации, либо в состоянии свободного падения на Земле. Однако определить, где именно он парит, человек не в состоянии: испытываемое им ощущение невесомости одно и то же в обеих этих не слишком комфортных ситуациях.
В ноябре 1907 года, еще работая в патентном бюро, Эйнштейн пытался понять, что стоит за таким понятием, как невесомость. Сидя за конторкой, но занимаясь отнюдь не патентными заявками, он вдруг понял, что в свободном падении человек не ощущает вес своего тела. Позднее Эйнштейн назовет это “самой удачной мыслью”[168] за всю свою жизнь. Он был поражен и взволнован, сообразив, что это ключ к построению теории гравитации. Теперь, возвращаясь мысленно к несчастному парящему человеку, он понял еще одну простую, но важную вещь: если тот падает, значит, он ускоряется. На основании этого Эйнштейн пришел к выводу, что два человека, один из которых падает в гравитационном поле, а другой – ускоряется в отсутствие гравитации, эквивалентны друг другу.
Этот вывод не столь очевиден, но Эйнштейн провел еще один мысленный эксперимент, позволивший прояснить ситуацию. В этом эксперименте тоже участвовал человек, просыпающийся в комнате без окон. Теперь он не парил между полом и потолком, как астронавт, а стоял на полу. Человек мог находиться на Земле и неподвижно стоять в гравитационном поле планеты, но все же оставалась возможность, что он где‐то в космосе. Действительно, если бы кто‐то прицепил веревку к потолку и тянул бы всю камеру “вверх” с постоянным ускорением, человек внутри чувствовал бы, что его ноги, как и на Земле, прижаты к полу. Он не только стоял бы на полу точно так же, как у себя дома, в банке или на почте, но мог бы уронить, например, пушечное ядро – и оно упало бы на пол. Эйнштейн пришел к выводу, что действие гравитационного поля и ускорения неразличимы. Он был настолько гениален, что, основываясь на этом, понял, насколько гравитация и ускорение тесно связаны.
Сформулированный Эйнштейном “принцип эквивалентности” стал основой для его размышлений о том, что есть гравитация. Он пытался понять, как можно обобщить специальную теорию относительности. Эйнштейн знал, что построенная им в 1905 году теория неполна, поскольку он рассмотрел только специальный случай тел, движущихся в одном направлении с постоянной скоростью или покоящихся. Он думал о более общей теории, учитывающей ускорение, и был уверен, что создать ее возможно. Позднее Эйнштейн говорил об этом так: “Я решил расширить теорию относительности и рассмотреть не только системы, движущиеся с постоянной скоростью, но и ускоряющиеся системы. Я ожидал, что подобное обобщение позволит мне решить проблему гравитации”[169].
Одним из парадоксальных следствий принципа эквивалентности было требование, чтобы свет менял свое направление под действием гравитации. Вернемся к человеку в лифте, движущемся вверх с ускорением. Теперь представим, что в стенке лифта есть крошечная дырочка, через которую может проникнуть солнечный луч. К тому времени, когда свет достигнет противоположной стенки лифта, сам лифт сместится вверх и свет окажется ближе к полу, чем отверстие, через которое он в лифт попал. Если нарисовать траекторию движения светового луча, окажется, что это загнутая вниз кривая. Поскольку согласно принципу эквивалентности действие силы притяжения и ускорения одинаково, световой луч в гравитационном поле должен изгибаться.
В 1911 году, к концу своего пребывания в Праге, Эйнштейн вернулся к общей теории относительности. Два явления привлекли его внимание. Первое: изгибание световых лучей. Об этом он думал и раньше, но теперь решил окончательно во всем разобраться. Как известно, от точки A к точке Б свет всегда распространяется вдоль прямой, определяющей кратчайшее расстояние между ними. Это знают все. Но почему тогда свет искривляется?
Возможным ответом было предположение, что траектория светового луча напоминает линию, соответствующую кратчайшему расстоянию между двумя точками на шаре или на другой искривленной поверхности. В этом случае кратчайшее расстояние – не прямая линия, а кривая, получившая специальное название: геодезическая. Возможно, благодаря наличию гравитации искривляется среда, через которую распространяется свет, то есть искривляется само пространство. Если это так, свет действительно должен распространяться не как обычно по прямой, а по геодезической линии.
