Эрикссон описывает три аспекта целенаправленной практики: практика значимых идей, разработка репрезентативных моделей и четкий цикл обратной связи, обеспечивающий возможности для совершенствования. Остаток этой главы мы посвятим способам, с помощью которых учащиеся – да и все люди – могут продуктивно предоставлять и получать обратную связь, поскольку я редко наблюдаю подобное, когда бываю в учебных заведениях и на предприятиях. Школьникам и работающим людям постоянно говорят, что они правы или не правы, но это не то, что подразумевается под обратной связью.
Многие учителя и родители сетуют на то, что их ученики или дети не применяют метакогнитивные стратегии, описанные в главе 2. Вместо этого ученики хотят найти ответ немедленно, а в противном случае сдаются. Подобная реакция формируется, когда оценивание сосредоточено исключительно на ответах. Если мы хотим способствовать различным видам позитивного математического поведения, наши оценки должны поощрять и вознаграждать их. Это означает, что мы должны выделить продуктивные модели математического поведения и обеспечить школьникам обратную связь (и при необходимости суммарную оценку) касательно использования ими различных моделей поведения. Математические цели служат ориентирами в учебном процессе, которые задают ученикам направление на их пути и стимулируют развитие метакогнитивного мышления и понимания.
Нэнси Кушайр – глава отдела математики в одной из средних школ программы International Baccalaureate в Калифорнии. Нэнси не только ценит многоплановый разнообразный подход в преподавании, но и предоставляет школьникам возможность обучаться на основе собственных математических стратегий, обеспечивая значимую обратную связь.
Рис. 7.15. Цикл математического моделирования.
Как и многие другие педагоги, Нэнси обратила внимание, что после глобальной пандемии ученики потеряли уверенность и стали хуже решать задачи281. Некоторые менее опытные учителя начали делать упор на изложение правил и процедур и увеличили количество лекций, но Нэнси вовлекла учащихся в цикл математического моделирования, показанный на рисунке 7.15, который дает ученикам ориентиры, превращающие оценивание в итеративный процесс обучения и адаптации. Меня настолько заинтересовала модель преподавания и оценивания Нэнси, что я приняла ее приглашение приехать к ней в школу и самой встретиться с учениками.
Центральное место в разработанном Нэнси учебном блоке занимал вопрос об экономии воды – важная тема для подростков Калифорнии (Нэнси узнала об этом из одной учебной статьи)282. В своем классе Нэнси уже выстроила культуру дружелюбного отношения к ошибкам и усилиям, показывая ученикам множество наших видеороликов, рассказывающих о ценности борьбы283. Заложив эту важную основу, она задала вопрос: «Что расходует больше воды – душ или ванна?»
Она объяснила школьникам, что люди расходятся во мнениях по этому вопросу, и их задача – изучить вопрос, собрать данные и изложить свою точку зрения. Ученикам предлагалось выяснить расход воды в лейке душа и для различных по размеру ванн в разных домах и выбрать желаемые расходы: это обеспечивало гибкость и выбор, а также множество возможностей использовать ish-числа. Параллельно Нэнси излагала в классе новые идеи, включая базовые алгебраические понятия линейности и обобщения; важно, что она обучала школьников этим понятиям в тот момент, когда они работали с выбранными ими самими данными и расходами: это ключевой принцип преподнесения идей в то самое время, когда ученики работают над заданиями. Это позволяет школьникам сформировать мысленное представление о величинах и алгебраических идеях, столкнувшись с ними в контексте реального мира. Они узнали о связях между такими идеями, как постоянные и переменные, и сконцентрировались на масштабной идее обобщения.
Рис. 7.16. Душ или ванна?
Но для меня самым интересным было то, что произошло в заключительной части такого моделирования.
Я приехала в школу в тот день, когда ученики рассказывали родителям о своих значимых проектах, выполненных в течение учебного года. Многие из учеников выбрали математический проект – задачу о сбережении воды. Когда я общалась со школьниками после их презентаций, мне было приятно услышать, как они рассказывали о различных важных для них аспектах проекта. Многие отметили, как полезно рассматривать что-то реальное из окружающего мира. Они говорили о том, как узнали, что математика – это поиск закономерностей и это необходимо для их развития, и о том, насколько ценной является совместная работа в группах. Но что меня действительно поразило, так это восторженные рассказы школьников, каким образом их пригласили в собственное учебное путешествие – овладевать метакогнитивным подходом (смотрите главу 2). Нэнси добилась этого важного результата с помощью нескольких педагогических приемов.
Во-первых, она дала ученикам описание процесса обучения – цикл моделирования, показанный на рисунке 7.15, который направлял их в работе и учебе. Многие школьники отметили, что взгляд на эту модель помогал им в процессе обучения. Бен описывал так:
Я думаю, это очень полезно, потому что [такая модель] разбивает задание на части. Обычно это просто “решите задачу”, но здесь все поделено на пять основных категорий. Это “проанализируйте ситуацию, используйте вспомогательную информацию, вычислите, проанализируйте свой ответ, а затем выдайте заключение”. И в рамках этой структуры все разбивается на более мелкие части, чтобы было легче выполнять.
