Сара Левин и Дэн Шварц, мои коллеги по Высшей школе образования Стэнфордского университета, рассказывают о важности контрастирующих примеров для развития компетентности. Например, вы можете попросить людей описать предмет, изображенный на рисунке 7.3.

Рис. 7.3. Ножницы.

Большинство из них ответит, что это ножницы.

Но если вы попросите их описать два предмета на рисунке 7.4, они, вероятно, скажут, что слева – короткие ножницы с пластмассовыми ручками, не очень острые, с затупленными концами; возможно, детские ножницы. Про ножницы справа они могут сказать: длинные заостренные ножницы с упором на одной из металлических ручек²⁷¹. Такие подробности появляются в наблюдениях только потому, что на рисунке даны контрастирующие примеры.

Рис. 7.4. Двое разных ножниц.

Этот принцип можно применять ко многим жизненным ситуациям, включая, конечно, математику.

Если вы попросите школьников описать фигуру на рисунке 7.5, они, скорее всего, скажут, что это треугольник.

Но если вы попросите их описать фигуры на рисунке 7.6…

Рис. 7.5. Треугольник.

Рис. 7.6. Два разных треугольника.

…то они, вероятно, скажут, что фигура слева – равносторонний треугольник, или треугольник с тремя примерно равными сторонами и примерно равными углами, а фигура справа – это равнобедренный треугольник, или треугольник с двумя равными сторонами и двумя равными углами, и он отличается от треугольника слева. Разумеется, при рассмотрении контрастирующих примеров важно не только произносить слова, но и размышлять, что стоит за этими словами. Исследователи обнаружили, что изучение контрастирующих примеров значительно повышает уровень понимания учащихся²⁷².

Еще один пример иллюстрируют два сценария ниже: контрастирующие примеры для них взяты из двух областей математики, которые часто вызывают затруднения у школьников: проценты и дроби. Важно, что эти вопросы касаются концептуальной идеи, а не вычислений.

Рис. 7.7. Кто из двух девочек получает больше денег на карманные расходы? Дайте обоснование. Используйте рисунки, слова и числа.

Покажите ученикам эти два сценария и попросите дать ответ, обосновав свой выбор. Если они работают вместе, что является идеальным вариантом, они могут посовещаться друг с другом, а затем предъявить свои математические доказательства, которые потом можно будет обсудить и изучить.

Рис. 7.8. Кто из девочек хочет больше коржика? Дайте обоснование. Используйте рисунки, слова и числа.

В процессе преподавания математики мы должны как можно чаще предлагать ученикам контрастирующие примеры. Учащиеся получают возможность обдумать их сходства и различия, выделить особенности различных математических идей, извлечь уроки из видимой разницы и обосновать свой выбор – такие ценные действия способствуют осмысленному изучению и прочным знаниям²⁷³.

Недавно я ездила в Сан-Диего к своему другу. Мне захотелось узнать, каково это – жить там, и я задала ему вопрос, который (как я осознала позже), опирался на мою веру в контрастирующие примеры. Я поинтересовалась, жил ли он когда-нибудь в другом городе. Когда он ответил, что жил в Бостоне и в Санта-Барбаре, я обрадовалась, ведь у него имелось представление о разных городах, иначе откуда ему было бы знать, какие особенности Сан-Диего интересны или примечательны?

В школе Феникс-Парк часто обращались к контрастирующим примерам. Ученики осваивали идею ГМТ, прослеживая путь разных точек на движущихся треугольниках, квадратах и выбранных самостоятельно фигурах. Задание рассмотреть ГМТ относительно различных движущихся форм подталкивало их к наблюдению и размышлению, как это понятие соотносится со свойствами различных фигур. Ученики узнали больше, чем если бы они рассматривали ГМТ только для определения окружности – стандартный пример при изучении в школе.

Учителя из Феникс-Парка сделали выбор в пользу практического опыта, который сосредоточен на масштабной идее, а не на мелких методах, что помогло ученикам развить визуальные мысленные представления на основе физических, с которыми они столкнулись. Когда ученики могут строить свои собственные фигуры, это привносит агентность[50] в процесс изучения математики. Когда ученикам разрешается выбирать направления в своей работе, это приводит к более глубокой вовлеченности²⁷⁴. К этому важному свойству обучения приводит простое предложение создать свои собственные фигуры.

Разнообразие методов, опробованных учениками, способствовало их успеху как на экзаменах, так и в жизни в целом²⁷⁵. Они обдумывали идеи в ходе исследований и проектов; учителя вводили новые методы по мере того, как они обретали актуальность для школьников, а школьники осваивали свое новое понимание, применяя идеи в новых разнообразных ситуациях. Что бы ни делали учащиеся – изучали новый материал, исследовали идеи или практиковались в их применении – они активно вовлекались в работу через многоплановый подход и разнообразие.