И еще один вопрос занимал Эйнштейна: что происходит при вращении диска? В рамках специальной теории относительности есть проблема вращающегося диска. Для человека, связанного с системой отсчета, не вращающейся вместе с диском, длина окружности диска уменьшается. Это очень похоже на уменьшение длины поезда, мчащегося мимо стоящего на платформе человека. Эйнштейн показал, что в специальной теории относительности уменьшение длины окружности диска – это следствие постоянства скорости света, и сомнений тут нет. Но проблема в том, что для такого наблюдателя диаметр вращающегося диска не меняется, точно так же как для стоящего на платформе человека ширина поезда не меняется, хотя меняется длина. Уменьшение длины происходит только в направлении движения. Если длина окружности меняется, а диаметр – нет, следовательно, соотношение между этими двумя величинами не может определяться числом пи.
Число π связывает диаметр круга и длину его окружности. Это один из постулатов привычной для нас геометрии. Греческий математик Эвклид сформулировал основы этой геометрии около 300 года до нашей эры, и с тех пор никто в ней не сомневался. Эвклидова геометрия описывает формы на плоских поверхностях. В подобном случае все углы любого прямоугольника равны 90 градусам, сумма углов треугольника составляет 180 градусов и так далее. Но такая геометрия не может описать то, что происходит с вращающимся диском Эйнштейна. Если геометрия Эвклида не способна описать вращение, значит, она не способна описать и ускорение, поскольку на самом деле вращение – это один из видов ускоренного движения. Следовательно, в силу принципа эквивалентности, если эвклидова геометрия не может описать движение с ускорением, значит, она не подходит и для описания гравитации.
Эйнштейн понял: если учитывать искривление света и проблему вращающегося диска, для обобщения специальной теории относительности – возможности описывать ускорение и гравитацию – необходимо сформулировать ее на языке неэвклидовой геометрии. В неэвклидовой геометрии не все углы прямоугольника обязаны равняться 90 градусам. Нарисованный на поверхности Земли треугольник со сторонами, равными кратчайшему расстоянию между его вершинами, выглядит слегка выпуклым в сравнении с привычным для нас треугольником, а сумма его углов больше 180 градусов.
К сожалению, необходимый математический аппарат был сложен, и Эйнштейн его не знал: в университете он не уделял математике должного внимания. Однако он знал человека, очень хорошо разбиравшегося в этом вопросе.
В июле 1912 года Эйнштейн вернулся в Цюрих, где ему предложили должность профессора, и снова стал часто встречаться со своим старым другом и однокурсником Марселем Гроссманом. Гроссман, теперь декан математического отделения Политехникума, неэвклидову геометрию знал прекрасно. Неэвклидова геометрия была предметом его диссертации, а затем у него вышло еще семь статей на эту тему.
Эйнштейн позвонил своему другу почти сразу после приезда в Цюрих. “Гроссман, – сказал он ему, – ты должен мне помочь, иначе я сойду с ума!”[170] Он объяснил, с чем связаны его трудности, и Гроссман охотно согласился помочь. В частности, он обратил внимание Эйнштейна на работы Бернхарда Римана.
Риман – один из величайших математиков в истории. До него изучение неэвклидовой геометрии ограничивалось математическим описанием сферы и других близких к сфере трехмерных поверхностей. Риман же разработал метод, позволивший рассматривать даже поверхности, геометрия которых меняется от точки к точке: где‐то поверхность изогнута, в каких‐то местах неожиданно становится плоской, а затем внезапно искривляется совершенно странным образом. Более того, Риман нашел способ описания геометрии четырехмерного пространства. Для этого он использовал математические объекты, которые называют тензорами. Именно тензоры нужны были Эйнштейну для обобщения специальной теории относительности.
Тензоры – сложный математический объект, позволяющий хранить информацию. Возьмем вектор. Каждый вектор задается двумя элементами, содержащими информацию о чем‐то: один определяет направление этого чего‐то, другой – его величину. (Величина может означать, например, сколько имеется этого чего‐то, или какое до него расстояние, или какая у него скорость.) Итак, вектор – это комбинация двух элементов. Вылетающее из жерла пушки ядро имеет определенную скорость и определенное направление, поэтому можно вычислить вектор, описывающий движение ядра в момент вылета. Когда ядро, стремясь поразить врага, движется по изогнутой траектории, его скорость и направление движения постоянно меняются, поэтому в каждой точке траектории движение ядра описывается вектором. Вектор – это тоже тензор, но, к счастью, достаточно простой. А есть тензоры, содержащие гораздо больше элементов информации. И чем больше таких элементов содержит тензор, тем труднее его вычислить. Неудивительно, что тензоры, которые Эйнштейн использовал, пытаясь понять устройство Вселенной, содержали невероятно большое количество информации.