Некоторые дети заявили, что модель не только помогала им сориентироваться в процессе решения задач, но и побудила их учиться более усердно. Нота выразила это следующим образом:
Мы смотрели на задачу и пытались понять не только то, что она требует, но и то, что находится на более глубоком уровне.
Тейлор – еще один вдумчивый подросток, с которым я общалась в тот день, – отметил, что цикл математического моделирования применим не только к математике, и заметил, что его можно использовать «практически для всего», подчеркнув обобщенную природу цикла.
Во-вторых, Нэнси выделила место для оценивания работы школьников, что оказалось крайне полезным. Ученики использовали эти критерии как ориентиры, и в результате обучение воспринималось как циклический процесс работы, пересмотра и совершенствования. Тейлор хорошо описал этот процесс:
Я думаю, что этот цикл тоже не совсем пошаговый процесс. Например, если вы где-то напутали или сделали ошибку, вы можете вернуться назад и включить эту часть или использовать ее для помощи. Я не думаю, что тут просто пошаговый процесс. Я имею в виду, что при желании вы можете действовать таким образом, но считаю, что его также можно использовать для возвращения назад и переоценки своей работы.
В-третьих, ученики в классе Нэнси регулярно получали отзывы о своей работе, причем все отзывы были ориентированы на продолжение учебы. Нэнси писала комментарии к работам школьников; я всегда считала, что такое понимание преподавателем того, каким образом ученики могут совершенствоваться, – это большой подарок. Брейден упомянул о своей признательности за эту обратную связь:
Еще мне нравятся комментарии учителя, потому что я время от времени делаю ошибки. Я знаю, что все здесь уже совершали их, и чувствую, что простой взгляд назад на свои ошибки и комментарии просто поможет мне действовать лучше в следующий раз.
Брейден уловил природу итеративного процесса обучения, с которым познакомился. Для него, как и для всех подростков, с которыми я встретилась в тот день, обучение воспринималось как путешествие, а предложенные Нэнси указатели и карты направляли их на этом пути. Они осознанно придерживались собственного пути и понимали, что им нужно делать, чтобы совершенствоваться. Бен противопоставил этот осознанный итеративный путь тем методам изучения математики, которые использовались в его предыдущей школе:
До того, как я перешел сюда, мы делали проект, и ты просто получал оценку. Просто оценку – восемь баллов или что-то другое. Учитель обычно не писал комментариев, не было никакой обратной связи – хороших или плохих слов. Всегда только оценка.
Школьники в классе Нэнси с удовольствием выполняли задание по поиску наилучших способов экономии воды, изучали алгебраические понятия, решая реальные задачи с данными, и получали пользу от работы в группах и поиска закономерностей. Но, возможно, важнее всего было то, что они стали рассматривать свою учебу как итеративный процесс работы, пересмотра и совершенствования. Они получили инструменты, которые помогли им понять, на каком этапе пути обучения они находятся, и научились метакогнитивному подходу. Как раз те атрибуты, которые Нэнси встроила в свое преподавание и оценивание, – предоставление ученикам обратной связи и возможности пересмотреть и улучшить свои результаты – признаются одними из важнейших характеристик для развития у учеников установки на рост284.
Конрад Вольфрам, мой друг и коллега из Великобритании, его брат Стивен Вольфрам, а также их команды внесли огромный вклад в мир прикладной математики. Например, они создали программу Mathematica285 и математический инструмент WolframAlpha286, который не только помогает всем, кто изучает математику или работает с ней; он также используется для Siri, Alexa и ChatGPT. Помимо этой невероятной работы, Конрад многое сделал для математического образования: например, он выступил на конференции TED[51], где убедительно представил цикл моделирования (рис. 7.17), похожий на тот, что использовали школьники Нэнси, как руководство для изучения всей математики287.
Рис. 7.17. Математическое моделирование.
Конрад Вольфрам.
Конрад указывает, что в реальной математической практике важно уметь интерпретировать ситуации и формулировать вопрос; затем они должны преобразовать вопрос в вычислимую форму, выполнить эти вычисления и интерпретировать результаты. Он отмечает, что на занятиях учащиеся преимущественно сосредоточены только на третьей части этого цикла – на вычислениях. Однако вследствие появления доступных технологий эта часть процесса, пожалуй, стала наименее важной и потому не требующей особого внимания. Конрад не просто говорит об этом; он и его команда разработали цельный подход для изучения математики в старшей школе, который предполагает, что учащиеся начнут производить вычисления не вручную, а с привлечением технологий, а освободившееся время педагоги используют для привлечения школьников к решению различных математических задач, обучая их тому, как их ставить и использовать инструменты для вычислений, а затем интерпретировать и анализировать результаты288. Примеры вовлекающих задач – проектирование дронов и расследование предвзятого и мошеннического поведения.
Такой процесс моделирования, в который Конрад и его команда вовлекают учащихся, может пригодиться молодежи в их будущей учебе и работе. Похожим образом действует и Нэнси, предоставляя школьникам возможность не только изучать процесс моделирования, но и отслеживать свою работу и постоянно получать обратную связь. Хотя этот процесс невероятно ценен для учеников, он не предусмотрен в большинстве курсов математики в старшей школе.