Математическое разнообразие можно воплотить на практике и другим способом. В традиционных учебниках ученикам часто предлагают набор почти одинаковых изображений и примеров, но зачастую полезнее показать, почему некий пример не работает, нежели приводить много работающих примеров. Например, когда мы рассказываем школьникам о птицах, мы часто показываем им именно птиц – например, воробья, колибри и голубя. Но в этом случае детям гораздо полезнее посмотреть на летающих существ, которые не являются птицами – например, на летучих мышей. Тот же принцип действует и в математике.

На моих математических семинарах для учителей мне больше всего нравится наблюдать за их восторгом при встречах с различными версиями той математики, которую они преподают. На протяжении многих лет во время наших обсуждений учителя часто называли фигуру на рисунке 7.11 перевернутым треугольником. Иногда я бесцеремонно отвечала: «Вы имеете в виду фигуру, которую также именуют треугольником?» Я не удивлена, что учителя называют ее именно так, поскольку треугольники почти всегда рисуют с двумя вершинами внизу и одной вверху – особенно когда с ними знакомят школьников. Примерам в книгах обычно не хватает разнообразия, и это создает проблемы для учащихся.

Рис. 7.11. «Перевернутый» треугольник.

Например, когда восьмиклассникам показали картинку на рисунке 7.12, они не поняли, что это изображение параллельных прямых.

Рис. 7.12. Параллельные прямые.

Рис. 7.13. Параллельные прямые.

Рис. 7.14. Параллельные прямые.

А когда мы спрашивали, параллельны ли прямые a и с на рисунке 7.13, большинство одиннадцатилетних детей отвечали: «Нет, потому что b мешает».

Параллельные прямые обычно изображаются так, как показано на рисунке 7.14, что и объясняет подобные рассуждения учащихся.

Точно так же, как мы должны предлагать практические задания, где используются методы и контрастирующие примеры, мы также должны стараться давать учащимся больше примеров нетипичных идей и представлений.

Такие виды практики, по-видимому, позволяют достичь «целенаправленной практики», описываемой Андерсом Эрикссоном как «преднамеренная практика, которая ведет к формированию репрезентативных моделей». Чтобы обеспечивать целенаправленные и эффективные действия, практика должна включать в себя как можно больше следующих элементов:

Характеристики эффективной практики

1. Применение методов: проблемы должны заставлять людей использовать методы в новых, нетипичных ситуациях.

2. Рассмотрение контрастирующих случаев.

3. Фокус на концепциях и крупных идеях, а не на мелких методах.

4. Создание репрезентативных моделей, включающих визуальные или физические референты (обозначаемые объекты).

5. Нестандартные примеры и представления.

6. Связи, которые люди могут найти и изучить; связи между математическими идеями и между математикой и миром.