К тому времени, как Эйнштейн начал работать с Гроссманом, он уже пришел к одному из самых невероятных выводов в истории науки. А именно: он понял, что гравитация – это геометрия. Гравитация представляет собой кривизну пространства-времени. В соответствии с названием пространство-время – это объединение пространства и времени. Это ткань космоса, среда, где все существует. Масса деформирует пространство-время: чем больше масса, тем больше деформация. Под весом шара для игры в кегли поверхность батута прогнется сильнее, чем под весом мраморного шарика. Грубо говоря, то же самое происходит и с тканью космоса. Массивные объекты деформируют и искривляют пространство-время, и чем они массивнее, тем искривление пространства-времени больше. Можно сказать иначе: чем массивнее объект, тем больше его гравитационное поле.
Несколько месяцев после возвращения в Цюрих Эйнштейн потратил на то, чтобы с помощью тензоров получить систему уравнений, которые описывают пространство-время. Это была невероятно сложная работа. Иногда, убедившись, что тензоры – инструмент надежный, он подходил к задаче чисто математически, а иногда вперед выходила физика. Эйнштейн хотел убедиться, что полученные уравнения – не просто абстрактные формулы, что они действительно описывают мир. Он хотел быть уверен, что логика математических расчетов нигде не нарушена.
С помощью тензоров к концу 1912 года Эйнштейну удалось построить по существу правильную и красивую систему уравнений. Оставалось еще три года до того, как он представил миру свою новую теорию, а он уже фактически нашел решение, описывающее функционирование Вселенной. Но Эйнштейн хотел проверить полученные уравнения. При определенных условиях, скажем, описывая происходящее на Земле, они должны были давать тот же результат, что и теория Ньютона. Если это не так, то независимо от того, насколько уравнения красивы, они неправильны. Проверяя уравнения, Эйнштейн допустил ошибку. Складывалось впечатление, что его решение в конечном счете не согласуется с решением Ньютона. И Эйнштейн отказался от своей теории и занялся другими задачами.
В 1913 году Эйнштейн и Гроссман опубликовали некоторые свои результаты. Они понимали, что это незаконченная работа – они называли ее черновиком. И дело не в том, что статья была неполной, важнее, что она, откровенно говоря, была неправильной. Теория Эйнштейна – Гроссмана не была “полностью инвариантной”: полученные уравнения теоретически могли меняться в зависимости от того, как движется наблюдатель, – и это было ее главным недостатком. Изначально Эйнштейн хотел построить теорию, в рамках которой физические законы неизменны для всех: они не зависят от того, покоится наблюдатель или движется с ускорением, или от того, что является причиной ускорения. Кроме того, их теория не могла объяснить странную орбиту Меркурия.
С сороковых годов XIX века физики знали, что орбита Меркурия необычна. По определению перигелий планеты – это ближайшая к Солнцу точка ее орбиты. Со временем параметры орбит медленно меняются – и перигелий смещается. Перигелий Меркурия смещается чуть быстрее, чем того требуют законы Ньютона. Если быть точным, различие составляет 43 угловые секунды за каждые сто лет. Это крошечная величина, но все же ее необходимо учитывать. Сначала предполагали, что на Меркурий оказывает влияние какая‐то невидимая планета, наподобие того как Нептун влияет на орбиту Урана. Эту гипотетическую планету назвали Вулкан. Но, конечно, обнаружить Вулкан не удалось: такой планеты не существует.
Эйнштейн знал, что если в его уравнениях нет ошибки, то из них должно получаться правильное значение для смещения перигелия Меркурия. Эйнштейну очень хотелось убедиться, что все правильно, и он даже заручился согласием навестившего его летом Микеле Бессо помочь ему с вычислениями. К сожалению, полученное смещение было очень далеко от истинного значения. Однако Эйнштейн все еще был уверен, хотя и бездоказательно, что прав. Но одной уверенности мало: чего‐то явно не хватало.
“Природа показывает нам только хвост льва, – писал Эйнштейн другу. – Но я не сомневаюсь, что лев существует, даже если из‐за его колоссальных размеров мы не можем сразу увидеть всего льва целиком. Мы видим лишь то, что видела бы вошь, сидящая на его спине”[171].